8.6.3平面与平面垂直课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.3平面与平面垂直 素养目标 学法指导 1.通过直观感知,归纳出平面与平面的判定定理.(直观想象) 2.会用平面与平面的判定定理证明平面与平面垂直.(逻辑推理) 1.平面与平面垂直是平面与平面相交的特殊情况,对这种特殊关系的认识,既可以从二面角的平面角为直角的角度讨论,又可以从已有的线面垂直关系出发进行推理论证. 2.面面垂直源自线线垂直,这种转化为“低维”垂直的思想方法在解题时非常重要,一方面从条件入手,分析已有的垂直关系,另一方面从结论入手,分析所要证明的垂直关系,从而找到解决问题的途径. 2 【情境探究】 1.教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗?怎样画才能保证所画直线与地面垂直? 提示:不一定,也可能平行,相交(不垂直);只要保证所画的线与两面的交线垂直即可. 必备知识生成 3 2.如图长方体ABCD -A′B′C′D′,在平面DCC′D′中,作直线l⊥DC.你能得出什么结论? 提示:在平面DCC′D′内,若直线l垂直于交线DC,则直线l垂直于平面ABCD. 4 能力形成 合作探究 一:平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直. 第八章 立体几何初步 设平面 ⊥平面 ,点P在平面 内,过点P作平面 的垂线a,直线a与平面 具有什么位置关系? 如下图,过点P在 内作直线b⊥c,则b⊥ .因为过一点有且只有一条直线与 垂直,所以直线a与直线b重合,因此a . a 第八章 立体几何初步 对于两个平面互相垂直的性质,我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系.如果直线不在两个平面内,或者把直线换成平面,你又能得到哪些结论? 怎样证明? 第八章 立体几何初步 例1 已知:如右图,已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC. 求证:BC⊥平面PAB. E 证明:过点A作AD⊥PB,垂足为D. ∵平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平PBC=PB, ∴AD⊥平面PBC. ∵BC 平面PBC, ∴BC⊥AD. ∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,∴BC⊥PA. 又PA∩AD=A, ∴BC⊥平面PAB. 第八章 立体几何初步 二、平面与平面垂直的判定定理 定理:如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直. 这个定理说明,可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直. 1.判断下列命题是否正确 (1)二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直. (2)对于确定的二面角而言,平面角的大小与顶点在棱上的位置有关. (3)已知一条直线垂直于某一平面,则过该直线的任意一个平面与该平面都垂直. (4)两垂直平面的二面角的平面角大小为90 . 27 2.过平面 外两点且垂直于平面 的平面( ) A.有且只有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有两个 D.有一个或无数个 3.已知直线a,b与平面 , , ,能使 ⊥ 的是( ) A. ⊥ , ⊥ B. ∩ =a,b⊥a,b⊂ C.a∥ ,a∥ D.a∥ ,a⊥ 28 3.如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上的一点,且PA=AC,求二面角P-BC-A的大小. 29 易错提醒 核心知识 方法总结 核心素养 直观想象:求解二面角的问题 求二面角时注意是锐角还是钝角 平面与 平面垂直 (一) 面面垂直的判断方法: (1)利用定义:作二面角的平面角 证明为直角 (2)判定定理:转化为证线面垂直,即在一个面内找一条直线与另一个平面垂直 二面角的求法:作出二面角的平面角并证明,将作出的角放在三角形中求解 逻辑推理:面面垂直的证明问题涉及逻辑推理及其转化思想 在证明面面垂直时注意满足的条件 二面角 定义 判定定理 应用 30 $$