函数与方程专项练习-2025届高三数学一轮复习

高考一轮复习 2024-2025学年度高三一轮复习11--函数与方程专项练习 一、单选题 1．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数，若在有唯一的零点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）函数，正确的命题是（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在定义域上是严格增函数 D．有两个不同的零点 3．（2024·北京·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 4．（2024高三·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 则当精确度为时，方程的近似解可取为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数当时，方程的根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）函数有且仅有4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数.若函数有8个不同的零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知为函数的一个零点，则（   ） A．的图象关于对称 B．的解集为 C．时， D．时，，则的最大值为4 11．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，则下列结论中正确的是（   ） A．函数有两个零点 B．恒成立 C．若方程有两个不等实根，则的范围是 D．直线与函数图象有两个交点 三、填空题 12．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）函数的零点个数为 . 13．（2024·四川绵阳·一模）已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ． 14．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是 . 四、解答题 15．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程有8个不同的实根，求的取值范围． 16．（24-25高三上·上海·开学考试）已知函数，其中且． (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若存在实数，使得，求的取值范围； 17．（24-25高三上·四川内江·阶段练习）已知函数，且. (1)求实数的值，在图中作出的图象（可直接作图，不用书写过程），并求函数有个不同的零点时实数的取值范围； (2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围. 18．（24-25高三上·重庆·期中）已知 (1)求的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有两个零点， ①求的取值范围； ②求的值. 19．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数，，，且 (1)当且时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上有零点，求t的取值范围. 参考答案： 1．A 【分析】先判断是偶函数，根据偶函数的对称性即可求解. 【详解】由于， 所以是偶函数， 要使在有唯一的零点，则， 即，解得， 故选：A 2．C 【分析】利用指数函数和对数函数的性质，结合特值法，即可判断. 【详解】对于A：因为，定义域，所以定义域，故A错误； 对于B：设，则，故B错误； 对于C：因为，所以在定义域上是严格增函数，故C正确； 对于D：设，则，又因为，且在定义域上是严格增函数，所以只有一个零点，故D错误. 故选：C. 3．A 【分析】根据函数表达式确定函数在（）上是增函数且，零点个数转化为函数与的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论． 【详解】由，得在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，， 又时，是增函数，即， 所以，因此时，， 令，它在上是减函数，，，， 当时，， 作出和在上图象，如图，由图可知： 在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有两个交点， 所以的零点个数为2. 故选：A． 4．C 【分析】利用二分法结合零点存在定理即可判断选项. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内， 结合选项可知，方程的近似解可取为． 故选：C 5．D 【分析】结合分段函数、周期函数和函数零点的含义结合两个函数图像求解. 【详解】当时，即则的周期为 画出函数的图像， 令则又因为则 由图可知方程 的根的个数即为两个函数图像交点的个数， 由图像可知，当时，存在一个零点，因为时， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，恒成立，则两函数无零点. 综上所述，两函数有三个零点. 故选：D. 6．D 【分析】构造函数，由，得，根据奇偶性可得，则，再根据正弦函数的性质求出值域即可. 【详解】令，则恒成立， 则在上单调递增，且是奇函数. 由，得， 即， 从而，即. 故选：D. 7．C 【分析】先判断函数在上有两个零点，再结合函数在上有两个零点求的取值范围. 【详解】当时，，， 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又因为，且，， 所以在上有和两个零点. 又因为函数有且仅有4个零点，所以函数有两个不同零点，设为，. 则：. 故选：C 8．D 【分析】画出函数的图象并利用函数与方程的思想结合图象可知方程有两个不相等的实数根，且，再由二次函数根的分布解不等式可得a的取值范围. 【详解】根据题意对于函数可得； 当时，令，可得， 所以时，，可得在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减； 因此在处取得极小值，也是最小值； 画出函数的图象如下图所示： 令，可得， 若函数有8个不同的零点，可知方程有两个不相等的实数根， 结合图象可知， 所以需满足，解得 故选：D 【点睛】方法点睛：在求解复合函数根的个数问题时，经常利用函数与方程的思想画出函数图象并根据图象之间的交点个数来限定参数所满足的不等关系，解不等式即可得出结论. 9．BCD 【分析】由题意，作出函数的图象，结合图形和二次函数的性质，依次判断选项即可. 【详解】结合函数的图象可知，，故A错误；    由，可得，故B正确； 因为，所以，所以，则， 又，所以， 由二次函数性质得在上单调递增， 故，故C正确； 因为，所以，故D正确． 故选：BCD 10．AD 【分析】根据求得，根据函数的对称性、不等式的解法、导数与单调性、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，， ∴， 所以，所以的图象关于对称，所以A正确； 且，所以B错误； ∵当时，，而在上单调递减， ∴，∴C错误； ， 所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减， ， 画出的大致图象如下图所示， D选项中，时，， 由图可知，的最大值为，所以D选项正确. 故选：AD 11．BCD 【分析】分和两种情况探讨的符号，判断A的真假；转化为研究函数的最小值问题，判断B的真假；把方程有两个不等实根，为有两个根的问题，构造函数，分析函数的图象和性质，可得的取值范围，判断C的真假；直线与函数图象有两个交点转化为有两解，分析函数的零点个数，可判断D的真假. 【详解】对A：当时，；当时，；时，， 所以函数只有1个零点.A错误； 对B：欲证，须证在上恒成立. 设，则， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为，因为，所以.故B正确； 对C：. 设， 则，. 由；由. 所以在上单调递增，在单调递减. 所以的最大值为：，又当时，. 如图所示： 所以有两个解时，.故C正确； 对D：问题转化为方程：有两解，即有两解. 设，，所以. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以的最大值为. 因为，，所以 所以. 且当且时，；时，. 所以函数的图象如下： 所以有两解成立，所以D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法： （1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解. （2）转化为含参数的函数的极值问题求解. 12． 【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，结合函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解. 【详解】函数的定义域为，由得， 函数的零点即方程的根， 作出函数和的图象，如图， 由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点． 故答案为：. 13． 【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案. 【详解】函数的定义域为， 由，得，令函数， ，则函数图象关于直线对称， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，    直线与函数的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为， 观察图象得，所以的零点之和为. 故答案为： 14． 【分析】先画出函数的图象，把方程有4个不同的实数根转化为函数的图象与有四个不同的交点，结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】因为， 当时，可知其对称轴为， 令，解得或； 令，解得或； 当时，令，解得或， 作出函数的图象，如图所示， 若方程有四个不同的实根， 即与有四个不同的交点， 交点横坐标依次为， 则， 对于，则，可得，所以； 对于，则，可得； 所以， 由对勾函数可知在上单调递增， 得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知方程的根，函数有零点，函数图象的交点求参数取值范围常用的方法和思路， (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 15． 【分析】先讨论，结合函数解析式，确定显然不满足题意；再讨论，画出的图象，利用数形结合的方法，即可求出结果. 【详解】若，当时，恒成立； 当时，由得，即仅有一个根； 所以由可得，则；即方程仅有一个实根； 故不满足有8个不同的实根； 若时，画出的大致图象如下， 由可得，，， 又有8个不同的实根， 由图象可得，显然有三个根，显然有两个根， 所以必有三个根，而，， 为使有三个根，只需，结合，解得． 综上，，即的取值范围是． 16．(1) (2) 【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集； （2）根据的定义域将问题转化为时，有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1），则， ， ， ， ，定义域为， 要解不等式，则， ． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 综上所述，不等式的解集为． （2）的定义域为，则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数， ， ，两边同除以得． 令，由，则， 在有解． 又在上严格增函数， ，即， 又，则. 17．(1)；作图见解析， (2) 【分析】（1）根据函数值直接可得参数值，再根据基本初等函数的性质作出函数图象，将函数零点转化为两函数交点问题，根据函数的单调性与值域情况，数形结合可得解； （2）根据函数的单调性可得范围，解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以， 易知当时，函数单调递增，且， 当时，函数单调递减，且， 当时，函数单调递增，且， 函数的大致图象如图所示， 令，即， 故有三个零点可转化为方程有个不同的实根， 即函数与函数有个交点， 由图象可知； （2）由（1）可知，函数在区间和上分别单调递增， 因为， 且函数在区间上为增函数， 所以可知， 解得或 所以实数的取值范围为. 18．(1) (2)①或② 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角的正弦公式，辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦函数单调性进行求解即可； （2）①利用换元法，结合数形结合思想进行求解即可；②根据正弦函数的性质进行求解即可. 【详解】（1） ， 结合正弦函数的图象与性质可得：当， 即时，函数单调递增， 所以函数的单调递增区间为； （2）①令，当时，，， 所以，    所以要使在区间上恰有两个零点，的取值范围为或； ②设是函数的两个零点（即）， 由正弦函数图象性质可知，即， 所以. 19．(1) (2)或 【分析】（1）当时，将不等式转化为，利用对数函数的单调性结合一元二次不等式求解即可； （2）解法一：分离参数，将原函数的零点问题转化为且有根，设且，则，利用对勾函数的单调性求解值域即可求解； 解法二：先判断时，不合题意，当时，根据二次函数零点分布分类讨论，列不等式组求解即可. 【详解】（1）当时，，又，则， ， 不等式的解集为； （2）解法一：由题设， 由，得且，则， 设且，则， 令， 当时，单调递减，当时，单调递增， 且，故且 或， t的取值范围为：或 解法二：，若，则在上没有零点． 下面就时分三种情况讨论： ①方程在上有重根，则，解得， 又； ②在上只有一个零点，且不是方程的重根，则，解得或， 经检验或时，在上都有零点，则或 ③方程在上有两个相异实根，则有或，解得， 综上可知：t的取值范围为或 不是因为有希望而去努力，而是努力了才能看见希望1 学科网（北京）股份有限公司 $$