第14讲 指数函数的图象及性质（九大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第14讲 指数函数的图象及性质 学习目标： l．了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念； 2．能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点； 3．理解指数函数的单调性与底数的关系，运用指数函数的单调性解决一些问题 重点难点： 重点：理解指数函数定义的基础上分析指数函数的图像与性质 难点：底数a的变化对指数函数值的影响 一、指数函数的定义 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1. （3）的系数是1. 二、指数函数的图象和性质 1.指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的增函数 是R上的增函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 2．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 考点01指数函数的概念 1．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是幂函数的是 ；是指数函数的是 . 3．若函数为指数函数，则a的取值范围是 4．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．函数是指数函数，求的值． 考点02求指数函数的解析式或函数值 6．已知指数函数，则的值为 . 7．若指数函数的图象经过点，则满足的的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 9．若指数函数的图像经过点，则的值为 . 10．已知函数和都是指数函数，求a＋b的值． 考点03指数函数的值域 11．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 12．已知函数，则的值域为 ． 13．已知是定义域为的奇函数， 且时，，则的值域是 . 14．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是 . 15．定义运算：，则函数的值域为 ． 16．将函数的值域为 . 17．已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（    ） A． B． C． D．3，1 考点04指数函数的图象 18．函数 的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 19．函数的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   20．（多选）函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 21．在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 22．在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   23．（多选）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用两数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式琢磨函数图象的特征，如函数（且）的图像的大致形状可能是（    ） A．     B．   C．   D．   考点05指数（型）函数的单调性 24．函数的单调递增区间是 25．设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．已知函数，则函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 27．“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．设函数在区间单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点06比较两数的大小 31．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 32．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 33．定义在上的函数满足，当时，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 34．若，，，则（    ） A． B． C． D． 35．设 ，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 36．已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则（    ） A． B． C． D． 考点07解简单的指数不等式 37．已知函数若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 39．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 40．函数的定义域为 . 41．函数的定义域为 ． 42．已知，则的取值范围 ． 43．已知指数函数的图象过点，且函数的图象与的图象关于轴对称，又，求的取值范围． 考点08指数函数的分类讨论 44．设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是(    ). A． B． C． D． 45．若函数（且）在区间上的最大值是4，最小值为m，且函数在内是严格增函数，则 . 46．已知且是偶函数. (1)求的值. (2)若在上的最大值比最小值大，求的值. 47．指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，求的值． 48．已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的最值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 考点09恒成立问题 49．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 50．已知指数函数的图象过点，函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求t的取值范围. 51．已知函数的图象过点，且图象关于直线对称． (1)求函数的解析式； (2)对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 52．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 53．已知函数（），函数为奇函数 (1)求出的值，判断函数的单调性，并予以证明； (2)若对，不等式恒成立，求的取值范围. 54．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 55．已知函数为奇函数． (1)写出k的值并求函数的值域； (2)当时，恒成立，求m的取值范围． 基础试炼 一、单选题 1．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 3．设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．在区间上，的最大值是其最小值的倍，则实数（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．设函数（，且），若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．函数且 过定点，则________ 8．函数的值域为 ． 9．已知不等式，且，则实数x的取值范围为 ． 四、解答题 10．已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 11．已知函数且的图象过点(3,4). (1)求实数a的值； (2)求关于的不等式的解集. 12．已知函数（且）在区间上的最大值是16，求实数的值； 高阶突破 1.已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 2．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若，则满足的的最大值为 4．函数在上的最大值为4，则m的取值范围是 ． 5．已知函数，若，且，则的取值范围是 . 6．已知函数满足，其中且. (1)求的解析式； (2)若，求函数的定义域； (3)讨论的值域. 7．已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． (1)求函数和的解析式； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 8．已知函数（，且）. (1)若函数的图象过和两点，求在上的值域； (2)若，且函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第14讲 指数函数的图象及性质 学习目标： l．了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念； 2．能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点； 3．理解指数函数的单调性与底数的关系，运用指数函数的单调性解决一些问题 重点难点： 重点：理解指数函数定义的基础上分析指数函数的图像与性质 难点：底数a的变化对指数函数值的影响 一、指数函数的定义 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1. （3）的系数是1. 二、指数函数的图象和性质 1.指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的增函数 是R上的增函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 2．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 考点01指数函数的概念 1．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】形如的函数为指数函数. 故是指数函数，其他选项函数都不是指数函数. 故选：D. 2．下列函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是幂函数的是 ；是指数函数的是 . 【答案】 幂函数② 指数函数①⑤ 【详解】因为指数函数为（且），故①⑤是指数函数； 由幂函数定义知，是幂函数，故②是幂函数； 由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是幂函数，也不是指数函数； 对于⑧，当时，，不是幂函数，也不是指数函数. 故答案为：②；①⑤. 3．若函数为指数函数，则a的取值范围是 【答案】 或， 【详解】 为指数函数，则 或，解得： 或， 故答案为： 或， 4．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数（是自变量）是指数函数，所以，解得：且； 故选：C 5．函数是指数函数，求的值． 【答案】 【详解】由是指数函数， 可得，解得． 考点02求指数函数的解析式或函数值 6．已知指数函数，则的值为 . 【答案】27 【详解】因为为指数式，则，解得或， 又因为且，可得，即， 所以. 故答案为：27. 7．若指数函数的图象经过点，则满足的的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】设且，则，解得或（舍去）， 所以，令，又，所以. 故选：B 8．若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 9．若指数函数的图像经过点，则的值为 . 【答案】/ 【详解】依题意，设， 因为的图像经过点，所以，即， 所以， 所以. 故答案为：. 10．已知函数和都是指数函数，求a＋b的值． 【答案】1 【详解】因为函数是指数函数，所以． 由是指数函数，得．所以． 考点03指数函数的值域 11．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由指数函数的图象与性质知，当时，函数的值域为， 当时，函数的值域为， 因此函数的值域为， 故选：A. 12．已知函数，则的值域为 ． 【答案】 【详解】时，，又时，， 所以的值域是． 故答案为：． 13．已知是定义域为的奇函数， 且时，，则的值域是 . 【答案】 【详解】因为是定义域为的奇函数，则， 当时，，此时，， 当时，则，则，所以，， 则，则，此时，， 综上所述，函数的值域为. 故答案为：. 14．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】当, 当, 因为函数的值域为,所以. 故答案为：. 15．定义运算：，则函数的值域为 ． 【答案】 【详解】当时，，当时，， 所以， 当时，，当时，， 所以函数的值域是. 故答案为： 16．将函数的值域为 . 【答案】 【详解】由于，故且， 故函数的值域为， 故答案为： 17．已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（    ） A． B． C． D．3，1 【答案】B 【详解】由，得到，令， 则，对称轴， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值和最小值分别是. 故选：B． 考点04指数函数的图象 18．函数 的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，若，则 ； 若，则 . 当时，若，则；若，则，排除 A， D. ，显然 不恒等于 0，故 不是奇函数，排除 B. 故选：C 19．函数的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】易知函数定义域为， 且满足，可得其为偶函数，图像关于轴对称； 又当时，，因此排除A， 又， 利用指数函数图象性质可知其在上单调递增，且增长速度越来越快，即排除CD， 故选：B 20．（多选）函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【详解】由于，所以， 函数在上单调递增， 的图象向下平移个单位，得到的图象， 所以函数的图象不经过第四象限， 经过第一、二、三象限. 故选：ABC 21．在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为指数函数，所以，且， 所以， 因为二次函数的对称轴为直线，所以排除BD， 由指数函数的图象可知，所以， 所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误， 故选：A 22．在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】对于A，B，当时，函数在R上为单调递减函数； 又，所以在区间和区间上单调递减， 且当时，，故A和B均错误； 对于C，当时，函数在R上为单调递增函数， 又，所以在区间和区间上单调递增，故C错误，D正确． 故选：D． 23．（多选）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用两数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式琢磨函数图象的特征，如函数（且）的图像的大致形状可能是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】BD 【详解】当时，函数在上单调递减，当时，在上递增，， 当时，在上递减，，A不满足，D符合题意； 当时，函数在上单调递增，当时，在上递减，， 当时，在上递增，，C不满足，B符合题意. 故选：BD 考点05指数（型）函数的单调性 24．函数的单调递增区间是 【答案】 【详解】函数的定义域为R，令， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在定义域上单调递减， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 25．设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知，显然在上单调递增， 在上单调递减， 因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且， 所以. 故选：A 26．已知函数，则函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，可得， 可知在内单调递减，在内单调递增， 且在定义域内单调递增， 则在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 27．“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则的图象为： 可知在上单调递增； 若，则的图象为： 可知在上单调递减； 综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件. 故选：C． 28．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 29．设函数在区间单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调递减，函数在R上单调递增， 因此函数的单调递减区间是，而函数在区间单调递减， 则，即，解得，所以a的取值范围是. 故选：D 30．已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增， 令 又因为在R上单调递增，所以在上单调递增， 对称轴为，所以. 故选：B. 考点06比较两数的大小 31．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：A 32．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，易知在上单调递减，又，所以， 令，易知在区间上单调递增，又，所以，故， 故选：C. 33．定义在上的函数满足，当时，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为定义在上的函数满足，则函数的图象关于直线对称， 当时，，则函数在上单调递增， 因为，， 且，则，即， 故选：A. 34．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，在上单调递增， ， 故，所以， ，在上单调递增， ，故，即，所以． 故选：D 35．设 ，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因函数为减函数，故， 又函数在第一象限内为增函数，故， 又为减函数，故， 综上可得. 故选：C. 36．已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先根据为偶函数得到，求出函数的单调性后可得的大小关系. 【详解】因为为偶函数，所以， 故即对任意的恒成立，故， 所以. 当时，，在上为增函数， 因为，故，所以. 又，故. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性以及指数式的大小比较，此类问题属于基础题. 考点07解简单的指数不等式 37．已知函数若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】化简得到， ∴函数在区间上单调递增， ∵，∴在区间单调递减，∴函数在区间上单调递增， 又因为，∴函数在区间上单调递增， ∵， ∴，∴. 故选：B. 38．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故，解得， 故， 故选：B 39．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 所以， 故选：D 40．函数的定义域为 . 【答案】 【详解】要使函数解析式有意义， 则有，即，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 41．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】令，解得，故定义域为. 故答案为： 42．已知，则的取值范围 ． 【答案】 【详解】原不等式等价于, 因为指数函数在R上单调递增， 所以, 解得, 所以原不等式的解集为. 故答案为： 43．已知指数函数的图象过点，且函数的图象与的图象关于轴对称，又，求的取值范围． 【答案】 【详解】设（且）， 因为指数函数图象过点， 所以，解得， 所以， 又因为函数的图象与的图象关于轴对称， 所以， 因为， 所以， 又函数在上是减函数， 所以，解得， 所以的取值范围为． 考点08指数函数的分类讨论 44．设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，在上单调递增， 要满足题意，则要在上单调递减，故，即； 若，在上单调递减， 要满足题意，则要在上单调递增，故， 即，不满足 综上所述：的取值范围是. 故选：B. 45．若函数（且）在区间上的最大值是4，最小值为m，且函数在内是严格增函数，则 . 【答案】/ 【详解】若函数在内是严格增函数， 则，， 若， 因为函数在区间上单调递增，最大值是4，最小值为m， 所以，，解得，，不满足， 若， 因为函数在区间上单调递减，最大值是4，最小值为m， 所以，，解得，，满足， 所以. 故答案为：. 46．已知且是偶函数. (1)求的值. (2)若在上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】(1)0 (2)或. 【详解】（1）若为偶函数，则恒成立， 所以，即恒成立，解得. 故的值为0. （2）由（1）可得且. 当时，在上单调递增，，解得 当时，在上单调递减，，解得. 故的值为或. 47．指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，求的值． 【答案】或2 【详解】解：指数函数在区间上的最大值和最小值的和为， 当时，可得的最小值为，的最大值为，那么，解得； 当时，可得的最大值为，的最小值为，那么，解得． 故的值是或2. 48．已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的最值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，，设， 函数在上递减，在上递增，函数在上递减， 则函数在上递增，在上递减，，，， 所以当，时，，. （2）函数在上递减，在上递增 当时，函数在上递增，所以函数在上递减，在上递增， 又，则函数在区间上递增，故满足题意； 当时，函数在上递减，所以函数在上递增，在上递减， 又，若需满足题意，则，得. 综上，的取值范围是. 考点09恒成立问题 49．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， ，即 ， 当时，有最小值， ， 故选：A 50．已知指数函数的图象过点，函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求t的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【详解】（1）设（，且），由，得， 所以. （2）在上单调递增. 证明如下： 由题意得. ，，且， 则 . 由，得，，则，. 所以，即， 故在上单调递增. （3）由题意得，所以是偶函数. 由，得， 易得，， 因为在上单调递增， 所以由，得. 当时，恒成立； 当时，. 因为，所以， 得，即t的取值范围为. 51．已知函数的图象过点，且图象关于直线对称． (1)求函数的解析式； (2)对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由；由. 所以. （2）设，因为，所以. ，. 设，，观察可知，函数在上单调递增， 所以. 所以不等式恒成立，则. 故实数m的取值范围为：. 52．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为是偶函数，所以， 解得， 当时，可得，所以， 所以函数的解析式为 （2）由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 所以， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是. 53．已知函数（），函数为奇函数 (1)求出的值，判断函数的单调性，并予以证明； (2)若对，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，单调递增，证明见解析； (2). 【详解】（1）由函数为奇函数，得，即， 于是，解得， 函数在定义域上单调递增， ，且，， 由，得，则，因此， 所以函数在上单调递增. （2）由是R上的奇函数， 得， 又在上单调递增，则，对恒成立， 显然，则，即恒有，因此， 所以的取值范围为. 54．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）任取，则，， 当时，，而符合上式， 所以函数在上的解析式. （2）任取且， ， 由，得，，，， 则，即，因此在上单调递增， 而是奇函数，原不等式化为， 于是，即，依题意，对，恒成立， 而，当且仅当时取等号，从而， 所以实数的取值范围为. 55．已知函数为奇函数． (1)写出k的值并求函数的值域； (2)当时，恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)；函数的值域为 (2) 【详解】（1）令，解得， 可知函数的定义域为，关于原点对称， 若函数为奇函数， 则，解得，可得， 且， 可知符合题意，即， 若，则，，可得； 根据奇函数对称性可得：若，； 综上所述：函数的值域为. （2）由（1）可知：，且若，；若，； 因为在内单调递增， 可知在内单调递减，且， 若，可得，即， 因为，则，可得，解得， 所以m的取值范围为. 基础试炼 一、单选题 1．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据指数函数的定义知，， A选项底数错误，B选项系数错误，C选项指数错误； D正确. 故选：D 【点睛】本题考查了指数函数的定义，需掌握住指数函数的定义，即可求解. 2．已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知函数，均单调递增，则，. 当时，，得，所以. 故选：D 3．设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数分为外函数：，内函数：； 根据复合函数同增异减法则，在区间上单调递增， 且外函数单调递减，则内函数在也单调递减； 为二次函数，开口向下，对称轴为，所以，所以. 故选：A． 4．在区间上，的最大值是其最小值的倍，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】区间上单调递增，又，， 所以，即，解得， 故选：C. 二、多选题 5．设函数（，且），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为，， 所以，解得（负值舍去），则， 易得是偶函数，且在单调递减，在单调递增， 故，，，故AD正确，BC错误. 故选：AD. 6．已知函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A选项，因为，所以，故A选项准确； B选项，，故B选项错误； C选项， ，因为函数单调递增，故，则，故C选项正确； D选项，，，因为，根据均值不等式可知， ，即，故D选项正确. 故选：ACD 三、填空题 7．函数且 过定点，则________ 【答案】-2 【详解】当时，即函数恒过， 此时 故答案为： 8．函数的值域为 ． 【答案】 【详解】当时，在上单调递减，所以； 当时，在上单调递增，所以； 综上所述，， 故答案为：. 9．已知不等式，且，则实数x的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为不等式，且， 所以，，解得， 所以实数x的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 10．已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 【答案】(1) (2)是偶函数，证明见解析 【详解】（1）函数是指数函数，且， ， 可得或舍去， （2）是偶函数    , 证明如下：，， ， 是偶函数． 11．已知函数且的图象过点(3,4). (1)求实数a的值； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为函数的图象过点(3，4)， 所以有，或舍去， 即 （2）由（1）可知：，该函数是实数集上的增函数， 因此由， 所以不等式的解集为. 12．已知函数（且）在区间上的最大值是16，求实数的值； 【答案】或. 【详解】根据给定条件，利用指数函数的单调性分类求解即得. 【详解】由，得到，令， 则，对称轴， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值和最小值分别是，， 故选：B. 高阶突破 1.已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，得到，令，从而将问题转化成求在区间上的最值，即可求解. 【详解】由，得到，令， 则，对称轴， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值和最小值分别是，， 故选：B. 2．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，命题“”是假命题， 等价于其否定“”是真命题， 令，则对恒成立， 即，需满足， 而，，当且仅当，即时取等号. 所以，即. 故选：A. 3．若，则满足的的最大值为 【答案】/ 【详解】显然的定义域是全体实数，所以它的定义域关于原点对称， 当时，，当时，， 当时，， 所以是偶函数， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 所以， 所以满足的的最大值为. 故答案为：. 4．函数在上的最大值为4，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图①，当时，函数的图象是由向上平移个单位后， 再向下平移个单位，函数图象还是的图象，满足题意， 如图②，当时，函数图象是由向下平移m个单位后， 再把x轴下方的图象对称到上方，再向上平移m个单位，根据图象可知满足题意， 如图③，时不合题意． 故答案为：． 5．已知函数，若，且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】画出的图象， 当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且， 令，解得，令，则， 若，且，则，， 所以，， 当时，取得最小值，最小值为， 又时，，时，， 故. 故答案为： 6．已知函数满足，其中且. (1)求的解析式； (2)若，求函数的定义域； (3)讨论的值域. 【答案】(1)，其中且 (2) (3)见解析 【详解】（1）令，则 故，其中且 （2）当时，，则， 故，则，解得,解得， 故的定义域为 （3）由于，故 当时，故值域为， 当时，故值域为 7．已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． (1)求函数和的解析式； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题，， 则有， 又因为偶函数和奇函数，所以， 所以联立， 解得. （2）因为， 由， 可得， 即， 令， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 又因为，所以， 所以，即恒成立，其中， 令，， 则函数在时恒成立， 当，即时，在单调递增， 所以，符合题意； 当，即时， 函数在对称轴处取得最小值，则， 则，即， 解得，又因为，所以， 综上，， 所以的取值范围是. 8．已知函数（，且）. (1)若函数的图象过和两点，求在上的值域； (2)若，且函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由题意，，， 又，解得，，所以. 因为在上单调递增，所以， 所以在上的值域为. （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$