幂函数专项练习-2025届高三数学一轮复习

高考一轮复习 2024-2025学年度高三一轮复习08--幂函数专项练习 一、单选题 1．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）函数为幂函数，则该函数为（    ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）“或”是“幂函数在上是减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C．3 D．9 6．（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数，若，，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．不等式的解集为 10．（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则函数的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（   ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 C．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是增函数 三、填空题 12．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）幂函数在上是减函数，则的值为 ． 13．（2024·福建泉州·模拟预测）已知幂函数的图象过点，则复数（其中i为虚数单位）的模的大小= ． 14．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 . 四、解答题 15．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，且该函数的图象经过点. (1)确定m的值； (2)求满足条件的实数a的取值范围. 16．（2023高三·全国·专题练习）已知幂函数在上是增函数. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 17．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图像关于点对称． (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象； （提示：列表、描点、连线作图） 18．（23-24高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知幂函数在上单调递增 (1)求的值； (2)若函数在上单调递减，求的取值范围. 19．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知幂函数在上单调递减，函数． (1)求的值； (2)记集合，集合，若，求实数的取值范围 参考答案： 1．D 【分析】根据幂函数定义可得，求得解析式即可得出该函数为偶函数； 【详解】由题意知，即， 则该函数为，此时函数定义域为全体实数集， 该函数在定义域内有增有减，不是单调函数； 函数满足，为偶函数. 故选：D 2．C 【分析】根据幂函数和指数函数的单调性并结合充分不必要条件的判断即可得到答案. 【详解】是增函数，又， ，所以， 又是增函数，则，故充分性成立； 是增函数，， ，但不一定成立，故必要性不成立. 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 3．C 【分析】直接由幂函数的定义列方程组即可求解. 【详解】由题意. 故选：C. 4．C 【分析】由幂函数的概念，系数为1，且在上是减函数，指数为负即可. 【详解】由幂函数在上是减函数， 则，解得， 故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件. 故选：C. 5．C 【分析】由真数等于，求出定点的坐标，设幂函数，将点的坐标代入幂函数，求出的值，可得出幂函数的解析式，由此可计算出的值. 【详解】令，得，当时，，所以点的坐标为， 由于函数为幂函数，设， 将点的坐标代入，得，则， ，因此，. 故选：C. 6．D 【分析】根据已知条件，结合指数函数、幂函数的单调性，即可求解． 【详解】，在上单调递增， ， 故，所以， ，在上单调递增， ，故，即，所以． 故选：D 7．C 【分析】点在幂函数的图象上，求出解析式，判断单调性，通过比较指数式与对数式的大小，由单调性判断函数值的大小. 【详解】点在幂函数的图象上，则有， 解得，有，则在R上单调递增. 由，， 则，所以， 即. 故选：C. 8．C 【分析】由函数为奇函数化简，判断在上单调性，再构造函数，利用导数及幂函数的单调性判断与的大小关系即可得解. 【详解】函数定义域为R，，是上的奇函数， 则， 由，求导得，令，， 当时，，函数在上单调递减， 则，即，则在上单调递减， 由，得，而在上单调递增， 则，令，求导得， 当时，；当时，，在上递减，在上递增， 于是，而，，即，，， 因此，，从而， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：构造函数是判断的关键. 9．AB 【分析】利用幂函数的定义结合过点，可求判断AC；进而可得函数的奇偶性判断B；解不等式可求解集判断D. 【详解】因为函数为幂函数，所以，解得， 当时，幂函数的图象不可能过点，故， 当，幂函数的图象过点， 则，解得，故A正确，C错误； 的定义域为，且，故为偶函数，故B正确； 函数在上单调递减， 由，可得， 所以，解得且，故D错误. 故选：AB. 10．AC 【分析】先利用幂函数的解析式得到的解析式，从而得到为二次函数，进而根据二次函数的对称轴位置得到结果. 【详解】设幂函数，将代入可得：，所以， ，所以是二次函数，故排除B选项， 对称轴为，在轴左侧，故排除D选项， 当时，为开口向上的二次函数，可知A正确， 当时，为开口向下的二次函数，可知C正确. 故选：AC. 11．ABD 【分析】对于ABC：根据幂函数的性质结合奇偶性的定义直接判断即可；对于D：根据幂函数的性质直接判断即可. 【详解】对于选项A：若m，n是奇数时，则， 此时的定义域为，且， 所以幂函数是奇函数，故A正确； 对于选项B：若m是奇数，n是偶数时，则， 此时的定义域为，且， 所以幂函数是偶函数，故B正确； 对于选项C：m是偶数，n是奇数时，则， 此时的定义域为，不关与原点对称， 所以幂函数不具有奇偶性，故C错误； 对于选项D：时，由幂函数性质可知：在上是增函数，故D正确； 故选：ABD. 12． 【分析】由幂函数及其单调性即可求解. 【详解】由题意可得，解得：, 所以. 故答案为： 13． 【分析】设出，代入，求出解析式，计算出，求出，计算出模长. 【详解】设幂函数，因为函数图象过点， 所以，解得，所以， 所以， ， . 故答案为：． 14． 【分析】设出幂函数解析式代入点待定，再结合函数的单调性与定义域得不等式组求解即可得. 【详解】设幂函数，因为函数图象过点， 则，解得， 则，其定义域为，且在单调递减. 所以由， 可得，解得. 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 15．(1)1 (2) 【分析】（1）代入点的坐标求解即可； （2）利用幂函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为该函数的图象过点， 所以， 所以，所以或， 又，故. （2）由（1）知，故为上的增函数，又由， 得，解得. 所以满足条件的实数a的取值范围为. 16．(1) (2) 【分析】 （1）利用幂函数的定义与单调性可得出关于实数的等式与不等式，解出的值，即可得出函数的解析式； （2）分析函数的定义域与单调性，根据可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数为幂函数，则， 即，即，解得或， 又因为函数在上是增函数，则，解得， 所以，，故. （2）由（1）可知，，该函数的定义域为， 对任意的，，则函数为上的奇函数， 因为函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 17．(1) (2)图象见解析 【分析】（1）根据题意结合幂函数的定义和性质分析求解； （2）由（1）可得：，列表、描点、连线作图. 【详解】（1）因为为幂函数，则，解得或， 若，则，图象关于原点对称，符合题意； 若，则，图象不关于原点对称，不符合题意； 综上所述：. （2）由（1）可得：，则的定义域为， 可得 1 2 3 2 3 1 则的图象为： 18．(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义及幂函数的单调性即可求出符合条件的参数的值； （2）首先对函数求导，根据函数单调性将问题转化为导函数的恒成立问题，最后根据函数恒成立求得参数的取值范围. 【详解】（1）已知函数为幂函数， 得，解得：或； 当时，在单调递减，不符合题意； 当时，在单调递增； 综上可得：. （2）由（1）可知，， ， 由于在上单调递减， 所以在上恒成立； 故得，解得：. 因此得得取值范围为 19．(1) (2) 【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，求的值； （2）由函数的单调性，求和在区间内的值域，由集合的包含关系，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意得，，解得或， 当时，，在上单调递减，满足题意； 当时，，此时在上单调递增，不满足题意． 综上，． （2）由（1）知，，又，则． ∵，，∴． ∵，∴，∴，解得， 即实数的取值范围为 不是因为有希望而去努力，而是努力了才能看见希望1 学科网（北京）股份有限公司 $$