3.2.1双曲线的简单几何性质（一）课件 -2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1 1 2 上一节,认识了双曲线的标准方程: 形式一： （焦点在x轴上，（-c，0）、 （c，0）） 形式二： （焦点在y轴上，（0，-c）、（0，c）） 其中 现在就用方程来探究一下! 类似于椭圆几何性质的研究. 2 广东省阳江市第一中学周游数 3 2、对称性 一、研究双曲线 的简单几何性质 1、范围 关于x轴、y轴和原点都是对称. x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心. x y o -a a (-x,-y) (-x,y) (x,y) (x,-y) 3 知识要点2 4 3、顶点 （1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 x y o -b b -a a 如图，线段 叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做半实轴长；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的半虚轴长. （2） (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线. 4 知识要点2 5 4、渐近线 x y o a b 利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图 (2) 渐近线对双曲线的开口的影响 (3) 双曲线上的点与这两直线有什么位置关系呢? 如何记忆双曲线的渐近线方程？ 5 6 5、离心率 e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大 c>a>0 e >1 （4）等轴双曲线的离心率e= ? 6 7 关于x轴、y轴、原点对称 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 A1（- a，0），A2（a，0） A1（0，-a），A2（0，a） 关于x轴、y轴、原点对称 渐近线 . . y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 x B1 y O . F2 F1 B2 A1 A2 . F1(-c,0) F2(c,0) F2(0,c) F1(0,-c) 7 知识要点3 8 例1 求双曲线 9y2-16x2=144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 可得半实轴长a=4，半虚轴长b=3 焦点坐标为（0，-5）、（0，5） 解：把方程化为标准方程 8 例1 例2: 1、若双曲线的渐近线方程为 则双曲线的离心率为 。 2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的夹角为 。 课堂练习 例3 :求下列双曲线的标准方程： 例题讲解 法二：巧设方程,运用待定系数法. ⑴设双曲线方程为 , 例1答案 法二：设双曲线方程为 ∴ 双曲线方程为 ∴ , 解之得k=4, 1、“共渐近线”的双曲线的应用 λ>0表示焦点在x轴上的双曲线； λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。 总结： 2、求与椭圆 有共同焦点，渐近线方程为 的双曲线方程。 解： 椭圆的焦点在x轴上，且坐标为 双曲线的渐近线方程为 解出 1 2 = + b y a x 2 2 2 （ a＞ b ＞0） 1 2 2 2 2 = - b y a x ( a＞ 0 b＞0) 2 2 2 = + b a (a＞ 0 b＞0) c 2 2 2 = - b a (a＞ b＞0) c 椭 圆 双曲线 方程 a b c关系 图象 椭圆与双曲线的比较椭圆与双曲线的比较 y X F1 0 F2 M X Y 0 F1 F2 p 小 结 关于x轴、y轴、原点对称 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 A1（- a，0），A2（a，0） A1（0，-a），A2（0，a） 关于x轴、y轴、原点对称 渐近线 . . y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 x B1 y O . F2 F1 B2 A1 A2 . F1(-c,0) F2(c,0) F2(0,c) F1(0,-c) 知识要点3 作业及练习 双曲线的简单几何性质(一) 双曲线的简单几何性质(一) 顶点是 ⑴双曲线 EMBED Equation.DSMT4 的渐近线为 注:等轴双曲线 的渐近线为 ⑶ 的含义: ∴当 时, ,且 增大, 也增大. EMBED Equation.DSMT4 增大时,渐近线与实轴的夹角增大. 同样可以形象地理解焦点离开中心的程度. 另外 反过来也成立. ∵ ⑸在 四个参数中,知二求二. ⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 ,叫做双曲线的离心率. ⑵ 的范围: ⑴与双曲线 有共同渐近线，且过点 ； ⑵与双曲线 有公共焦点，且过点 ⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论) 解:双曲线 的渐近线为 ,令x=-3,y=±4,因 , 故点 在射线 （x≤0）及x轴负半轴之间, ∴ 双曲线焦点在x轴上,∴设双曲线方程为 (a>0,b>0), ∴ 解之得 ,∴ 双曲线方程为 ⑴与双曲线 有共同渐近线，且过点 ； 法一:直接设标准方程,运用待定系数法 ⑵解:设双曲线方程为 (a>0,b>0) 则 解之得 ∴双曲线方程为 根据下列条件，求双曲线方程: ⑵与双曲线 有公共焦点，且过点 . 图表1 -4 -4 -3.95 -3.95 -3.9 -3.9 -3.85 -3.85 -3.8 -3.8 -3.75 -3.75 -3.7 -3.7 -3.65 -3.65 -3.6 -3.6 -3.55 -3.55 -3.5 -3.5 -3.45 -3.45 -3.4 -3.4 -3.35 -3.35 -3.3 -3.3 -3.25 -3.25 -3.2 -3.2 -3.15 -3.15 -3.1 -3.1 -3.05 -3.05 -3 -3 -2.95 -2.95 -2.9 -2.9 -2.85 -2.85 -2.8 -2.8 -2.75 -2.75 -2.7 -2.7 -2.65 -2.65 -2.6 -2.6 -2.55 -2.55 -2.5 -2.5 -2.45 -2.45 -2.4 -2.4 -2.35 -2.35 -2.3 -2.3 -2.25 -2.25 -2.2 -2.2 -2.15 -2.15 -2.1 -2.1 -2.05 -2.05 -2 -2 -1.95 -1.95 -1.9 -1.9 -1.85 -1.85 -1.8 -1.8 -1.75 -1.75 -1.7 -1.7 -1.65 -1.65 -1.6 -1.6 -1.55 -1.55 -1.414 -1.414 -1.41 -1.41 -1.4 -1.4 -1.35 -1.35 -1.3 -1.3 -1.25 -1.25 -1.2 -1.2 -1.15 -1.15 -1.1 -1.1 -1.05 -1.05 -1 -1 -0.95 -0.95 -0.9 -0.9 -0.85 -0.85 -0.8 -0.8 -0.75 -0.75 -0.7 -0.7 -0.65 -0.65 -0.6 -0.6 -0.55 -0.55 -0.5 -0.5 -0.45 -0.45 -0.4 -0.4 -0.35 -0.35 -0.3 -0.3 -0.25 -0.25 -0.2 -0.2 -0.15 -0.15 -0.1 -0.1 -0.05 -0.05 0 0 0.05 0.05 0.1 0.1 0.15 0.15 0.2 0.2 0.25 0.25 0.3 0.3 0.35 0.35 0.4 0.4 0.45 0.45 0.5 0.5 0.55 0.55 0.6 0.6 0.65 0.65 0.7 0.7 0.75 0.75 0.8 0.8 0.85 0.85 0.9 0.9 0.95 0.95 1 1 1.05 1.05 1.1 1.1 1.15 1.15 1.2 1.2 1.25 1.25 1.3 1.3 1.35 1.35 1.4 1.4 1.41 1.41 1.414 1.414 1.55 1.55 1.6 1.6 1.65 1.65 1.7 1.7 1.75 1.75 1.8 1.8 1.85 1.85 1.9 1.9 1.95 1.95 2 2 2.05 2.05 2.1 2.1 2.15 2.15 2.2 2.2 2.25 2.25 2.3 2.3 2.35 2.35 2.4 2.4 2.45 2.45 2.5 2.5 2.55 2.55 2.6 2.6 2.65 2.65 2.7 2.7 2.75 2.75 2.8 2.8 2.85 2.85 2.9 2.9 2.95 2.95 3 3 3.05 3.05 3.1 3.1 3.15 3.15 3.2 3.2 3.25 3.25 3.3 3.3 3.35 3.35 3.4 3.4 3.45 3.45 3.5 3.5 3.55 3.55 3.6 3.6 3.65 3.65 3.7 3.7 3.75 3.75 3.8 3.8 3.85 3.85 3.9 3.9 3.95 3.95 4 4 y=4*(-1+(1/9)*x2)1/2 y=4*(1+(1/9)*x2)1/2 3.5276684148 -3.5276684148 3.426044042 -3.426044042 3.3226495452 -3.3226495452 3.2173142699 -3.2173142699 3.1098410106 -3.1098410106 3 -3 2.8875210437 -2.8875210437 2.7720830515 -2.7720830515 2.6532998323 -2.6532998323 2.5307003861 -2.5307003861 2.4037008503 -2.4037008503 2.2715633383 -2.2715633383 2.1333333333 -2.1333333333 1.9877402021 -1.9877402021 1.833030278 -1.833030278 1.6666666667 -1.6666666667 1.4847371634 -1.4847371634 1.2806248475 -1.2806248475 1.0413666235 -1.0413666235 0.7333333333 -0.7333333333 0 0 0 0 0.7333333333 -0.7333333333 1.0413666235 -1.0413666235 1.2806248475 -1.2806248475 1.4847371634 -1.4847371634 1.6666666667 -1.6666666667 1.833030278 -1.833030278 1.9877402021 -1.9877402021 2.1333333333 -2.1333333333 2.2715633383 -2.2715633383 2.4037008503 -2.4037008503 2.5307003861 -2.5307003861 2.6532998323 -2.6532998323 2.7720830515 -2.7720830515 2.8875210437 -2.8875210437 3 -3 3.1098410106 -3.1098410106 3.2173142699 -3.2173142699 3.3226495452 -3.3226495452 3.426044042 -3.426044042 3.5276684148 -3.5276684148 Sheet1 x= y=4*(1+(1/9)*x2)1/2 y=-4*(1+(1/9)*x2)1/2 y=4*(-1+(1/9)*x2)1/2 y=4*(1+(1/9)*x2)1/2 -4 6.6666666667 -6.6666666667 3.5276684148 -3.5276684148 -3.95 6.6134543 -6.6134543 3.426044042 -3.426044042 -3.9 6.5604877867 -6.5604877867 3.3226495452 -3.3226495452 -3.85 6.50777313 -6.50777313 3.2173142699 -3.2173142699 -3.8 6.4553164997 -6.4553164997 3.1098410106 -3.1098410106 -3.75 6.4031242374 -6.4031242374 3 -3 -3.7 6.3512028607 -6.3512028607 2.8875210437 -2.8875210437 -3.65 6.2995590675 -6.2995590675 2.7720830515 -2.7720830515 -3.6 6.2481997407 -6.2481997407 2.6532998323 -2.6532998323 -3.55 6.1971319531 -6.1971319531 2.5307003861 -2.5307003861 -3.5 6.1463629715 -6.1463629715 2.4037008503 -2.4037008503 -3.45 6.0959002617 -6.0959002617 2.2715633383 -2.2715633383 -3.4 6.0457514927 -6.0457514927 2.1333333333 -2.1333333333 -3.35 5.9959245418 -5.9959245418 1.9877402021 -1.9877402021 -3.3 5.9464274989 -5.9464274989 1.833030278 -1.833030278 -3.25 5.897268671 -5.897268671 1.6666666667 -1.6666666667 -3.2 5.8484565865 -5.8484565865 1.4847371634 -1.4847371634 -3.15 5.8 -5.8 1.2806248475 -1.2806248475 -3.1 5.751907896 -5.751907896 1.0413666235 -1.0413666235 -3.05 5.7041894935 -5.7041894935 0.7333333333 -0.7333333333 -3 5.6568542495 -5.6568542495 0 0 -2.95 5.609911863 -5.609911863 -2.9 5.5633722787 -5.5633722787 -2.85 5.5172456897 -5.5172456897 -2.8 5.471542541 -5.471542541 -2.75 5.426273532 -5.426273532 -2.7 5.3814496188 -5.3814496188 -2.65 5.3370820159 -5.3370820159 -2.6 5.2931821977 -5.2931821977 -2.55 5.2497618994 -5.2497618994 -2.5 5.2068331173 -5.2068331173 -2.45 5.1644081085 -5.1644081085 -2.4 5.1224993899 -5.1224993899 -2.35 5.0811197366 -5.0811197366 -2.3 5.040282179 -5.040282179 -2.25 5 -5 -2.2 4.9602867301 -4.9602867301 -2.15 4.9211561424 -4.9211561424 -2.1 4.8826222463 -4.8826222463 -2.05 4.8446992797 -4.8446992797 -2 4.8074017006 -4.8074017006 -1.95 4.7707441768 -4.7707441768 -1.9 4.7347415746 -4.7347415746 -1.85 4.6994089463 -4.6994089463 -1.8 4.6647615159 -4.6647615159 -1.75 4.6308146631 -4.6308146631 -1.7 4.5975839066 -4.5975839066 -1.65 4.5650848842 -4.5650848842 -1.6 4.5333333333 -4.5333333333 -1.55 4.502345068 -4.502345068 -1.414 4.4220449769 -4.4220449769 -1.41 4.4197737499 -4.4197737499 -1.4 4.4141187619 -4.4141187619 -1.35 4.3863424399 -4.3863424399 -1.3 4.3594087265 -4.3594087265 -1.25 4.3333333333 -4.3333333333 -1.2 4.3081318457 -4.3081318457 -1.15 4.283819687 -4.283819687 -1.1 4.2604120823 -4.2604120823 -1.05 4.2379240201 -4.2379240201 -1 4.2163702136 -4.2163702136 -0.95 4.1957650607 -4.1957650607 -0.9 4.1761226036 -4.1761226036 -0.85 4.1574564874 -4.1574564874 -0.8 4.139779919 -4.139779919 -0.75 4.1231056256 -4.1231056256 -0.7 4.1074458135 -4.1074458135 -0.65 4.0928121275 -4.0928121275 -0.6 4.0792156109 -4.0792156109 -0.55 4.0666666667 -4.0666666667 -0.5 4.0551750202 -4.0551750202 -0.45 4.0447496832 -4.0447496832 -0.4 4.0353989201 -4.0353989201 -0.35 4.0271302161 -4.0271302161 -0.3 4.0199502484 -4.0199502484 -0.25 4.0138648596 -4.0138648596 -0.2 4.0088790342 -4.0088790342 -0.15 4.0049968789 -4.0049968789 -0.1 4.0022216053 -4.0022216053 -0.05 4.000555517 -4.000555517 0 4 -4 0.05 4.000555517 -4.000555517 0.1 4.0022216053 -4.0022216053 0.15 4.0049968789 -4.0049968789 0.2 4.0088790342 -4.0088790342 0.25 4.0138648596 -4.0138648596 0.3 4.0199502484 -4.0199502484 0.35 4.0271302161 -4.0271302161 0.4 4.0353989201 -4.0353989201 0.45 4.0447496832 -4.0447496832 0.5 4.0551750202 -4.0551750202 0.55 4.0666666667 -4.0666666667 0.6 4.0792156109 -4.0792156109 0.65 4.0928121275 -4.0928121275 0.7 4.1074458135 -4.1074458135 0.75 4.1231056256 -4.1231056256 0.8 4.139779919 -4.139779919 0.85 4.1574564874 -4.1574564874 0.9 4.1761226036 -4.1761226036 0.95 4.1957650607 -4.1957650607 1 4.2163702136 -4.2163702136 1.05 4.2379240201 -4.2379240201 1.1 4.2604120823 -4.2604120823 1.15 4.283819687 -4.283819687 1.2 4.3081318457 -4.3081318457 1.25 4.3333333333 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