圆的方程专项训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

圆的方程专项训练 圆的方程专项训练 一、单选题 1．（23-24高二上·山东青岛·期末）过三点，，的圆交轴于，两点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知直线与圆交于A，B两点，且圆C在A，B两点处的切线交于点M，若为正三角形，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知两点，以线段为直径的圆截直线所得弦长为（    ） A． B． C．4 D．2 4．（23-24高二上·山东烟台·期末）若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·山东聊城·期末）直线：（）与圆：相交于、两点，下列说法正确的个数为（    ） ①直线过定点        ②时，弦最长 ③时，为等腰直角三角形    ④时，弦长为 A．3 B．2 C．1 D．4 6．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知圆，直线，若当的值发生变化时，直线被圆所截得的弦长的最小值为，则实数的取值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·山东临沂·期末）过圆C：外一点作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知点，直线过点且与线段AB相交，则与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切或相离 二、多选题 9．（23-24高二上·山东青岛·期末）下列有关直线与圆的结论正确的是（    ） A．方程表示的直线必过点 B．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为 C．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 D．若圆上恰有个点到直线的距离等于，则 10．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知直线和圆，则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过点 B．圆与圆有两条公切线 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在无数对关于直线对称的点 11．（23-24高二上·山东聊城·期末）若平面内的动点满足，则（    ） A．时，点的轨迹为圆 B．时，点的轨迹为圆 C．时，点的轨迹为椭圆 D．时，点的轨迹为双曲线 三、填空题 12．（23-24高二上·山东聊城·期末）写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线的方程 . 13．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知圆，过点的直线与圆交于两点，则的最小值为 ． 14．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知是圆上任意一点，则的取值范围为 ． 四、解答题 15．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程 (2)一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程． 16．（23-24高二上·山东日照·期末）已知直线：与垂直，且经过点. (1)求的一般式方程； (2)若与圆：相交于两点，求. 17．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)点P在圆C上运动，求的取值范围． 18．（23-24高二上·山东菏泽·期末）直线与双曲线的两条渐近线交于两点，分别为双曲线的左､右焦点. (1)求过点的圆的方程； (2)设（1）中的圆和双曲线在第一象限交于点，求圆在点处的切线方程. 19．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知以点为圆心的圆与圆相外切. (1)求圆的方程; (2)若直线与圆相交于，求的最小值及此时的方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$圆的方程专项训练 圆的方程专项训练 一、单选题 1．（23-24高二上·山东青岛·期末）过三点，，的圆交轴于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆的方程为，代入点的坐标，求出，，，则圆的方程可得，令，即可得出结果． 【详解】设圆的方程为， 则 ，，， ∴， 令，可得， ， ． 故选：D． 2．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知直线与圆交于A，B两点，且圆C在A，B两点处的切线交于点M，若为正三角形，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意可得，再根据三角形中的关系，结合垂径定理求解即可. 【详解】因为为正三角形，且均与圆相切，故， ，由四边形内角和为可得. 又圆，圆心为，半径为. 故到直线的距离为. 故，解得或（舍）. 故选：C 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知两点，以线段为直径的圆截直线所得弦长为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据题意可得已知圆的圆心和半径，利用直线与圆相交形成的弦心距，半径和半弦长的关系式即可求得. 【详解】依题意，以线段为直径的圆的圆心为：，半径为， 由点到直线的距离为， 则该圆截直线所得弦长为. 故选：A. 4．（23-24高二上·山东烟台·期末）若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到到的距离与到直线的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 设动圆圆心的坐标为，半径为，则， 又动圆与直线相切，即到直线的距离为， 所以到直线的距离为， 所以到的距离与到直线的距离相等， 所以的轨迹为抛物线，其焦点为， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：D． 5．（23-24高三上·山东聊城·期末）直线：（）与圆：相交于、两点，下列说法正确的个数为（    ） ①直线过定点        ②时，弦最长 ③时，为等腰直角三角形    ④时，弦长为 A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】求出直线所过定点，可判断①；由圆的弦长公式计算可判定②③④． 【详解】由题可知圆心，半径， 当时，恒成立，所以直线过定点，①正确； 时，：，圆心到的距离为，此时直线l过圆心，弦AB就是直径，最长，②正确； 时，：，圆心到的距离为， 所以弦长，此时， 所以不为直角三角形，③错误； 时，：，圆心到的距离为， 所以弦长，故④正确， 故选：A. 6．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知圆，直线，若当的值发生变化时，直线被圆所截得的弦长的最小值为，则实数的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心到直线距离的最大值，结合勾股定理可求得的值. 【详解】由题意可知，圆的圆心为原点，半径为， 直线交轴于点，当直线与垂直时， 此时，，原点到直线的距离取最大值，即， 因为直线被圆所截得的弦长的最小值为，即，解得. 故选：C. 7．（23-24高三上·山东临沂·期末）过圆C：外一点作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求以为直径的圆的方程，再让两圆相减得到直线的方程，即可求解直线所过的定点. 【详解】以为直径的圆的方程为， 即，圆， 两圆方程相减就是直线的方程，即可， 整理为， 联立，得， 所以直线恒过定点. 故选：A 8．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知点，直线过点且与线段AB相交，则与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切或相离 【答案】D 【分析】求得直线，的斜率，进而可求直线的方程，依据直线与圆的位置关系可得结论． 【详解】直线的斜率为，， 直线经过点且与线段相交， 直线的斜率的范围为,,， 直线的方程为，即， 由圆，可得圆心，，可知圆心在直线的右侧， 且圆心的直线的方程的距离为， 直线的方程为，即， 由圆，可得圆心，， 圆心的直线的方程的距离为， 故直线与圆相切或相离． 故选：D． 二、多选题 9．（23-24高二上·山东青岛·期末）下列有关直线与圆的结论正确的是（    ） A．方程表示的直线必过点 B．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为 C．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 D．若圆上恰有个点到直线的距离等于，则 【答案】ACD 【分析】对于，将直线方程化为即可判断；对于B，当截距为时即可判断；对于C，由圆的方程可得圆与圆相交，再将两圆的方程作差即可判断；对于D，由题意可得圆心到直线的距离等于，根据点到直线的距离公式即可判断． 【详解】对于，方程可化为， 直线过定点，故A正确； 对于B，当截距为时，直线方程为，故B错误； 对于C，圆的一般方程化为标准方程得，圆心为， 半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以圆与圆相交． 圆的标准方程化为一般方程得， 与圆的一般方程作差，可得，即， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为，故C正确； 对于D，若圆上恰有个点到直线的距离等于， 则圆心到直线的距离等于， 即，解得，故D正确． 故选：ACD 10．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知直线和圆，则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过点 B．圆与圆有两条公切线 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在无数对关于直线对称的点 【答案】ABD 【分析】求解直线系所过的定点判断A；判断两圆位置关系判断B；求解直线被圆截的弦长判断C，利用圆的圆心与直线的位置关系判断D． 【详解】对A，直线， 即，恒过点，所以A正确； 对B，圆的圆心坐标为，半径为， 而圆的圆心为，半径为1， 则两圆心的距离为，半径和为3，半径差为1 ，则，则两圆相交，则两圆有两条公切线，B正确； 对C，圆的圆心坐标为，圆的半径为2． 直线，恒过点，代入圆方程得， 则定点在圆内，则直线与圆必有两交点， 设圆心到直线的距离为，则弦长， 若要弦长最短，则最大， 而圆心到直线的距离最大值即为圆的圆心到定点的距离为： ， 所以直线被圆截得的最短弦长为 ，所以C不正确； 对D，当时，直线方程为：，代入圆心坐标， 得，则该直线经过圆的圆心， 所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确． 故选：ABD． 11．（23-24高二上·山东聊城·期末）若平面内的动点满足，则（    ） A．时，点的轨迹为圆 B．时，点的轨迹为圆 C．时，点的轨迹为椭圆 D．时，点的轨迹为双曲线 【答案】ABD 【分析】根据条件，结合选项，利用圆、椭圆、双曲线的定义，逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A，当时，由，得到， 其表示动点到定点的距离为，由圆的定义知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以选项A正确， 对于选项B，当时，由，得到， 整理得到，即，所以选项B正确， 对于选项C，当时，由， 得到，其表示动点到定点和的距离之和为， 又两定点，间的距离为，所以点的轨迹为线段上的点，故选项C错误， 对于选项D，当时，由， 得到，其表示动点到定点和的距离之差的绝对值为， 又，由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线， 故选：ABD. 三、填空题 12．（23-24高二上·山东聊城·期末）写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线的方程 . 【答案】或 【分析】利用直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式、弦长公式计算即可. 【详解】由题意可知圆心，半径，显然横轴与圆相切， 不妨设，由点到直线的距离公式可知C到l的距离为或， 所以的方程为：或. 故答案为：或. 13．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知圆，过点的直线与圆交于两点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据表示，两点到直线的距离之和的倍，结合，两点到直线的距离之和等于线段的中点到直线距离的2倍，根据题意分析可得中点的轨迹是以为直径的圆，从而求出到直线距离的最小值的倍即可得到答案. 【详解】由题可得：， 所以表示，两点到直线距离之和的倍， 根据题意作出图形如下： 如图，设，的中点为， 且，，在直线的投影分别为，，， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，易得，即， 所以点在以为直径的圆上，其圆心为，半径为， 由图可得： 由于到直线的距离， 所以， 即的最小值为. 故答案为：4 14．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知是圆上任意一点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，变形可得，利用的几何意义转化为直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】设，变形可得， 则的几何意义为直线的斜率， 是圆上任意一点，圆心，半径为， 则，解得， 即的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程 (2)一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设点，由得方程，化简整理即可 （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率存在讨论即可求解． 【详解】（1）设，由得， 化简得，动点的轨迹方程为：； （2）光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点， 故入射光线的斜率不为0，故反射光线的斜率不为0， 当入射光线的斜率不存在时，此时反射光线方程为， 此时直线与无交点，不合要求，舍去， 当入射光线的斜率存在时，点关于轴的对称点 由题意知反射光线所在的直线经过点，其斜率也一定存在， 设其方程为，即为， 设圆心到反射直线的距离设为，则， 所以，解得舍去或． 所以反射光线所在直线的方程为． 16．（23-24高二上·山东日照·期末）已知直线：与垂直，且经过点. (1)求的一般式方程； (2)若与圆：相交于两点，求. 【答案】(1) (2)8 【分析】 （1）由直线的方程和垂直关系可得的斜率为，由点斜式方程整理可得结果； （2）求出圆心C到直线的距离为，再由圆的弦长公式即可求得. 【详解】（1）由直线：，可得斜率， 因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以直线的方程为， 即. （2）由圆C：，可得圆心，半径， 则圆心C到直线：的距离为， 又由圆的弦长公式可得弦长 17．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)点P在圆C上运动，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可； （2）设P坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可. 【详解】（1）圆经过，两点，得圆心在的中垂线上， 又圆心C在直线上，联立直线方程有，得， 即圆心坐标为， 又， 故圆C的标准方程为． （2）设，易知， 则（*）， 因为点P在圆C上运动，则， 故（*）式可化简为，， 由得的取值范围为． 18．（23-24高二上·山东菏泽·期末）直线与双曲线的两条渐近线交于两点，分别为双曲线的左､右焦点. (1)求过点的圆的方程； (2)设（1）中的圆和双曲线在第一象限交于点，求圆在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立方程求得两点坐标，然后根据确定所求圆的圆心为原点，半径为2，从而求出圆的方程即可； （2）联立双曲线与圆的方程求得点的坐标，利用切线性质求得切线斜率，代入点斜式方程即可求解. 【详解】（1）由双曲线，得左焦点， 又直线与双曲线的两条渐近线交于两点， 将代入，得，所以两点得坐标分别为， 所以，则过点的圆的方程为. （2）由（1）得圆的方程为.解方程组得切点， 所以，又过点的圆的切线的斜率，得， 所以过点的圆的切线方程为，即. 19．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知以点为圆心的圆与圆相外切. (1)求圆的方程; (2)若直线与圆相交于，求的最小值及此时的方程. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据两圆外切求出圆的半径可得答案； （2）判断出点在圆内，由圆的几何性质可知，当时弦最小，利用求出，再由求出直线的方程. 【详解】（1）由已知得圆的圆心坐标为,半径， 圆的半径， 圆的方程为； （2）由已知得直线过定点， ， 在圆内， 由圆的几何性质可知，当时，弦最小， 此时， 又，， 当最小时，， ， 直线的方程为，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$