精品解析：黑龙江省 哈尔滨市第四十七中学校2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度（上）初二学年10月份综合素养展示 数学学科 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各式中是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 我校近几年在体育项目上不断取得佳绩，足球队标志如左图所示，以下选项中能通过左图平移得到的标志是（ ） A. B. C. D. 3. 罗定文塔，又名三元宝塔，始建于明万历39年（1611年），是罗定年代最早的高层建筑．宝塔平面可近似看成正八边形，某数学兴趣小组的同学想知道这个正八边形宝塔的一个内角的度数，在不能进入塔内测量的情况下，设计了如图所示的测量方案：①反向延长正八边形内角的两边，得到；②测量的度数，则的度数即为正八边形宝塔内角的度数．其中的数学原理是（ ） A. 邻补角互补 B. 对顶角相等 C. 同位角相等 D. 内错角相等 4. 下列解方程变形错误的是（ ） A. 由得 B. 由得 C. 由得 D. 由得 5. 一个数的平方是9，这个数是（ ） A. 3 B. C. D. 6. 下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 关于x的方程与的解相同，则m等于（ ） A. 5 B. 4 C. D. 8. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 9. 某商店以每套元的价格卖出两套喜乐牌套装书写笔，其中一套盈利，另一套亏损，则该商店在这次买卖中（ ） A. 不赚不赔 B. 赚了5元 C. 亏了5元 D. 赚了元 10. 下列命题中，真命题有（ ） ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④相等的角是对顶角； ⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 已知关于x的方程是一元一次方程，则的值为__________． 12. 已知一个角是，则这个角的邻补角是__________． 13. 当x的值为__________时，单项式与是同类项． 14. 甲、乙两班共有人，若从甲班调人到乙班，此时甲乙两班人数正好相等．那么甲班原来有__________人． 15. 若，则__________． 16. 如图，从书店到公路最近的是①号路线，数学道理是________． 17. 小付和小熹同学编了一道数学谜题（如图），要求在题中“□”内填入同一个数字，则这个数字是__________． 18. 在直线上任取一点O，过点O作射线、，使，当时，的度数是__________． 19. 若一列火车匀速行驶，经过一条长米的隧道需要秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯照在火车上的时间是秒，则这列火车长__________米． 20. 健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若，，则的度数是______． 三、解答题（共60分） 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 如图，在三角形中，点在上，于，于，．求证：．请将下列证明过程补充完整： 证明：∵，， ∴，（____________________） ∴ ∴（____________________） ∴（____________________） ∵ ∴__________ ∴__________（____________________） ∴ 23. 哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． （1）甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ （2）已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 24. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若，射线平分，求的度数． 25. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“成双方程”． 例如：判断方程和，是否互为“成双方程”． 解：方程和是互为“成双方程”，理由如下： 解方程，解得．解方程，解得． ，方程和互为“成双方程”． （1）请判断方程与方程是否互为“成双方程”，并说明理由； （2）若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 26. 轩轩公司现有甲、乙两级粉刷技工各3人，每名甲级技工每天可以粉刷，每名乙级技工每天可以粉刷，轩轩每天支付给每名甲级技工工资500元，轩轩通过计算得出，平均每粉刷墙壁，支付给每名甲级技工的工资比支付给每名乙级技工的工资多元． （1）求轩轩每天支付给每名乙级技工的工资是多少元； （2）现有一批房间墙壁需要粉刷，每间大房间的墙壁面积比每间小房间的墙壁面积多，5间小房间的墙壁面积比6间大房间的墙壁面积少，求每间大房间的墙壁面积是多少平方米； （3）在（2）的条件下，现有两个工程同时开工，A工程需要粉刷8间大房间，10间小房间，B工程需要粉刷12间大房间，7间小房间．A工程派1名甲级技工和2名乙级技工去完成，剩余技工派往B工程．粉刷一间大房间工程负责人需要支付给轩轩2500元，粉刷一间小房间支付给轩轩2300元．粉刷前轩轩去建材市场购买油漆，每桶油漆能粉刷墙壁进价2600元．请通过计算进行比较，完成工程后轩轩在哪个工程中获得的利润最大？ 27. 如图，、是一条透明纸带的两边，，P是纸带上一点，连接、． （1）如图1，若，请判断和的位置关系： __________； （2）如图2，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，F是纸带上另一点，连接、，，和的平分线交于点，延长交于点G，．过点E的直线交于点M，交于点N，，直线绕点E以的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，将右侧纸带沿翻折，当和首次重合时，直线停止转动，此时直线翻折后与直线交于点．求直线停止转动时的值及的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度（上）初二学年10月份综合素养展示 数学学科 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各式中是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的判断，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 由一元一次方程的概念可知：①含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A. ，未知数的次数不是1，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. ，含有2个未知数，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； C. ，是一元一次方程，故该选项正确，符合题意；        D. ，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2. 我校近几年在体育项目上不断取得佳绩，足球队标志如左图所示，以下选项中能通过左图平移得到的标志是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平移，关键是熟练掌握平移的性质；根据平移只是改变图形的位置，大小和形状不会发生变化，利用平移的性质对图形进行分析判断，从而可得结论． 【详解】解：A，B，C都不能由“基本图案”经过平移得到，D能由“基本图案”经过平移得到； 故选：D． 3. 罗定文塔，又名三元宝塔，始建于明万历39年（1611年），是罗定年代最早的高层建筑．宝塔平面可近似看成正八边形，某数学兴趣小组的同学想知道这个正八边形宝塔的一个内角的度数，在不能进入塔内测量的情况下，设计了如图所示的测量方案：①反向延长正八边形内角的两边，得到；②测量的度数，则的度数即为正八边形宝塔内角的度数．其中的数学原理是（ ） A. 邻补角互补 B. 对顶角相等 C. 同位角相等 D. 内错角相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据对顶角的定义可知与为对顶角，再根据对顶角的性质即可解答． 【详解】反向延长正八边形内角的两边，得到， 与为对顶角， ， 即对顶角相等， 故选B． 【点睛】本题考查了对顶角的定义和性质，能通过设计方法确定所作角与该内角是对顶角，并根据对顶角的性质解决问题是本题的关键． 4. 下列解方程变形错误的是（ ） A. 由得 B. 由得 C. 由得 D. 由得 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程．根据一元一次方程的解法判断即可． 【详解】解：A、由得，故选项A不符合题意； B、由得，故选项B不符合题意； C、由得，故选项C不符合题意； D、由去分母得，故选项D符合题意； 故选：D． 5. 一个数的平方是9，这个数是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵一个数的平方是9， ∴这个数是， 故选：B． 6. 下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．利用等式的性质：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等，依次判断即可． 【详解】解：A中，，利用等式的性质，两边同时减去，得，故选项正确，不符合题意； B中，，利用等式的性质，两边同时乘以，得，故选项正确，不符合题意； C中，，只有当时，才能利用等式的性质，两边同时除以，得，故选项错误，符合题意； D中，，利用等式的性质，两边同时除以，得，故选项正确，不符合题意； 故选：C． 7. 关于x的方程与的解相同，则m等于（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程，先求出的解，代入得到关于m的一元一次方程，再解方程即可． 【详解】解：解，得：， 将代入，得：， 解得， 故选A． 8. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、， ，故本选项符合题意； B、， ，不能判断，故本选项不符合题意； C、， ，不能判断，故本选项不符合题意； D、， ，不能判断，故本选项不符合题意． 9. 某商店以每套元的价格卖出两套喜乐牌套装书写笔，其中一套盈利，另一套亏损，则该商店在这次买卖中（ ） A. 不赚不赔 B. 赚了5元 C. 亏了5元 D. 赚了元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握利润等于进价乘以利润率，正确的列出方程． 设两种百乐牌套装书写笔的进价分别为，，根据题意，得到，，分别求出，的值，再利用，得出结果后即可得出结论． 【详解】解：设两种百乐牌套装书写笔的进价分别为，， 根据题意得：，， 解得：，， 元， 该商店在这次买卖中亏了元， 故选：C 10. 下列命题中，真命题有（ ） ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④相等的角是对顶角； ⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理； 根据平行线的判定、对顶角、平行线等知识逐项判断即可； 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交两种，故原命题错误，是假命题； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题； ④相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题； 真命题有2个， 故选：A 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 已知关于x的方程是一元一次方程，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，以及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解此题的关键． 根据一元一次方程未知数的次数为列方程，解方程可求出的值． 【详解】解：关于x的方程是一元一次方程， ， 解得：， 故答案为： 12. 已知一个角是，则这个角的邻补角是__________． 【答案】47 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个角的邻补角度数，根据互为邻补角的两个角的度数之和为180度进行求解即可． 【详解】解：∵一个角是， ∴这个角的邻补角是， 故答案为：47． 13. 当x的值为__________时，单项式与是同类项． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查同类项定义，一元一次方程，掌握同类项定义，一元一次方程解法是解题关键． 根据同类项定义得出，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解方程得：， ∴当的值为2时，单项式与是同类项． 故答案为： 14. 甲、乙两班共有人，若从甲班调人到乙班，此时甲乙两班人数正好相等．那么甲班原来有__________人． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解一元一次方程等知识点，学会用一元一次方程的思路解决实际问题是解题的关键． 设甲班原来有人，则乙班原来有人，根据题意可得，解之，即可得解． 【详解】解：设甲班原来有人，则乙班原来有人， 根据题意可得：， 解得：， 故答案为：． 15. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法运算即可得． 【详解】因为， 所以， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 16. 如图，从书店到公路最近的是①号路线，数学道理是________． 【答案】点到直线，垂线段最短 【解析】 【分析】根据垂线段的性质即可求解． 【详解】解：点到直线，垂线段最短， 故答案为：点到直线，垂线段最短． 【点睛】本题主要考查垂线段的性质，理解并掌握点到直线之间垂线段最短是解题的关键． 17. 小付和小熹同学编了一道数学谜题（如图），要求在题中“□”内填入同一个数字，则这个数字是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设“”内数字为x，列出方程即可求解． 【详解】解：设“”内数字为x， ， 中，在个位上， 故变为：， 中，在百位上， 故变为：， 变为：， 即， 解得：， 故答案为：． 18. 在直线上任取一点O，过点O作射线、，使，当时，的度数是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，分两种情况讨论是解题的关键； 根据题意，分、在同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据，，计算的度数即可． 【详解】解：当、在直线同侧时，如图： ，， ； 当、在直线异侧时，如图： ，， ， 故答案为：或 19. 若一列火车匀速行驶，经过一条长米的隧道需要秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯照在火车上的时间是秒，则这列火车长__________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设出合适的未知数、正确列出一元一次方程是解答本题的关键． 设这列火车长米，然后根据题意列一元一次方程解答即可． 【详解】解：解：设这列火车长米， 由题意可得：， 解得． 故答案为：． 20. 健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若，，则的度数是______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角度和差，三角形的内角和定理，由得，即，由得，则有，又，最后用角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共60分） 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 如图，在三角形中，点在上，于，于，．求证：．请将下列证明过程补充完整： 证明：∵，， ∴，（____________________） ∴ ∴（____________________） ∴（____________________） ∵ ∴__________ ∴__________（____________________） ∴ 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据垂直的定义得，推出，根据平行线的性质得，继而得到，，再根据平行线的性质即可得证．掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴，，（垂直的定义） ∴， ∴，（同位角相等，两直线平行） ∴，（两直线平行，同位角相等） ∵， ∴， ∴，（内错角相等，两直线平行） ∴． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行． 23. 哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． （1）甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ （2）已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 【答案】（1）天 （2）元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键； （1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）根据甲车队每天的租金元，比乙车队少元，计算求解即可； 【小问1详解】 解：设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两车合作还需要天运完垃圾． 【小问2详解】 解：乙队一共工作了天，甲队一共工作了天， ， 答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金元． 24. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若，射线平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）先由两直线平行，同旁内角互补得到，再证明，即可证明； （2）由角平分线的定义得到，则由两直线平行，内错角相等即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，射线平分， ∴， ∵， ∴． 25. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“成双方程”． 例如：判断方程和，是否互为“成双方程”． 解：方程和是互为“成双方程”，理由如下： 解方程，解得．解方程，解得． ，方程和互为“成双方程”． （1）请判断方程与方程是否互为“成双方程”，并说明理由； （2）若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 【答案】（1） 解：不是，理由如下： 解方程， 解得：， 解方程， 解得：， ， 方程与方程不是“成双方程”； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数加法运算等知识点，准确理解并运用题目新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）分别解两个方程，然后根据“成双方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解分别为，，再根据关于的方程与方程互为“成双方程”得出，解关于的一元一次方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：解关于的方程， 解得：， 解方程， 解得：， 关于的方程与方程互为“成双方程”， ， 解得：． 26. 轩轩公司现有甲、乙两级粉刷技工各3人，每名甲级技工每天可以粉刷，每名乙级技工每天可以粉刷，轩轩每天支付给每名甲级技工工资500元，轩轩通过计算得出，平均每粉刷墙壁，支付给每名甲级技工的工资比支付给每名乙级技工的工资多元． （1）求轩轩每天支付给每名乙级技工的工资是多少元； （2）现有一批房间墙壁需要粉刷，每间大房间的墙壁面积比每间小房间的墙壁面积多，5间小房间的墙壁面积比6间大房间的墙壁面积少，求每间大房间的墙壁面积是多少平方米； （3）在（2）的条件下，现有两个工程同时开工，A工程需要粉刷8间大房间，10间小房间，B工程需要粉刷12间大房间，7间小房间．A工程派1名甲级技工和2名乙级技工去完成，剩余技工派往B工程．粉刷一间大房间工程负责人需要支付给轩轩2500元，粉刷一间小房间支付给轩轩2300元．粉刷前轩轩去建材市场购买油漆，每桶油漆能粉刷墙壁进价2600元．请通过计算进行比较，完成工程后轩轩在哪个工程中获得的利润最大？ 【答案】（1）300元 （2）50平方米 （3）A工程17800元，B工程17500元，A工程利润大 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）先求出甲级技工平均每粉刷墙壁的工资，进而求出乙级技工平均每粉刷墙壁的工资，再根据乙级技工每天可以粉刷即可求出答案； （2）设每间大房间的墙壁面积是x平方米，则每间小房间的墙壁面积是平方米，根据5间小房间的墙壁面积比6间大房间的墙壁面积少列出方程求解即可； （3）根据（2）所求求出A工程的墙面总面积为平方米，B工程的墙面总面积为平方米，再分别计算出两个工程的利润，比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：元， 答：轩轩每天支付给每名乙级技工的工资是300元； 【小问2详解】 解：设每间大房间的墙壁面积是x平方米，则每间小房间的墙壁面积是平方米， 由题意得，， 解得， 答：每间大房间的墙壁面积是50平方米； 【小问3详解】 解：由（2）可知每间大房间的墙壁面积是50平方米，每间小房间的墙壁面积是40平方米 ∴A工程的墙面总面积为平方米，B工程的墙面总面积为平方米， ∴A工程的利润为元， B工程利润为 ， ∵， ∴A工程中获得的利润最大． 27. 如图，、是一条透明纸带的两边，，P是纸带上一点，连接、． （1）如图1，若，请判断和的位置关系： __________； （2）如图2，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，F是纸带上另一点，连接、，，和的平分线交于点，延长交于点G，．过点E的直线交于点M，交于点N，，直线绕点E以的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，将右侧纸带沿翻折，当和首次重合时，直线停止转动，此时直线翻折后与直线交于点．求直线停止转动时的值及的度数． 【答案】（1） （2） 解：过点作，如图2，设与的补角为，， ， ， ，， ，， ，， 即， ， ， ， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和，翻转的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； （1）过点作，进而证明，即可求解； （2）过点作，如图2，设与的补角为，，，，进而证明出，即可求证； （3）根据对称性，当时，与会重合，转动速度为，此时，根据在四边形中，且，再列出有关于t的方程，求解的值，进而求出的度数； 【小问1详解】 解：过点作，如图1， ， ， ，， ， ， 即， ， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据对称性，当时，与会重合，如图， 转动速度为，此时， ， ， ， ， ， 在四边形中，且， ， ， ， 平分，平分， ，， 由（2）可知且， ， ， ， ， 在四边形中，， ， 解得：， 作关于对称点， ，， ， ， ， ， ， 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