精品解析：贵州省乌当区某校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

2025 届高三年级月考试卷 数 学 2024年10月 一．单项选择题（本大题8个小题，每小题 5 分，共 40 分） 1 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数若，则m的值为（ ） A. B. 2 C. 9 D. 2或9 5. 已知函数，当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. 或 C. D. 6. 已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. ， D. 7. 正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C D. 8. 函数在区间内有极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题（本大题3个小题，每小题 6 分，共 18 分. 全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，有选错得 0 分） 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 在区间上，函数是增函数 B. 在区间上，函数是减函数 C. 为函数的极小值点 D. 2为函数的极大值点 10. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 周期函数 C. D. 时 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 三．填空题 （本大题4个小题.每小题 5 分，4共 20 分） 12. 已知函数y=loga(x-3)-1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________. 13. 函数f (x)＝最大值为________． 14. 已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，则的单调递增区间为_________. 15. 已知函数，则不等式的解集为_______. 四．解答题 （本大题5个小题，共 72 分） 16. 已知函数 （1）求函数在点处的切线方程 （2）求函数在上极值和最值 17. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数的值； （2），都有，求实数的取值范围 （3）若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若函数，都有，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性，并求出的最大值 （2）是否存在非负实数，使得在上的最大值为1？请证明你的结论． 20. 已知函数在处切线为轴. （1）求数的值； （2）求的单调区间； （3）若，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025 届高三年级月考试卷 数 学 2024年10月 一．单项选择题（本大题8个小题，每小题 5 分，共 40 分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合后可求. 详解】，故 故选：B. 2. 已知，，q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意集合A是集合B的真子集，由集合的包含关系求实数a的取值范围. 【详解】， q是p的必要不充分条件，则集合A是集合B的真子集，所以有， 则实数a的取值范围是. 故选：C. 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数、对数函数、反比例函数的单调性逐个判断即可. 【详解】对于A：在上单调递增可得：在上单调递减； 对于B：在上单调递减； 对于C：在上单调递减； 对于D：当时，，在区间上单调递增. 故选：D 4. 已知函数若，则m的值为（ ） A. B. 2 C. 9 D. 2或9 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得或，即求. 【详解】∵函数，， ∴或， 解得. 故选：C. 5. 已知函数，当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设有、求参数，注意验证所得函数是否符合题设，进而求对应函数值. 【详解】由题设，故，且， 所以，故，即， 此时，且， 所以，时，在上单调递增； 时，在上单调递减； 故处为极大值，也是最大值，满足题设； 所以. 故选：D 6. 已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. ， D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数，解三角不等式求函数的单调递增区间. 【详解】，，则，， 由有，由，解得或， 所以的单调递增区间为和. 故选：C. 7. 正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式求得的最小值，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】， 当且仅当时等号成立， 由于不等式，所以， ， 解得，所以实数的取值范围为. 故选：A 8. 函数在区间内有极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据极值点定义易知在区间内有实根，构造函数，利用函数单调性即可求出实数的取值范围. 【详解】由可得其定义域为，易知， 因为函数在区间内有极值点， 所以方程在区间内有变号实根， 即在内有实根， 令，则， 显然在上满足恒成立， 所以函数在上单调递增， 因此，可得， 因为在内有实根，所以， 故选：B. 二．多项选择题（本大题3个小题，每小题 6 分，共 18 分. 全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，有选错得 0 分） 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 在区间上，函数是增函数 B. 在区间上，函数是减函数 C. 为函数的极小值点 D. 2为函数的极大值点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导函数的图象的正负性得到原函数的增减性，再依次判断选项即可. 【详解】对选项A，，，为减函数，故A错误； 对选项B，，，是减函数，故B正确； 对选项C，，，是增函数， ，，是减函数，所以为函数的极大值点， 故C错误； 对选项D，，，是增函数， ，，是减函数，所以为函数的极大值点，故D正确. 故选：BD 10. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 周期函数 C. D. 时 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题设及奇偶性、周期性定义判断A、B；根据周期性求判断C；利用偶函数性质求上解析式判断D. 【详解】由且定义域为R，故是周期为2的偶函数，A、B对； 由题设，有，C对； 令，则，故，即，所以时，D错. 故选：ABC 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，利用导数研究函数的单调性、极值和零点，即可判断A，B；根据函数的对称性判断C；利用导数的几何意义求的切线方程，即可判断D. 【详解】由得，令得：， 令得或；令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 所以有两个极值点为极大值点，为极小值点，故A正确； 又，， 而趋向于负无穷大时也趋向于负无穷大；趋向于正无穷大时也趋向于正无穷大； 所以仅有1个零点如图所示，故B错误； 又，所以，所以关于对称，故C正确； 对于D，设切点，在P处的切线为， 即， 若是其切线，则，则，此时切点为时， 切线方程直线，所以D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 三．填空题 （本大题4个小题.每小题 5 分，4共 20 分） 12. 已知函数y=loga(x-3)-1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据函数恒过点，可令，再代回函数解析式求得，得到定点的坐标. 【详解】由函数，令，得，，即定义. 故答案为：. 【点睛】本题考查了对数型函数的恒过定点问题，属于基础题. 13. 函数f (x)＝最大值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】求出函数在每一段的最大值，再进行比较，即可得答案； 【详解】当时，函数为减函数， 所以在处取得最大值为； 当时，易知函数在处取得最大值为. 故函数的最大值为2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查分段函数的最值，考查运算求解能力，属于基础题. 14. 已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，则的单调递增区间为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的性质及图象平移即可求解. 【详解】是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增，且的图象关于轴对称， 的图象是由的图象向右平移一个单位得到的， 所以的图象关于对称， 在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故答案为：. 15. 已知函数，则不等式的解集为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判定函数单调性，利用单调性解不等式. 【详解】因为定义域为， 所以，仅当时等号成立， 所以函数在上单调递减， 由可得， 解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 四．解答题 （本大题5个小题，共 72 分） 16. 已知函数 （1）求函数在点处切线方程 （2）求函数在上的极值和最值 【答案】（1） （2）的极小值为，无极大值， 最小值为，最大值 【解析】 【分析】（1）对求导，进而求得与，利用点斜式可求切线方程； （2）令，可得，可求在的单调性，即可求出在区间上的极值与最值. 【小问1详解】 由，得， 所以，所以函数在点处的切线斜率为， 又，所以函数在点处的切线方程为：，即； 【小问2详解】 令，可得，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以在有极小值，无极大值， 又，， 所以在上的最小值为，最大值. 17. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数的值； （2），都有，求实数的取值范围 （3）若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得是方程的两根，结合韦达定理求解即可； （2）由（1）可知，求出在上的最小值，即可得答案； （3）结合（2）求出在上的最大值，即可得答案 【小问1详解】 由题意可得是方程的两根， 由韦达定理可得， 解得; 【小问2详解】 因为， 所以， 当时，则的最小值为， 所以， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 由（2）可知当时，则的最大值为， 所以实数的取值范围为. 18. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若函数，都有，求的取值范围． 【答案】（1）有极小值为，无极大值. （2） 【解析】 【分析】（1）求出后讨论其符号可得函数的极值； （2）原不等式即为，设，利用导数求出该函数的最大值后可求参数的取值范围. 【小问1详解】 ，其中， 当时，，当时，， 故有极小值为，无极大值. 【小问2详解】 即为即， 设，则， 当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故，故. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性，并求出的最大值 （2）是否存在非负实数，使得在上的最大值为1？请证明你的结论． 【答案】（1）答案见详解； （2）存在非负实数，证明见详解. 【解析】 【分析】（1）求出，分和两种情况讨论即可； （2）借助（1）的结论，利用导数求出的最小值即可证明. 【小问1详解】 因为的定义域为， 所以， 当时，，故在上单调递增，无最大值； 当时，令，得； 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为， 综上所述，当时，在上单调递增，无最大值； 当时，在上单调递增，在上单调递减，最大值为. 【小问2详解】 存在非负实数，使得在上的最大值为1，证明如下： 由（1）可知，， ， 设， 则， 令，得 故当，，单调递减； 当，，单调递增， 所以在上的最小值为， 从而当时，， 所以存在非负实数，使得在上的最大值为1. 20. 已知函数在处的切线为轴. （1）求数的值； （2）求的单调区间； （3）若，证明. 【答案】（1）； （2）单调递增区间为，无单调递减区间； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据，求解即可； （2）由（1）得，代入导函数，根据导函数的正负即可得答案； （3）由（1）、（2）得，当时，，再结合，可得，，将 代入函数的解析式，进行化简，再利用不等式的性质即可得证. 【小问1详解】 解：因为， 所以， 又因为函数在处的切线为轴， 所以， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可知， 所以， 所以函数在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 【小问3详解】 证明：由（2）可知函数在上单调递增，且， 所以当时，， 又因为，所以，有，，有， 由，得， 即， 即(*)， 又因为，，将(*)式两边同时乘以， 得. 【点睛】关键点睛：本题的关键是第（3）问中，得出当时，，从而得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$