基本不等式与一元二次不等式专项练习-2025届高三数学一轮复习

高考一轮复习 2024-2025学年度高三一轮复习04--基本不等式与一元二次不等式专项练习 一、单选题 1．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）“对任意实数都有”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·重庆·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·模拟预测）已知非负实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 4．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（    ） A．13 B． C． D．8 5．（2024·湖北·一模）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河南·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 7．（2024·山西·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 二、多选题 9．（2024·安徽安庆·三模）已知集合，集合，若有且仅有3个不同元素，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（2024·贵州铜仁·模拟预测）下列不等式正确的有（ ） A．当时，的最大值是5 B．已知正实数满足，则 C．当时， D．函数最小值为 11．（2024·山西晋中·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 C．函数在区间上单调递减 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 三、填空题 12．（2023·广东·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 ． 13．（2025·河南信阳·一模）已知不等式的解集为，则函数的定义域为 . 14．（24-25高一上·甘肃金昌·阶段练习）已知函数，若，，使得不等式成立，实数的取值范围是 . 四、解答题 15．（2024·四川内江·模拟预测）已知． (1)若，求的最大值，并求出此时的值； (2)若且，求的最大值． 16．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数（，为实数） (1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； 17．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知集合， (1)求； (2)若不等式在集合上恒成立，求的取值范围. 18．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）某企业投资生产产品，经过市场调研，生产产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件产品的售价为100元． (1)写出利润关于产量的函数； (2)若生产的产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为多少万元？ 19．（2024·广东中山·模拟预测）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少时，的值最小？ 参考答案： 1．B 【分析】恒成立问题转化为最值问题求解，再根据推出关系判断必要不充分条件可得. 【详解】由题意，当时，恒成立， 设，， 则，当且仅当时等号成立， 所以， 故命题“对任意实数都有”. 又，且， 故“对任意实数都有”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式进行判断即可． 【详解】由得， 是的必要不充分条件， ， 故选：B． 3．B 【分析】根据，化简求得，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得，即， 又因为非负实数，所以，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：B． 4．C 【分析】先得出，再由基本不等式得出答案. 【详解】当时，，即 因为在直线上，所以 当且仅当时，取等号，即的最小值为. 故选：C 5．B 【分析】由已知可得，当和时分别求得最大值，即可求解. 【详解】由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润， 当时，，当且仅当时，等号成立， 则， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间. 故选：. 6．D 【分析】首先利用条件变形为，再利用基本不等式求的取值范围，再构造函数，利用函数的单调性，即可求解. 【详解】， ， 因为，且，所以， 设，， 函数在区间单调递减，所以函数的最小值为. 故选：D 7．C 【分析】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由的解集为，可得，且方程的解为， 所以，则，所以，即，又， 所以，解得，即关于的不等式的解集为. 故选：C. 8．B 【分析】根据题意，利用基本不等式求得的最小值，把不等式有解，转化为不等式，即可求解. 【详解】由两个正实数满足，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式有解，可得，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故选：B. 9．AB 【分析】解一元二次不等式可得，结合指数函数性质可解出，结合交集性质即可得解. 【详解】由，解得， 故， 由，可得， ， 要使有且仅有3个不同元素，则，解得， 故选：AB． 10．ACD 【分析】利用基本不等式及特殊值依次判断选项即可. 【详解】对选项A，，所以， 则，当且仅当，即时等号成立，故A正确. 对选项B，取，满足 ，显然不成立，故B错误； 对选项C，因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确. 对选项D，当时，， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：ACD 11．AD 【分析】A选项，利用抽象函数定义域的求解判断即可；B选项，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案；C选项，求出的定义域即可判断；D选项，将问题转化为能够取到所有正数，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】A选项，对于，由，得， 对于，令，解得， 故函数的定义域为，A正确； B选项，当时，恒成立，满足要求， 当时，需满足，解得， 综上，的取值范围是，B错误； C选项，令，解得， 当 时显然无意义，所以不可能在上单调递减，C错误； D选项，若函数的值域为， 则能够取到所有正数， 当时，能够取到所有正数，满足要求， 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围是，D正确. 故选：AD. 12． 【分析】根据题意，得出，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意得，则 ， 当且仅当时取等号，故的最小值为． 故答案为：. 13． 【分析】根据题意，得到和是方程的两个根，列出方程组，求得的值，得出函数，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由不等式的解集为， 可得和是方程的两个根，且， 则，解得，所以函数， 要使得函数有意义，则满足， 即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14． 【分析】由题意将问题转化为，成立，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在递减，在递增， ，对称轴， ①即时，在递增，恒成立； ②即时，在递减，在递增，，所以，故； ③即时，在[0，1]递减，， 所以，解得，综上. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果. 15．(1)的最大值为3，此时； (2)3 【分析】（1）设，故，代入中，，设，根据二次函数根的分布得到不等式，求出，进而得到的最大值为3，代入，求出； （2）设，由于，，故，将代入等式中得，根据根的判别式得到，验证当时满足要求，从而得到最大值. 【详解】（1）设，故， ， 即， 令，开口向上， 则， 要想在上有解， 则要或， 由得， 由，即，解得， 综上，，故的最大值为3，此时，解得. （2）设，由于，，故， 将代入中，得 ，即， ，， 要想方程在上有解，需要，解得， 又，故， 当时，， 解得，此时，符合要求， 故的最大值为3. 【点睛】关键点点睛：设，故，转化为关于的一元二次方程，结合根的分布与二次函数图象，得到不等式，求出最值；设，转化为的解问题，利用根的判别式得到不等式，求出答案. 16．(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得. （2）由对恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可. 【详解】（1）依题意，，即， 由，恒成立，得， 即，整理得， 解得. 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，， 由，得，即， 依题意，对恒成立， 令， 则对，恒成立，于是， 解得， 所以实数的取值范围是． 17．(1) (2) 【分析】（1）化简集合A，B，再根据补集及交集运算求解； （2）求出的解，根据不等式恒成立可得是解集的子集， 列出不等式即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以，. （2）由题意，时，不等式恒成立， 由可得， 解得或， 所以时，不等式恒成立， 需满足或，即或. 故的取值范围为. 18．(1) (2)最大利润为1000万元 【分析】（1）分产量不足50万件和产量不小于50万件两种情况讨论，分别求出函数解析式； （2）利用导数求出函数在时的最大值，利用基本不等式求出当时的最大值，即可得解. 【详解】（1）由题意得，销售收入为100万元， 当产量不足50万件时，利润； 当产量不小于50万件时，利润． 所以利润； （2）①当时，， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，则； ②当时，， 当且仅当，即时取等号．又， 故当时，所获利润最大，最大值为1000万元． 所以，生产该产品能获得的最大利润为1000万元． 19．(1) (2)设备占地面积为时，y的值最小 【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解. （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. （2）， 当且仅当即时等号成立， 所以设备占地面积为时，的值最小 不是因为有希望而去努力，而是努力了才能看见希望1 学科网（北京）股份有限公司 $$