精品解析：山东省济南市第三中学2024-2025学年上学期10月份月考九年级阶段性调研数学试题

九年级阶段性调研数学试题2024.10 一、选择题（共12小题，每题4分） 1. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.75左右，则袋子中红球的个数量有可能是（　　） A. 5 B. 10 C. 12 D. 15 4. 如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点都在格点上，与△ABC相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（　　） A. 1：4 B. 1：2 C. 2：1 D. 4：1 7. 某射箭选手在同一条件下进行射箭训练，结果如下： 射箭次数n 10 20 50 100 200 350 500 射中靶心的次数m 7 17 44 92 178 315 455 射中靶心的频率 0.70 0.85 0.88 0.92 0.89 0.90 0.91 下列说法正确的是（ ） A. 该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90 B. 该选手射箭80次，射中靶心的频率不超过0.90 C. 该选手射箭400次，射中靶心的次数不超过360次 D. 该选手射箭1000次，射中靶心的次数一定为910次 8. 如图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面直径AB的长度是（　　） A. 2cm B. 2.5cm C. 3cm D. 4cm 9. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（　　）m． A. 3.4 B. 5.1 C. 6.8 D. 8.5 11. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为，连接，分析下列四个结论：①；②；；．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每题4分） 13. 若，则_____． 14. 如图，用两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配出紫色，那么可配成紫色的概率是 ___． 15. 如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 16. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.8米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米． 17. 某数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．求宝塔的高度为___________米． 18. 如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_________． 三、解答题 19. 如图，．若，，，求线段的长． 20. 已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 21. 如图，在矩形中，E为边上的一点，于点F． （1）证明：； （2）若，求的长． 22. 已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 是以点P为位似中心的位似图形． （1）请写出点P的坐标是___________； （2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出，的位似图形，使相似比为； （3）若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为___________． （4）计算的面积．（写出计算过程） 23. 为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整； （2）C组所对应的扇形圆心角为_______度； （3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________； （4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 24. 张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中高张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点E． （1）当点P恰好为中点时，___________ （2）当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； （3）图2，如果把这块材料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，P、N两点分别在，上，且，求出平行四边形的面积． 25. 如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是 /秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．设运动的时间为t秒，解答下列问题： （1） ___________，___________．（用含t的代数式表示） （2）求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； （3）在运动过程中，当时，求t的值． 26. 【问题背景】如图，在和中，，由已知可以得到： ①________________； ②________________． 【尝试应用】如图，在和中，， 求证：． 【问题解决】如图，在和中，与相交于点F，点D在上，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段性调研数学试题2024.10 一、选择题（共12小题，每题4分） 1. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，解题关键是掌握成比例线段并能运用求解． 根据成比例线段的顺序，得出比例式，再代入已知值求解． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， 即， ∵，，， ∴， 解得， 故选：B． 2. 下列四组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，正确理解相似图形的定义是解题的关键，根据相似图形的定义逐一判断选项即可． 【详解】A、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； B、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； C、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； D、形状不相同，不符合相似图形的定义，符合题意． 故选：D． 3. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.75左右，则袋子中红球的个数量有可能是（　　） A. 5 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．明确题意，利用概率公式计算出红球的个数是解答本题的关键． 【详解】解：由题意可得，（个）， 即袋子中红球的个数最有可能是15个． 故选：D． 4. 如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求的值． 【详解】解：∵， ， ． 故选：B． 5. 如图，在小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点都在格点上，与△ABC相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定．由相似三角形的判定，即可判断． 【详解】解：显然中，，即是直角三角形，又，，因此． A、三角形是钝角三角形，故本选项不符合题意； B、直角三角形的两直角边的比是，故本选项不符合题意； C、直角三角形的两直角边的比是，故本选项符合题意． D、如图，，，，，因此不是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 6. 如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（　　） A. 1：4 B. 1：2 C. 2：1 D. 4：1 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，根据△OA′B′∽△OAB，求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵△A′B′C′与△ABC是位似图形， ∴△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB， ∴△OA′B′∽△OAB， ∴， ∴△A′B'C′与△ABC的面积比为1：4， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 7. 某射箭选手在同一条件下进行射箭训练，结果如下： 射箭次数n 10 20 50 100 200 350 500 射中靶心的次数m 7 17 44 92 178 315 455 射中靶心的频率 0.70 0.85 0.88 0.92 0.89 0.90 0.91 下列说法正确的是（ ） A. 该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90 B. 该选手射箭80次，射中靶心的频率不超过0.90 C. 该选手射箭400次，射中靶心的次数不超过360次 D. 该选手射箭1000次，射中靶心的次数一定为910次 【答案】A 【解析】 【分析】观察表格的数据可以得到击中靶心的频率，然后用频率估计概率即可求解． 【详解】解：依题意得击中靶心频率为0.90， A、该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90，该选项说法正确； B、该选手射箭80次，射中靶心的频率可能超过0.90，该选项说法错误； C、该选手射箭400次，射中靶心的次数可能超过360次，该选项说法错误； D、该选手射箭1000次，射中靶心的次数不一定为910次，该选项说法错误； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率,首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题． 8. 如图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面直径AB的长度是（　　） A. 2cm B. 2.5cm C. 3cm D. 4cm 【答案】C 【解析】 【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N， ∵CD∥AB， ∴△CDO∽ABO，即相似比为， ∴， ∵OM=15-7=8（cm），ON=11-7=4（cm）， ∴， ∴AB=3cm， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质． 9. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据两角分别相等的两个三角形相似和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，逐项进行判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵，， ∴，故A选项能判定，不符合题意； B、，不能判定， 因为两边成比例且夹角相等的两个三角形才能判定相似，故B选项不能判定，符合题意； C、∵，， ∴，故C选项能判定，不符合题意； D、∵，， ∴，故D选项能判定，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（　　）m． A. 3.4 B. 5.1 C. 6.8 D. 8.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质即可列方程求解． 【详解】由相似三角形的性质，设树高x米，则， ∴x＝5.1m． 故选：B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟知相似三角形的性质． 11. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H， ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 12. 如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为，连接，分析下列四个结论：①；②；；．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①根据矩形的性质可证明，，即可证明结论正确； ②根据可证明，利用相似三角形的性质即可证明结论正确； ③过点D作，分别交，于点M，N，可证明四边形平行四边形，则，进一步可证明垂直平分，可得结论正确； ④设，，证明，并利用相似三角形的性质列方程并求解，即得，即可判断结论是否正确． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， 是边的中点， ， ，故②正确； 如图，过点D作，分别交，于点M，N，则四边形平行四边形， ， ， ， ， ， 垂直平分， ，故③正确； 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴，故④正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理的推论，勾股定理，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每题4分） 13. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，利用设参法求值即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴； 故答案为：． 14. 如图，用两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配出紫色，那么可配成紫色的概率是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，从中找出能配成紫色的情况，即可求出配紫的概率． 【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有2种， 所以，能配成紫色的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键． 15. 如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 16. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.8米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米． 【答案】8米． 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB， ∴BDAC， ∴△ACE∽△DBE， ∴， ∴， ∴AC=8(米)， 故答案为：8(米) ． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形，掌握相似三角形的判定及性质是解决此类题的关键． 17. 某数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．求宝塔的高度为___________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．证明出，相似，再根据相似三角形的性质定理建立等式求解，即可得到结论． 【详解】解：由题意知，， ， ， 由题知，， ， ， ， ， 米，米，米， ， 米． ， 米， 故答案为：． 18. 如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等面积法，利用等面积法求的长是解题的关键． 设，交于点，由四边形是平行四边形，得出，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 【详解】解：如图，设，交于点，过点作于点， 连接，    四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，则最小， 即当重合时，最小， ∴的最小值为， ， ∴， ∵，即 ∴ ， ∴的最小值为 的最小值为 故答案为：． 三、解答题 19. 如图，．若，，，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．利用平行线分线段成比例定理得到，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵， ， ，，， ， 解得． 20. 已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得，再根据相似比列出比例式即可得出结果． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ． 21. 如图，在矩形中，E为边上的一点，于点F． （1）证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形； ，， , 于点， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，，进而证明是解题的关键． （1）由矩形的性质得，则，而于点，，即可证明； （2）由，，，求得，由相似三角形的性质得，进而，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， 的长是． 22. 已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 是以点P为位似中心的位似图形． （1）请写出点P的坐标是___________； （2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出，的位似图形，使相似比为； （3）若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为___________． （4）计算的面积．（写出计算过程） 【答案】（1） （2） 如图，即为所求； （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形，三角形的面积． （1）利用位似图形的性质得到位似中心的位置即可求解； （2）根据点O为位似中心，相似比为作图即可； （3）利用位似图形的性质求解即可； （4）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，并延长相交于点P， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得，点M在内的对应点的坐标为； 【小问4详解】 解：． 23. 为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整； （2）C组所对应的扇形圆心角为_______度； （3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________； （4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 【答案】（1）40， 补全图形如下： （2）72 （3）560 （4） 【解析】 【分析】（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形； （2）用360°乘以C组人数所占比例即可； （3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可； （4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 本次调查总人数为（名）， C组人数为（名）， 图略； 故答案为：40； 【小问2详解】 ， 故答案为：72； 【小问3详解】 （人）， 故答案为：560； 【小问4详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的结果共有6种， ∴选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 24. 张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中高张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点E． （1）当点P恰好为中点时，___________ （2）当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； （3）图2，如果把这块材料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，P、N两点分别在，上，且，求出平行四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，借助标杆或直尺测量物体的高度． （1）根据，得到，利用相似三角形的性质可得到答案； （2）设正方形的边长为 ，根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，据此求解即可； （3）过点作于，交于，同理可证，，得到，利用勾股定理和面积法求出，，从而求出，则． 【小问1详解】 解：四边形为矩形， ∴，， ∴， ， 为中点， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：四边形为正方形， ∴，， 设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ， ， 解得， ∴这个零件的边长为； 【小问3详解】 解：过点作于，交于，如图所示： 同理可证，， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积为． 25. 如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是 /秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．设运动的时间为t秒，解答下列问题： （1） ___________，___________．（用含t的代数式表示） （2）求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； （3）在运动过程中，当时，求t的值． 【答案】（1）， （2）秒或秒 （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用． （1）设运动的时间为t秒，根据题意可得出、含t的代数式； （2）分类：当，即时，；当，即时，，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出的值； （3）先计算出，若，则易证得，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出． 【小问1详解】 解：∵的两条直角边，，， ∴， ∵点D沿从A向B运动，速度是 /秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒， ∴， ， ∴，， 故答案为：， 【小问2详解】 解：当，即时，， ， ， ； 当，即时，， ， ， ； 所以当动点运动秒或秒时，与相似； 【小问3详解】 解： 如图，过点作于， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， （秒）． 26. 【问题背景】如图，在和中，，由已知可以得到： ①________________； ②________________． 【尝试应用】如图，在和中，， 求证：． 【问题解决】如图，在和中，与相交于点F，点D在上，，求的值． 【答案】问题背景：①△ABD≌△ACE；②△ABC∽△ADE； 尝试应用：解：∵ △ABC∽△ADE ∴，∠CAB＝∠EAD ∴∠CAE＝∠BAD ∴△ACE∽△ABD． 问题解决：3 【解析】 【分析】问题背景：利用证明△ABD≌△ACE即可；证明利用两个角对应相等的两个三角形相似可得答案； 尝试应用：先证明△ABC∽△ADE，可得，∠CAB＝∠EAD，再证明∠CAE＝∠BAD，从而可得结论； 问题解决：连接CE，依次证明△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE，△ADF∽△ECF，可得，结合，从而可得答案. 【详解】问题背景： 解：① △ABD≌△ACE； ② △ABC∽△ADE． 尝试应用： 略 问题解决： 解：同理：△ABC∽△ADE，连接CE ∴△ABD∽△ACE ∴∠ACE＝∠ABD＝∠ADE=30°， ∴△ADF∽△ECF ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的应用相似三角形的判定方法解决问题是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $