2.3.2抛物线的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第二章 圆锥曲线 2.3.2抛物线的简单几何性质 高中数学 @demon 励志专注 请同学们站立挺拔，右手紧握拳头，声音洪亮，目视前方，一起喊出我们的口号： 顽强拼搏，超越自我；不鸣则已，一鸣惊人！ 1.掌握抛物线的简单几何性质； 2.了解焦点在坐标轴不同位置上的抛物线的标准方程； 3.会用待定系数法求抛物线方程. @demon 和盘托出 知识点1：抛物线的几何性质 1.范围 由 可知，对于抛物线上的点M(x,y)， x≥0,y∈R. 抛物线在y轴的右侧，开口向右； 当x的值增大时，|y|的值也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. l F M K O y x @demon 三学理解 2.对称性 根据y2=2px(p＞0)①的结构特点，可以发现：若(x0，y0)满足方程①，则(x0，-y0)也满足方程①， ∴抛物线y2=2px(p＞0)是关于x轴对称的曲线. 3.顶点 抛物线和它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点. 在方程①中，当y=0时，x=0，因此，抛物线的顶点就是坐标原点. l F M K O y x @demon 三学理解 4.离心率 抛物线上的点M 到焦点F的距离和它到准线的距离d的比 叫作抛物线的离心率，用e表示. 由抛物线的定义可知，e = 1． l F M K O y x @demon 三学理解 归纳总结 (1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线； (2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； (4)抛物线的离心率e是确定的，e=1. @demon 三学理解 知识点2：几种抛物线的形式 思考交流：在建立椭圆和双曲线的标准方程时，由于焦点在平面直角坐标系中的位置不同，它们各有两种形式的标准方程，你认为抛物线的标准方程一共有几种形式？请写出相应的标准方程和准线方程及其几何性质. x y @demon 三学理解 不同抛物线的简单几何性质 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 顶点 离心率 l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) e=1 @demon 强化记忆 例1:求顶点在原点，经过点( ，-6)，且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程. 解：∵点( ，-6)在第四象限， ∴若x轴是抛物线的对称轴，则设抛物线的标准方程为 ∵点( ，-6)在抛物线上， 解得 ∴所求抛物线的标准方程为 如图. @demon 应用练习 例1:求顶点在原点，经过点( ，-6)，且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程. 若y轴是抛物线的对称轴， 同理可得抛物线的标准方程为 如图. @demon 应用练习 例2:已知点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程. 解：如图，点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2， 即“点M到点F(4,0)的距离等于它到直线l':x+4=0的距离”. 由此可知，点M的轨迹是以F(4,0)为焦点，以直线l':x+4=0为准线的抛物线. 故点M的轨迹方程是y2=16x. 小结：把握题意，利用曲线的定义直接列方程确定点M的轨迹方程. @demon 应用练习 例3:已知抛物线y2=4x上的点P到焦点F的距离为5，求点P的坐标. 解法1:由抛物线方程y2=4x，可得焦点F(1，0). 设点P的坐标为(x0，y0)，依题意有 ① ② 将①代入②，消去y0，然后两边平方，得(x0-1)2+4x0=25， 解得x0=-6或x0=4. 将x0=-6代入①，得y02=-24无解，故舍去； 将x0=4代入①，得y02=16，即y0=±4. ∴点P的坐标为(4，4)或(4，-4). @demon 应用练习 例3:已知抛物线y2=4x上的点P到焦点F的距离为5，求点P的坐标. 解法2:设点P的坐标为(x0，y0)，由点P在抛物线y2=4x上，得y02=4x0. 由抛物线方程y2=4x，可得其准线方程x=-1. 由点P到焦点F的距离为5可知，点P到抛物线的准线的距离也为5， 即x0-(-1)=5,解得x0=4. 将x0=4代入y2=4x，得y02=16，即y0=±4. ∴点P的坐标为(4，4)或(4，-4). @demon 应用练习 例4:某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图(单位:m)，某卡车载一集装箱，车宽3m，车与集装箱总高4.5m，此车能否安全通过隧道？说明理由. 解：如图，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(3，-3). @demon 应用练习 例3:某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图(单位:m)，某卡车载一集装箱，车宽3m，车与集装箱总高4.5m，此车能否安全通过隧道？说明理由. 设抛物线的标准方程为x2=-2py(p＞0). 将点A的坐标代入上式，得9=6p，即2p=3. ∴抛物线的标准方程为x2=-3y. 将x=1.5代入抛物线的标准方程，得y=-0.75， 则5-0.75=4.25＜4.5 . 这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，车与集装箱的总高也会高于BD，∴此车不能安全通过隧道. @demon 应用练习 归纳总结 用待定系数法求抛物线方程的步骤 根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向 定位置 设方程 根据焦点和开口方向设出标准方程 寻关系 根据条件列出关于p的方程 得方程 解方程，将p代入所设方程为所求 @demon 检测总结 练一练 1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程. (1)y2=20x; (2)x2= y; (3)2y2+5x=0; (4)x2+8y=0. 焦点F (5,0), 准线方程为x=-5； 焦点F (0, ), 准线方程为y= 焦点F ( ,0), 准线方程为x= 焦点F (0, -2), 准线方程为y=2. @demon 检测总结 练一练 2.求顶点在原点，经过点(-3，-1)，且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程. 解：∵点(-3，-1)在第三象限， ∴设所求抛物线的标准方程为y2＝-2px(p>0)或x2＝-2py(p>0). 若抛物线的标准方程为y2＝-2px(p>0)， 将点(-3，-1)代入方程，解得 此时抛物线的标准方程为 @demon 检测总结 2.求顶点在原点，经过点(-3，-1)，且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程. 若抛物线的标准方程为x2＝-2py(p>0)， 将点(-3，-1)代入方程，解得 此时抛物线的标准方程为x2＝-9y. 故所求抛物线的标准方程为 或x2=-9y. @demon 检测总结 练一练 3.已知点M到点A(-2，0)的距离比点M到直线x=3的距离小1，求点M的轨迹方程. 解：由已知可发现动点M满足：到点A的距离与到直线x=2的距离相等， ∴动点M的轨迹方程是以A(-2，0)为焦点，直线x=2为准线的抛物线， ∴该抛物线方程为y2=-8x. @demon 检测总结 练一练 4.已知抛物线x2=4y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点，当|PF|=2时，求点P的坐标. 解：由题意可设点P坐标为 ∵|PF|=2，结合抛物线的定义得， ∴a=2.∴点P的坐标为(2，1). @demon 检测总结 0号作业:牢记强化记忆内容 1号作业：课本P73 1、2、3 2号作业：课外导练P17 1-5 作业布置 $$