导数的概念与几何意义专项练习-2025届高三数学一轮复习

高考一轮复习 2024-2025学年度高三一轮复习12--导数的概念与几何意义专项练习 一、单选题 1．（24-25高三上·广西·阶段练习）曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知曲线C：在点A处的切线与直线平行，则该切线方程是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东·模拟预测）若函数是偶函数，则曲线在处的切线斜率为（   ） A． B．0 C． D． 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C．1 D． 5．（24-25高三上·江西·阶段练习）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数的导函数图像如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．是极大值点 C．在区间内一定有个极值点 D．的图像在点处的切线斜率等于 7．（24-25高三上·重庆·阶段练习）日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位；元）为，则净化到纯净度为左右时净化费用的变化率大约是净化到纯净度为左右时净化费用变化率的（   ） A．10倍 B．25倍 C．50倍 D．100倍 8．（24-25高三上·吉林白城·期中）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C． D．的解集为 10．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．点是曲线的对称中心 B．当时，函数有3个零点 C．若函数有两个零点，则 D．过坐标原点可以作曲线三条切线 11．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）对于函数，则下列判断正确的是（   ） A．直线是过原点的一条切线 B．关于对称的函数是 C．过一点可以有条直线与相切 D． 三、填空题 12．（24-25高三上·河南·期中）已知，则曲线在点处的切线方程为 . 13．（24-25高三上·湖南·阶段练习）曲线的一条切线为，则 ． 14．（24-25高三上·湖南·阶段练习）曲线在点处的切线与抛物线相切，则 . 四、解答题 15．（24-25高三上·广东揭阳·阶段练习）已知函数. (1)求函数在点 处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 16．（22-23高三上·辽宁抚顺·开学考试）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极值，求的单调区间. 17．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知函数其中为常数. (1)求在处的切线方程； (2)若，使成立，求的最小值. 18．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，求k的值； (3)设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值. 19．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若时，，求的取值范围； (3)求证：. 参考答案： 1．A 【分析】求导，根据导数的几何意义可得解. 【详解】由已知，则， 当时，， 即切线斜率， 故选：A. 2．D 【分析】先设切点坐标，再根据导数的几何意义得切点坐标，最后用点斜式求出直线方程即可. 【详解】根据题意可得，设，则，解得， 所以，所以， 故所求切线方程为，即. 故选：D. 3．B 【分析】利用偶函数的定义可求得，进而求得在处的导数，可得结论. 【详解】因为函数是偶函数，所以，又易得函数的定义域是， 即， 所以， 所以，又，所以解得，所以， 所以，所以， 所以曲线在处的切线斜率为. 故选：B. 4．C 【分析】根据导数的定义计算可得结果. 【详解】由导数的定义，. 故选：C. 5．A 【分析】求导，根据点斜式求解切线方程，即可求解切线与坐标轴的交点，进而可求解面积. 【详解】，则，即切线方程为. 令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：A 6．C 【分析】根据函数的图象，结合导函数与原函数的关系，以及导数的几何意义、函数的极值点的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的图象，可得当时，， 所以函数在区间为单调递增函数，所以，所以A错误； 对于B中，由A知，函数在区间为单调递增函数， 因为，所以不是函数的极值点，所以B错误； 对于C中，由函数的图象，当时，； 当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以C正确. 对于D中，由函数的图象，可得， 所以函数的图象在点处的切线的斜率大于0，所以D不正确； 故选：C. 7．D 【分析】根据导数的概念可知净化所需费用的瞬时变化率即为函数的一阶导数，即先对函数求导，然后将和代入进行计算，再求，即可得到结果． 【详解】由题意，可知净化所需费用的瞬时变化率为， 所以，， 所以， 所以净化到纯净度为左右时净化费用的变化率大约是净化到纯净度为左右时净化费用变化率的倍. 故选：D 8．B 【分析】先利用导数分段求导，设两点坐标结合导数的几何意义求切线方程，分类讨论得出切线重合的条件等式，消元转化为方程有根问题，利用导数研究单调性计算参数范围即可. 【详解】当时，的导数为， 当时，的导数为， 设，为该函数图象上的两点，且， 当，或时，，故， 当时，函数在点处的切线方程为； 当时，函数在点处的切线方程为． 两直线重合的充要条件是①，②， 由①及，得， 由①②，令，则， 且，记， 则其导数为，易知在恒成立， 则函数在为减函数， ∴，. ∴实数a的取值范围是． 故选：B． 9．ACD 【分析】设，分析可知的极值点为、，以及为奇函数，可求 得，，根据函数的单调性可得出，逐项分析可得出合适的选项. 【详解】由图可知，三次函数为奇函数，且的极值点为、， 设，则，可得， 由奇函数的定义可得，即， 所以，可得，则， 由题意可得，可得，则， 由图可知，函数的单调递增区间为， 故不等式的解集为，所以， 对于A选项，由题意可知，， 由导数的定义可得，故A正确； 对于B选项，，， 由，，所以，故B错误； 对于C选项，，所以，故C正确； 对于D选项，由， 可得，解得或， 因此，不等式的解集为，故D正确. 故选：ACD 10．AC 【分析】根据即可判断A；对求导得到的单调性，判断的极值点个数判断B；要使有且仅有2个零点，由单调性可得，故，求解判断C；过点可以作曲线切线条数可转化为根的个数可判断D． 【详解】对于A，对任意的，， 所以点是曲线的对称中心，故A对； 对于B，当时，，， 由，可得，由，可得或， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以函数的极大值为，极小值为， 又因为， 由零点存在定理可知，函数在区间有一个零点， 当时，，所以当时，函数有一个零点，故B错； 对于C，当时，，此时单调递增，至多一个零点，不符合要求， 当，所以， 令解得或，令解得， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 由于，要使有两个零点，则，解得时，故C正确； 对于D,，设切点为， 所以在点处的切线方程为：， 又因为切线过点，所以， 解得，， 即过点可以作曲线的1条切线，故D错误； 故选：AC 【点睛】难点点睛：本题考查了导数的综合应用，难点是选项C的判断，解答时要结合函数的单调性，求出函数的极值，结合零点个数列式求解. 11．ABD 【分析】由导数的几何意义可判定A，由反函数的概念可判定B，利用对数函数的图像可判定C，利用常用的切线放缩可判定D. 【详解】对于A，设切点，则， ∴，∴，∴，切点 所以过原点的切线方程为，∴A正确； 对于B，由反函数的概念可得， 故与关于对称的函数为，∴B正确； 对于C，当点在上方，如下图所示，结合图象可知，最多有两条切线， 如果在下方，没有切线，在曲线上，只有一条切线C正错误； 对于D，由于，设， 令，令， ∴在上单调递增，在上单调递减； ∴，∴D正确． 故选：ABD 12． 【分析】求导，即可求解斜率，根据点斜式即可求解直线方程. 【详解】，故，又， 故曲线在点处的切线方程为，即， 故答案为： 13． 【分析】求导数，然后根据切线斜率求出切点坐标，代入切线方程后可得结论． 【详解】，令，则，切点代入直线得． 故答案为：． 14．1 【分析】求出曲线在点处的切线方程，由该切线与抛物线相切，联立消元，得到一元二次方程，其，即可求得. 【详解】由，则，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 当时，则 ，得， 由，得. 故答案为：1. 15．(1) (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）先利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】（1）由，得， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为：，即. （2）由，令，解得或， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，最小，且最小值为， 因为，，故最大值为. 16．(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出及，再由点斜式直线方程可得； （2）先求导函数，再由在处取得极值得解得，然后代入值由导函数符号可得函数的单调区间. 【详解】（1）因为，所以. 则，切点为. 切线的斜率 因为切线经过切点， 所以切线方程为， 即. （2）因为， 所以. 因为函数在处取得极值， 所以，解得. 则，. 令，解得或，则在和单调递增； 令，解得，则在单调递减. 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由题意，将其等价转化为在有解，即， 令，进而利用导数分析单调性求解即可. 【详解】（1）由，得， 则， 故所求切线方程为，即. （2），使成立， 即，使成立， 则在有解，即. 令，， 令得；令得， 故在单调递增，在单调递减， 所以， 则，故的最小值为. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标，写出切线方程即可； （2）利用导数研究的最值，由最小值为0，进一步利用导数研究方程的根即可； （3）应用（2）的结论，结合数列求和知识研究m的取值范围，进而求得最小值. 【详解】（1）当时，，， 所以，所以切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）因为， 当时，， 所以在上单调递增， 又因为，与不符； 当时，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，所以， 设， 则， 由，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以有唯一解，且. （3）由（2）知当时，， 当且仅当时，. 所以当且时，， 则. 取（），所以， 所以，，， 所以. 所以 所以 于是对于任意正整数n，， 只需，又因为，所以， 则m的最小值为. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 19．(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为，求出函数的最大值得解； （3）先构造函数，利用导数证明，，令，可得，迭代累加可证得结果. 【详解】（1）当时，，， 则，则， 所以在点处的切线方程为. （2）由时，， 即，整理得，对恒成立， 令，则， 令，， 所以，即函数在上单调递减， 所以，即， 所以函数在上单调递减，则， . （3）设，， 则， 所以在上单调递减，则，即， ，， 令，， 可得， 所以， ， ， … ， 以上式子相加得， 整理得，， 两边取指数得，， 即得，得证. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数，利用导数证明，，令，得到 不是因为有希望而去努力，而是努力了才能看见希望1 学科网（北京）股份有限公司 $$