3.3 中心对称 讲义 2023--2024学年北师大版八年级数学下册

专题二 中心对称 【知识点】 1. 中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心. 这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点. 2. 中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 3. 关于原点对称的点的坐标的特征： 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P'(-x，-y). 题型1 中心对称图形的分割 【例1】请你用 一条直线将如图所示的“L”形图形分成面积相等的两部分. 【分析】对于中心对称图形，过对称中心的任一条直线均可把该中心对称图形分成大小和形状都相同的两部分. 而这一不规则图形可分成两个矩形，矩形是中心对称图形，对称中心是其对角线的交点. 因此，两矩形的对称中心确定的一条直线必把两个矩形同时分成形状和大小相同的两部分，不规则图形也就被该直线分成了面积相等的两部分. 举一反三。 1. 阅读下面操作过程，回答后面的问题： 在一次数学实践探究活动中，李小明同学过如图1所示的AB，CD的中点画直线EF，把矩形ABCD分割成a，b两部分：而王小刚同学过如图2所示的A，C两点画直线AC，把矩形ABCD分割成c，d两部分. (1) a, b, c, d的面积关系是 ; (2)根据这两位同学的分割原理，你能探索出多少种分割方法?请写出你的推理结果或猜想，并在图3中任意画出一种： (3) 从上述的试验操作过程，你能发现什么规律? 105 题型2 中心对称与中心对称图形在几何中的应用 【例2】如图, 在 中，D 是BC边上的中点， DE交AB于点E, DF交AC于点 F,连接EF. (1) 求证: (2) 若 探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明. 【分析】(1) 通过作辅助线证明三角形全等，得出对应边相等，在 中，根据三边关系得出结论：(2) 根据(1) 的结论，证出平行线，得出 ，再根据勾股定理即可得出结论. 举一反三。 2. 如图, 在 中，点D是AB边的中点， (1) 作出. 关于点 D 成中心对称的图形； (2) 求CD长的取值范围. 106 题型3 关于原点对称的点的概念 【例3】如图所示，在平面直角坐标系中， 的中心O恰为坐标原点，若 求: (1) 点C的坐标; (2) 若 求直线 BD 的解析式. 【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P(x，y)关于原点的对称点为 举一反三。 3. 如图, 已知点A, B的坐标为(2,3), (4, 0), 将线段AB绕点 P(m, n)旋转 得到线段CD (点A的对应点为C，点B的对应点为D).若点C，D都落在坐标轴上，求m 的值. 107 题型4 关于中心对称的点的坐标与一次函数的综合应用 【例4】如图所示，在平面直角坐标系中， 的顶点 A 在第一象限, 点B, C的坐标为(2, 1),(6, 1), 直线AB 交x轴于点 P. 若 与 关于点 P成中心对称，试求点A'的坐标. 【分析】根据等腰直角三角形，可得AB的长，再根据勾股定理，可得AD，BD的长，再根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值得对应关系，可得P点坐标，根据中点坐标公式，可得答案. 举一反三。 4. 如图, 已知矩形ABCD各顶点的坐标分别为A(0, 4), B(2, 0), C(8, 3), D(6, 7), 直线 平分矩形的面积，求k的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$