精品解析：江苏省徐州市贾汪区紫庄镇贾庄初级中学2024-2025学年上学期期中模拟九年级数学试卷

2024~2025学年度第一学期期中模拟考试 九年级数学试题 （提醒：本卷共4页，满分为140分，考试时间为90分钟；答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，再利用直接开平方法求解即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 故选：C． 2. 如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 【详解】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交， 故选：B． 3. 已知：如图，圆心角，则圆周角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．欲求圆周角，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解． 【详解】解：，， ； 故选：D 4. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 【详解】解：， ∴即， 故选：B． 5. 下列四个点中，在抛物线上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题可将四个选项中的坐标代入抛物线方程中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上． 【详解】解：A．把代入得，故点不在抛物线上． B．把代入得，故点不在抛物线上． C．把代入得，故点在抛物线上， D．把代入得，故点不在抛物线上． 故选：C． 6. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为： 故选：D 7. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设该公司这两年缴税的年平均增长率是，根据2023年缴税额2021年缴税额建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 即该公司这两年缴税的年平均增长率是， 故选：D． 8. 二次函数的图象如图所示，与x轴左侧交点为，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的为（ ）   A. ①④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数的开口向下，与轴的交点位于轴的负半轴可得，根据对称轴可得，，由此即可判断①和④正确；根据抛物线与轴有两个交点即可判断③正确；根据当时，即可判断③正确． 【详解】解：∵二次函数的开口向下，与轴的交点位于轴的负半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴，，结论④正确； ∴，结论①正确； ∵二次函数与轴有两个交点， ∴关于的一元二次方程有两个不同的实数根， ∴，结论②正确； 由函数图象可知，当时，， ∴，结论③正确； 综上，结论正确的为①②③④， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为：， ∴其顶点坐标为：． 故答案为：． 10. 一圆锥的底面半径为3，母线长为6，则这个圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积公式（L为底面圆的周长，R为圆锥的母线长度）成为解题的关键． 直接运用圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为3， ∴底面圆的周长， ∴圆锥侧面积． 故答案为：． 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根个数与根的判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的个数与根的判别式的关系．根据题意得，进行计算即可得． 【详解】解：若关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 故答案为：1 12. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义“使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键．先根据一元二次方程的根的定义可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：． 13. 如图，四边形为的内接四边形， ，则的度数为________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键．直接利用圆内接四边形对角互补与邻补角的性质推导可得出答案． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ，即， ， 故答案为：． 14. 如果抛物线经过原点，那么___． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．将点代入二次函数的解析式求解即可得． 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴， 解得， 故答案为：2． 15. 已知：二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示，那么方程（，，，为常数）的根是________． … -1 0 1 2 3 … 0 3 4 3 0 【答案】， 【解析】 【分析】根据表格可知：点，，在二次函数图象上，则可得二次函数对称轴为直线即，进而可根据函数的对称性可求解． 【详解】解：根据表格可知： 点，，在二次函数图象上， ∴二次函数的对称轴为即， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴方程的根为，； 故答案为，． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 16. 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．如图（见解析），连接，过点作于点，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，再根据阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 由题意可知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 则阴影部分的面积是 ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共84分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得：，． 18. 已知，是一元二次方程的两个实数根： （1）填空：_____； _____． （2）求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系求值，熟知这些知识点是正确解题的关键． （1）由，是一元二次方程的两个实数根，则根据，求值即可． （2）将化成，即可求解． 【小问1详解】 由一元二次方程可知， ， ． 【小问2详解】 ． 19. 如图，已知． （1）用直尺和圆规作的外接圆（保留作图的痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若的半径为5，点到的距离为3，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识， （1）作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心； （2）作于利用勾股定理求出，再利用垂径定理可得，求出即可． 【小问1详解】 解：如图，作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心； 【小问2详解】 解：作于． 在中，，， ， ， ， ． 20. 某学校计划对一块宽为，长为的矩形荒地进行改造，要求修筑同样宽的鹅卵石小路，余下的部分种上草坪（阴影部分），并使草坪的面积为．现在邀请全校同学参与设计，下面是其中两位同学设计的方案，请选择一种方案，求出道路的宽为多少米？ 【答案】方案一：道路宽为米；方案二：道路的宽为米； 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，利用数形结合的思想解决问题是关键．设道路的宽为米，根据设计方案列一元二次方程求解即可． 【详解】解：方案一：设道路的宽为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：或（舍）， 即道路的宽为米； 方案二：设道路的宽为米， ， 整理得：， 解得：或（舍）， 即道路的宽为米； 21. 已知二次函数． （1）填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … … y … … （2）观察图象，若点，，是这条抛物线上的三个点，请用“”连接 ，，的大小关系______； 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握描点法和二次函数的性质是解题关键． （1）分别求出、、、和时，的值，再利用描点法画出函数图象即可得； （2）观察函数图象即可得． 【小问1详解】 解：对于二次函数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 填入表格如下： 0 1 2 3 0 3 4 3 0 在坐标系中利用描点法画出此抛物线如下： ． 【小问2详解】 解：由函数图象可知，，验证如下： 当时，， 当时，， 当时，， 则， 故答案为：． 22. 如图，为的直径，是上一点，在的延长线上，． （1）求证：是切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径是2． 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理求出，求出，根据切线判定推出即可； （2）在中，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 证明：连接， 是直径， ， 即， ， ， ， ， ， ， 即， 为半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 答：的半径是2． 23. 某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件． （1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为　 　件； （2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润． 【答案】（1）180；（2）每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元． 【解析】 【分析】（1）根据“当每件销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答； （2）根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件）， 故答案为180； （2）由题意得： y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）] =﹣10x2+1100x﹣28000 =﹣10（x﹣55）2+2250 ∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握． 24. 【初步感知】 如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____； 【深入探究】 如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程． 【启发应用】 如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______． 【答案】初步感知：45；深入探究：证明见解析；启发应用： 【解析】 【分析】初步感知：根据在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解即可得； 深入探究：先根据圆周角定理可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得证； 启发应用：延长至点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再证出，设，则，利用勾股定理可得，根据线段和差可得，由此即可得． 【详解】解：初步感知：∵点，，均在上，， ∴， 故答案为：45． 深入探究：延长至点，使，连接， ∵是等边三角形， ∴， 由圆周角定理得：，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴． 启发应用：如图，延长至点，使，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、圆内接四边形的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）存在，最大值是， （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）两点式直接求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，根据三角函数得到，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴； 小问2详解】 存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； 【小问3详解】 设，则：， 当点恰好在抛物线上时，则：， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵线段与抛物线有交点， ∴点M的横坐标的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期期中模拟考试 九年级数学试题 （提醒：本卷共4页，满分为140分，考试时间为90分钟；答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 3. 已知：如图，圆心角，则圆周角的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程配方后可化（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个点中，在抛物线上的点是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ） A B. C. D. 7. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是（ ） A B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，与x轴左侧交点为，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的为（ ）   A. ①④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9. 抛物线的顶点坐标是______． 10. 一圆锥的底面半径为3，母线长为6，则这个圆锥的侧面积为__________． 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是___． 13. 如图，四边形为的内接四边形， ，则的度数为________． 14. 如果抛物线经过原点，那么___． 15. 已知：二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示，那么方程（，，，为常数）的根是________． … -1 0 1 2 3 … 0 3 4 3 0 16. 两个半径相等半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是__． 三、解答题（本大题共9小题，共84分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知，是一元二次方程的两个实数根： （1）填空：_____； _____． （2）求代数式的值． 19. 如图，已知． （1）用直尺和圆规作的外接圆（保留作图的痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若的半径为5，点到的距离为3，求的长． 20. 某学校计划对一块宽为，长为的矩形荒地进行改造，要求修筑同样宽的鹅卵石小路，余下的部分种上草坪（阴影部分），并使草坪的面积为．现在邀请全校同学参与设计，下面是其中两位同学设计的方案，请选择一种方案，求出道路的宽为多少米？ 21. 已知二次函数． （1）填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … … y … … （2）观察图象，若点，，是这条抛物线上的三个点，请用“”连接 ，，的大小关系______； 22. 如图，为的直径，是上一点，在的延长线上，． （1）求证：是切线； （2）若，，求的半径． 23. 某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件． （1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为　 　件； （2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润． 24. 【初步感知】 如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____； 【深入探究】 如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程． 【启发应用】 如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线解析式． （2）如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$