精品解析：甘肃省徽县第三中学2024-2025学年高一上学期期中测试数学试题

高一第一学期期中测试 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 以下元素的全体不能够构成集合的是 A. 中国古代四大发明 B. 周长为的三角形 C. 方程的实数解 D. 地球上的小河流 2. 设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 4. 已知则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知命题P：，，则下列说法正确的是（ ） A. ：，，且为假命题 B. ：，，且为真命题 C. ：，，且为假命题 D. ：，，且为真命题 6. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 8. 有四组函数①与；②与；③与；④与其中是同一函数的组数 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 有下面四种表示方法：其中能正确表示方程组的解集的是（ ） A. 或 B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 13. 已知，当取得最小值时，______. 14. 已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是__________. 四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分） 15. 设集合，问是否存在，使，若存在实数，求出实数的取值，若不存在，请说明理由． 16. （1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求函数的解析式. 17. 已知函数. （1）若不等式解集为时，求实数的值； （2）当时，解关于的不等式. 18. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值； （3）若为正常数，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一第一学期期中测试 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 以下元素的全体不能够构成集合的是 A. 中国古代四大发明 B. 周长为 的三角形 C. 方程 的实数解 D. 地球上的小河流 【答案】D 【解析】 【详解】地球上的小河流不确定，因此不能够构成集合，选D. 2. 设 是非零实数，若 ，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取特殊值排除ABD，根据不等式性质证明C得到答案. 【详解】取 ， ，计算得到， ，AB错误； 取 ， ，计算得到，D错误； ，则，即，C正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生的计算能力和转化能力，取特殊值排除是解题的关键. 3. 已知集合，则集合 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合AB,再利用集合交集的定义求解即可. 【详解】由条件可知集合, , 则集合. 故选：C. 4. 已知 则 是 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，再比较集合包含关系确定选项. 【详解】因为  ， 所以 是 的充分不必要条件，选A. 【点睛】本题考查解含绝对值不等式、解一元二次不等式以及充要关系判定，考查基本分析求解能力，属基础题. 5. 已知命题P： ， ，则下列说法正确的是（ ） A. ： ， ，且 为假命题 B. ： ， ，且 为真命题 C. ： ， ，且 为假命题 D. ： ， ，且 为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合配方法进行判断即可. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题， 所以 ： ， ， 因为 对于 ，恒成立，所以 为真命题， 故选：D 6. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数解析式分段求解，取并集即可. 【详解】当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 所以 时， 的值域为， 故选：D 7. 不等式 对一切实数 都成立，则 的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，分类讨论并结合一元二次不等式恒成立求出范围. 【详解】不等式 对一切实数 都成立，当 时， 成立，则 ， 当 时，必有，解得 ，则 ， 所以 的取值范围为 . 故选：D 8. 有四组函数① 与；②与 ；③ 与；④ 与其中是同一函数的组数 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】 根据同一函数的定义进行判断即可. 【详解】第①组函数：的定义域为非零的全体实数，而 的定义域是全体实数，故这两个函数不是同一函数； 第②组函数： ， ，所以这两个函数同一函数； 第③组函数：的定义域为全体非负实数，而 的定义域是全体实数，故这两个函数不是同一函数； 第④组函数：， ，所以这两个函数不是同一函数，所以只有一组函数是同一函数. 故选：D 【点睛】本题考查了同一函数的定义，考查了函数的定义域，考查了根式的性质. 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 若 ，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A，C；利用作差法比较大小判断B，D. 【详解】解：对于A，因为 ，所以，故A正确； 对于B，，由于 ，所以 ， 则 ，即，故B错误； 对于C，因为 ，所以，所以，故C正确； 对于D，，由于 ，则 ，但 与 的大小不确定，故D错误. 故选：AC. 10. 定义在 上的函数，对于任意的 ， 都有，且 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用赋值法逐项求解判断即可. 【详解】令 ， 得，因为 ， 所以，即 ，故A正确； 令 ， 得，即， 所以，所以，故B错误； ， ， 所以 ，故C错误； ， ， ， ， 所以，故D正确. 故选：AD 11. 有下面四种表示方法：其中能正确表示方程组的解集的是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】 先求出方程组的解，再利用集合表示判断即可. 【详解】由， 得， 解集用集合表示为：或. 故选：B D. 【点睛】本题主要考查了集合的表示.属于容易题. 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 由求出 的取值范围，可得出函数的定义域，可得出 不等式，进而可求得函数的定义域. 【详解】由于函数的定义域为，则，可得， 所以，函数的定义域为， 对于函数，则有 ，解得 . 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知 ，当取得最小值时， ______. 【答案】 【解析】 【分析】 由于 ，再利用基本不等式即可求出的最小值，从而可求出当取得最小值时， 的值. 【详解】解：因为 ，则 ， ， 当且仅当，即 时取等号， 即当 时，取得最小值. 故答案为： . 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 14. 已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【详解】x只能取3,4,5，故5＜k≤6. 四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分） 15. 设集合 ，问是否存在 ，使，若存在实数 ，求出实数 的取值，若不存在，请说明理由． 【答案】 因为，所以 ， 变形得 ，所以 或 或 ， 当 时，，不符合集合中元素的互异性，故舍去； 当 时，，不符合，故舍去； 当 时，，不符合，故舍去； 所以不存在实数 ，使得. 【解析】 【分析】由，得 ，分类讨论逐个判断即可. 【详解】略 16. （1）已知 是一次函数，且 ，求 的解析式； （2）已知函数 ，求函数的解析式. 【答案】（1）或 ；（2） . 【解析】 【分析】(1)根据给定条件设出函数 的解析式，利用待定系数法求解即得； (2)令 ，借助换元法即可得解. 【详解】（1）因为是一次函数，则不妨设， 于是得 ，而 ， 因此，，解得或， 所以函数的解析式为或 ； （2）令 ，则 ，于是得 ，则有 ， 所以函数的解析式为 . 17. 已知函数 . （1）若不等式 解集为时，求实数 的值； （2）当 时，解关于 的不等式 . 【答案】（1） 或；（2） 时，不等式 的解集为 ； 时，不等式 的解集为或； 时，不等式 的解集为或 【解析】 【分析】(1)由已知可得 的两个根为和3，即可求出 的值. (2)分，，三种情况进行讨论求解. 【详解】 （1）∵ 的解集为， ∴或，∴ 或 （2）当 时 当，即 ， 恒成立.∴ 当，即 ， 或 当，即 时，或 综上： 时，不等式 的解集为 ； 时，不等式 的解集为或 时，不等式 的解集为或 【点睛】本题考查二次方程的根与二次不等式的解集间的关系，考查含参数的二次不等式的解法，考查分类讨论思想的应用，属于中档题. 18. 已知集合 ，集合 . （1）当 时，求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围； （3）若 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ； （2） ； （3） . 【解析】 【分析】（1）根据集合间的运算直接得解. （2）根据集合的包含关系，列不等式，解不等式即可. （3）根据交集的结果分情况列不等式，解不等式. 【小问1详解】 由 得， ，而 ， 所以 . 【小问2详解】 由 ，得，解得 ， 所以实数 的取值范围是 . 【小问3详解】 当 时， ，解得，满足 ，则； 当 时，由 ，得或，解得， 所以实数 的取值范围是 . 19. 已知函数. （1）当 时，求的最小值； （2）当时，求的最小值； （3）若 为正常数，求的最小值. 【答案】（1）6；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用对勾函数的单调性求得函数的最小值； （2）利用对勾函数的单调性求得函数的最小值； （3）利用对勾函数的单调性，然后对参数 分情况讨论，求得函数的最小值； 【详解】（1）当 时， ，易知在上单调递减，在上单调递增， ； （2）当时， ，易知在 上为增函数，； （3） 在上单调递减，在上单调递增， 当 ，即 时，在上单调递减，在上单调递增，此时 ； 当 ，即 时，在上单调递增，此时 ， 综上所述，. 【点睛】本题主要考查利用对勾函数的单调性求函数的最值，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $