第13讲 指数运算（五大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第13讲 指数运算 学习目标： 1．理解n次方根、n次根式的概念，正确运用根式运算性质化简、求值； 2．学会根式与分数指数幂之间的相互转化； 3．掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值，了解无理数指数幂的意义． 重点难点： 重点：理解有理数指数幂和根式的概念及其运算性质 难点：运用有理数指数幂及根式的运算法则进行互化计算 一、根式 1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根. （3）0的任何次方根都是0,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数. 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到:（1）； （2）当是奇数时,;当是偶数时, 温馨提示:中当为奇数时,为偶数时,,而中. 二、指数幂 1．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘． （2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数． 2．有理数指数幂的运算性质 （1）; （2）; （3）. 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果． （2）是正无理数)． （3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 考点01由根式的意义求范围 1．若代数式有意义，则 ． 2．若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．最简根式与是同类二次根式，则 ． 4．求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 考点02利用根式的性质化简或求值 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 7．若，则 . 8．求下列各式的值； (1)； (2)． 9．计算： (1)； (2). 考点03分式指数幂与根式的互化 10．下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 11．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．（） B． C．（） D．（） 12．（多选）下列各项不正确的是（    ） A． B． C． D． 13．化简：= . 14．化简下列各式： （1） =                     （2）（= （3 设，则的值为 15．（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 考点04利用分数指数幂的运算性质化简求值 16．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 17．计算（    ） A． B． C． D． 18．（多选）下列计算正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 19．已知实数且，，则 20．已知，求： (1) (2). 考点05整体代换求分数指数幂 21．已知，则等于（    ） A．2 B．4 C． D． 22．已知，则（    ） A． B． C． D． 23．（多选）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 24．计算 (1)； (2)已知，求的值： 25．（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 基础试炼 1．下列根式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，且，下列三个式子，正确的个数为（   ） ①；②；③. A． B． C． D． 3．已知且，则 . 4．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，那么等于 . 9．若，则 10． . 11．计算： (1)； (2)（，）. 12．（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 高阶突破 1．已知函数，，则（    ） A．12 B． C． D．17 2．已知，，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 3．（多选）已知正实数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（   ） A． B． C． D． 5．已知函数是奇函数，则 ． 6．已知，则 ． 7．求值： (1)； (2)已知，，求：. 8．已知，求证: 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第13讲 指数运算 学习目标： 1．理解n次方根、n次根式的概念，正确运用根式运算性质化简、求值； 2．学会根式与分数指数幂之间的相互转化； 3．掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值，了解无理数指数幂的意义． 重点难点： 重点：理解有理数指数幂和根式的概念及其运算性质 难点：运用有理数指数幂及根式的运算法则进行互化计算 一、根式 1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根. （3）0的任何次方根都是0,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数. 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到:（1）； （2）当是奇数时,;当是偶数时, 温馨提示:中当为奇数时,为偶数时,,而中. 二、指数幂 1．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘． （2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数． 2．有理数指数幂的运算性质 （1）; （2）; （3）. 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果． （2）是正无理数)． （3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 考点01由根式的意义求范围 1．若代数式有意义，则 ． 【答案】1 【详解】由题意可知：，∴ ∴ 故答案为：1 2．若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由有意义，得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B 3．最简根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】 【详解】因最简根式与是同类二次根式，则，解得， 所以. 故答案为： 4．求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】， 要使成立， 需解得， 即实数a的取值范围是， 故答案为：. 考点02利用根式的性质化简或求值 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得，则， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 6．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，16的4次方根有两个，为，故A正确； 对于B，负数的3次方根是一个负数，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，是非负数，所以，故D正确． 故选：AD. 7．若，则 . 【答案】 【详解】因为， 又因为，则， 所以. 故答案为：. 8．求下列各式的值； (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）= ． （2）原式= 因为，所以， 当，即时， 当，即时，, 所以. 9．计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2） 考点03分式指数幂与根式的互化 10．下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，，A选项错误； 对于B选项，，B选项错误； 对于C选项，，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确. 故选：D. 11．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．（） B． C．（） D．（） 【答案】C 【详解】A中，（），故A错误； B中，，故B错误； C中，（），故C正确； D中，（），故D错误． 故选：C． 12．（多选）下列各项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，当时，，当时，，故A错误； 对于B，由对数的运算性质可知B错误； 对于C，由n次方根的性质，当为奇数时，，当为偶数时，，故C错误； 对于D，.故D正确. 故选：ABC. 13．化简：= . 【答案】1 【详解】解:由题意可知， 所以. 故答案为：1 14．化简下列各式： （1） =                     （2）（= （3 设，则的值为 【答案】 0 / 7 【详解】（1） . （2）； （3）因为， . 故答案为：（1）0；（2）；（3）7 15．（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1）; （2）； （3）. 考点04利用分数指数幂的运算性质化简求值 16．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以. 故选：B. 17．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 18．（多选）下列计算正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：ACD. 19．已知实数且，，则 【答案】 【分析】根据条件，利用分数指数幂的运算法则即可求出结果. 【详解】因为，所以， 故答案：. 20．已知，求： (1) (2). 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由平方可得， 由于，故， ， 因此 （2）， 由和可得或， 当时，则， 当时，则 考点05整体代换求分数指数幂 21．已知，则等于（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】，所以. 故选：A. 22．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 23．（多选）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，所以， 对于A选项，由，可得，故A项错误； 对于B选项，，故B项正确； 对于C选项，由，又，所以，则，故C项正确； 对于D选项，因故D项正确. 故选：BCD. 24．计算 (1)； (2)已知，求的值： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式； （2）因为，所以，即， 因为， 所以， 所以原式. 25．（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①7；② 【详解】（1）原式； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 基础试炼 1．下列根式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，A正确； 由，B正确； 由，C正确； 由，D错误． 故选：D 2．已知，且，下列三个式子，正确的个数为（   ） ①；②；③. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 对于①，，①错； 对于②，因为，且， 当为奇数时，；当为偶数时，.②对； 对于③，，③错. 所以，正确的个数为. 故选：B. 3．已知且，则 . 【答案】/ 【分析】由已知条件消去未知数即可. 【详解】由于 所以 故答案为：. 4．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，可得， 因为，可得，所以，可得， 当且仅当时，等号成立，所以的取值范围是． 故选：D. 5．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算求解. 【详解】设，， ，， ， . . 又，， ，. 故选：D 6．（多选）已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，当时，满足，但不满足， 所以是的不充分条件，是的不必要条件，故A错误； 对于B，当时，满足，但不满足， 所以是的不充分条件； 当时，， 所以，所以， 所以是的充分条件，是的必要条件，故B正确； 对于C，当时，满足，但不满足， 所以是的不充分条件； 当时，，所以， 所以是的充分条件，是的必要条件，故C正确； 对于D，当时，满足时，但即不满足， 所以是的不充分条件，是的不必要条件，故D错误； 故选：BC. 7．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】A项错误，,而； B项正确，； C项正确，； D项正确，. 故选：BCD. 8．已知，那么等于 . 【答案】 【详解】由， 因为，则， 故，即得. 故答案为：. 9．若，则 【答案】± 【详解】由，可得，即，所以. 故答案为：. 10． . 【答案】 【详解】, 故答案为： 11．计算： (1)； (2)（，）. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） . （2） . 12．（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 【答案】（1）2；（2）；（3） 【详解】（1） ； （2） ； （3）. 高阶突破 1．已知函数，，则（    ） A．12 B． C． D．17 【答案】C 【详解】令， 的定义域为，关于原点对称， 所以，故， ， 所以是奇函数，而，， 解得，所以， 故，故C正确. 故选：C 2．已知，，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】设，则， 所以， ， 而， 所以，即， 故选：B 3．（多选）已知正实数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A：由，可得，因为， 所以，即，得，当时取等号，故A正确； B：由，当时取等号，又因为，当时取等号， 所以，故B错误； C：由，可得， 所以， 当，即时取等号，故C正确； D：， 因为，所以，所以， 当时取等号，故D正确. 故选：ACD. 4．（多选）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对选项A：，错误； 对选项B：，正确； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误； 故选：BC 5．已知函数是奇函数，则 ． 【答案】/ 【详解】由，得，解得， 所以的定义域为， 因为， 所以， 因为函数是奇函数， 所以，解得. 故答案为：. 6．已知，则 ． 【答案】198 【详解】因为 ， 又， 所以 . 故答案为：198. 【点睛】关键点点睛：关键是得出，由此即可顺利得解. 7．求值： (1)； (2)已知，，求：. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2）， 由和，可得， 则. 8．已知，求证: 【答案】证明见解析 【分析】将题设中的等式化为，根据这两个等式可证． 【详解】证明：因为， 故， 所以， 所以， 故， ， 故． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$