专题突破六：一元一次方程中定义新运算（20道）2024-2025学年人教版数学七年级上册 （原卷+解析版）

2024-2025七年级上册数学重难点提升（人教版） 专题突破六：一元一次方程中定义新运算 【新定义专练】 本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1．定义运算例如：． (1)计算； (2)，求x的值． 2．对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 3．已知：为有理数，如果规定一种新运算※，定义．根据运算符号的意义完成下列各题． (1)求的值； (2)求的值； (3)求m的值． 4．对于有理数a、b定义一种新运算，规定． (1)求的值； (2)若，求x的值． 5．类似于运算符号“+、－、×、÷”，新定义一种运算符号“”，规定：． (1)若，求的值； (2)若，请计算的值； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 6．阅读下列内容，完成任务． 定义：我们把使等式成立的一对有理数a，b称为“姊妹数对”，其中，记为．如．，，因此是一对“姊妹数对”． 任务： (1)数对和中，是“姊妹数对”的是_________． (2)若数对是“姊妹数对”，求x的值． 7．对于有理数，定义了一种新运算“※”为 如：． (1)计算：①__________，②___________； (2)若是关于的一元一次方程，且方程的解为，求的值； (3)若，且，求的值． 8．对任意4个有理数a、b、c、d，定义新运算． (1)化简； (2)若，求的值． 9．在有理数范围内定义新运算“*”，其规则为，求方程中x的值． 10．在实数范围内定义运算“”：，例如：． (1)若，，计算的值． (2)若，求的值． (3)若，求的值． 11．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求与的值． 12．定义新运算“⊕”：，如： (1)求的值； (2)已知，请根据上述运算，求x值． 13．用“※”定义了一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 例如：，若，求的值． 14．对于有理数、定义一种新运算，规定． (1)求的值； (2)若，求的值． 15．对于两个非零有理数，，定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 16．用“”定义一种新运算：对于任何有理数和，规定． (1)计算：； (2)若关于的方程满足：，求的值． 17．类似于运算符号“，，，”，新定义一种运算符号“”，观察下列运算： ；；； ； (1)归纳：用代数式表示的结果为：______． (2)若，求的值． (3)若，请计算的值． (4)比较与的大小，并说理由． 18．定义一种新的运算f：（k、b为常数，）这里等式的右侧为通常的四则运算，例如． (1)已知：，，求k、b的值； (2)在（1）的条件下，若，求m的值． 19． 定义一种新运算“”：．例如，． (1)计算：的值； (2)已知，求的值． 20．定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“互补方程”．例如：方程和为“互补方程”． (1)方程与方程______“互补方程”（填“是”或“不是”）． (2)若关于的方程与方程是“互补方程”，求的值． (3)若关于的方程与是“互补方程”，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025七年级上册数学重难点提升（人教版） 专题突破六：一元一次方程中定义新运算 【新定义专练】 本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1．定义运算例如：． (1)计算； (2)，求x的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查的是有理数的混合运算，根据新规定的运算法则列出算式和方程是解题的关键． （1）根据新定义的运算规则，将和代入计算即可； （2）根据新定义的运算规则，将和x代入可得关于x的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ， ． 2．对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，能根据新定义得出方程是解此题的关键． （1）根据新定义得出，进一步计算即可求解； （2）根据新定义得出，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得． 3．已知：为有理数，如果规定一种新运算※，定义．根据运算符号的意义完成下列各题． (1)求的值； (2)求的值； (3)求m的值． 【答案】(1)6 (2)16 (3)5 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，理解题意，正确理解新运算是解此题的关键． （1）根据新运算计算即可得出答案； （2）根据新运算先计算出括号内的，再计算括号外的即可得出答案； （3）根据新运算得出方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， 的值是16； （3）解：由题意得：， 解得：， m的值是5． 4．对于有理数a、b定义一种新运算，规定． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)10； (2)． 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算，一元一次方程的应用，理解新定义运算的含义是解本题的关键； （1）根据新定义运算的含义列式计算即可； （2）根据新定义运算的含义，可得，再解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵☆， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： 5．类似于运算符号“+、－、×、÷”，新定义一种运算符号“”，规定：． (1)若，求的值； (2)若，请计算的值； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)2016 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算和解一元一次方程，解答关键是按照新定义的规则进行计算． （1）按照新定义，列方程求解即可； （2）按照新定义，求出，再按照新定义计算得到，利用整体代换方法求值即可； （3）按照新定义分别计算m和n，再通过比差法比较m，n大小． 【详解】（1）由题意得： ， ∴； （2）由题意得： ， 即 ∴． ； （3） ，    ∴ ∴ ． 6．阅读下列内容，完成任务． 定义：我们把使等式成立的一对有理数a，b称为“姊妹数对”，其中，记为．如．，，因此是一对“姊妹数对”． 任务： (1)数对和中，是“姊妹数对”的是_________． (2)若数对是“姊妹数对”，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算和一元一次方程的应用，解题关键是看懂定义并能运用定义解决问题． （1）根据“姊妹数对”的定义即可判断； （2）根据“姊妹数对”的定义得关于的方程即可求解． 【详解】（1）解：对于数对，，， ∴， ∴是“姊妹数对”， 对于数对，，， ∴， ∴不是“姊妹数对”， 故答案为：； （2）∵数对是“姊妹数对”， ∴， 即： 解得：． 7．对于有理数，定义了一种新运算“※”为 如：． (1)计算：①__________，②___________； (2)若是关于的一元一次方程，且方程的解为，求的值； (3)若，且，求的值． 【答案】(1)5， (2)； (3)． 【分析】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程． （1）根据题中定义代入即可得出； （2）根据，代入题中定义，解方程即可求解； （3）先利用整式的加减求得的值，得到，再整体代入即可求解． 【详解】（1）解：根据题意：； ； 故答案为：5，； （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， 解得； （3）解：由题意 ， ∵， ∴，即， ∴． 8．对任意4个有理数a、b、c、d，定义新运算． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，解一元一次方程，新定义： （1）根据新定义得到，再根据整式的加减计算法则求解即可； （2）根据新定义得到，再解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 9．在有理数范围内定义新运算“*”，其规则为，求方程中x的值． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，理解新算法、将方程化成一元一次方程是解题的关键．根据新定义的运算将原方程写成一元一次方程，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴可化为， 解得． 10．在实数范围内定义运算“”：，例如：． (1)若，，计算的值． (2)若，求的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，整式的加减与化简求值； （1）根据新定义运算进行计算即可求解； （2）根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）根据新定义列出代数式，根据整式的加减进行化简，然后根据已知式子的值，整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）， ， 解得：； （3）原式 ， 当时，， 原式 ． 11．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求与的值． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答，即可． （1）解出和的解，再根据“和谐方程”的定义，即可； （2）根据“和谐方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，即可； （3）先解出的解，再根据“和谐方程”的定义，即可． 【详解】（1）∵， 解得：， ∵， ∴， ∵方程与方程是“和谐方程”， ∴， ∴． （2）∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为， ∴另一个方程的解为：， ∴， 解得：， ∴或． （3）∵， ∴， ∴方程的解为：， ∴， ∴， ∴， ∵取任何有理数上式都成立， ∴， \解得：， ∴，． 12．定义新运算“⊕”：，如： (1)求的值； (2)已知，请根据上述运算，求x值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、解一元一次方程： （1）根据新定义的运算法则即可求解； （2）根据新定义的运算法则得，解方程即可求解； 熟练掌握新定义的运算法则及解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）依题意得： ， 整理得：， 解得：． 13．用“※”定义了一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 例如：，若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程及代数式求值，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．先算出，再列出方程进行求解再代入求值． 【详解】解： ， ∵， ∴ ∴ ， ． 14．对于有理数、定义一种新运算，规定． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)21 (2)4 【分析】本题主要考查新定义下的实数运算，按照新运算法则计算即可． （1）按照新运算法则计算即可． （2）先按照新运算法则计算括号里的，再按照新定义运算计算外面的并解一元一次方程． 【详解】（1）解：根据新定义得： ， （2） 按照新定义展开：； ， ， ， ． 15．对于两个非零有理数，，定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，解一元一次方程，正确理解新定义是解答本题的关键． （1）根据新定义转化为有理数的混合运算计算即可； （2）根据新定义转化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）； （2） 16．用“”定义一种新运算：对于任何有理数和，规定． (1)计算：； (2)若关于的方程满足：，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程．理解题意，明确运算法则是解题的关键． （1）由，可得，计算求解即可； （2）根据题意可分①当时；②当时；两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， 根据题意可分为两种情况讨论： ①当时，可得， 解得，不符合题意，舍去； ②当时，可得， 解得，符合题意； 综上所述，； ∴． 17．类似于运算符号“，，，”，新定义一种运算符号“”，观察下列运算： ；；； ； (1)归纳：用代数式表示的结果为：______． (2)若，求的值． (3)若，请计算的值． (4)比较与的大小，并说理由． 【答案】(1) (2)2 (3)36 (4)，理由见解析 【分析】本题考查新定义运算，整式的加减运算，解一元一次方程，理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）观察所给式子，找出规律即可求解； （2）根据新定义运算将所给方程转化为普通方程，再解方程即可； （3）根据得出，再利用新定义计算，最后将作为整体代入求值； （4）利用新定义计算两个代数式，再作差，判断结果与0的关系即可． 【详解】（1）解：由题意知， 故答案为：； （2）解：若，则， 整理，得， 解得； （3）解：， ， ， ； （4）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 18．定义一种新的运算f：（k、b为常数，）这里等式的右侧为通常的四则运算，例如． (1)已知：，，求k、b的值； (2)在（1）的条件下，若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，正确理解新定义列得方程或方程组是解题的关键： （1）根据新定义列得，，直接求解即可； （2）根据新定义列得，解方程即可． 【详解】（1）解：由得： 由得：． 解方程组 解得：； （2）又，， 解得． 19． 定义一种新运算“”：．例如，． (1)计算：的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，掌握新运算的法则，是解题的关键． （1）根据新运算，列出算式进行计算即可； （2）根据新运算，列出方程进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）∵， ∴， ∴． 20．定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“互补方程”．例如：方程和为“互补方程”． (1)方程与方程______“互补方程”（填“是”或“不是”）． (2)若关于的方程与方程是“互补方程”，求的值． (3)若关于的方程与是“互补方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， （1）分别求得两个方程的解，再利用“互补方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“互补方程”的定义列出关于 的方程解答即可； （3）分别求得两个方程的解，利用“互补方程”的定义列出关于的方程，求得的值即可． 【详解】（1）由，解得； 由，解得． ， 方程与方程是“互补方程”． 故答案为：是； （2）由，解得； 由解得． 关于的方程与方程是“互补方程”， ， 解得． （3）由，解得； 由，解得； 关于的方程与是“互补方程”， ， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $$