8.6.2直线与平面垂直课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2直线与平面垂直 学习目标 1.了解直线与平面垂直的定义. 2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直. 3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题. 4.能利用直线与平面垂直的判定定理进行证明. 情景导入 在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？ 一:直线与平面垂直的定义与表示 . . 二、点到平面的距离 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 三：直线与平面垂直的判定定理 1.文字语言:如果一条直线与一个平面内的　　　　　　　垂直,那么该直线与此平面垂直.  2.符号语言:若l⊥m,l⊥n,m∩n=B,m⊂α,n⊂α,则　　　　.  3.图形语言:如图8-6-9所示. 两条相交直线 l⊥α 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)线面垂直的判定定理中,平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点. (　　) (2)如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直,那么该直线与此平面垂直.(　　) (3)若一条直线与一个三角形的两条边垂直,则此直线与该三角形所在平面垂直. (　　) × [解析]它们可以有公共点,也可以没有公共点. × [解析]在线面垂直判定定理中,要求平面内的两条直线必须相交. √ [解析]因为三角形的任意两条边都相交,所以根据直线与平面垂直的判定定理知,此直线与该三角形所在平面垂直. 2.若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直,则此直线与该平行四边形所在平面垂直吗? 解:当一条直线垂直于平行四边形的两条邻边时,此直线与该平行四边形所在平面垂直;当一条直线垂直于平行四边形的两条对边时,因为这两条对边平行,所以此直线与该平行四边形所在平面不一定垂直. 1.直线与平面垂直的定义？ 垂线 垂足 垂面 2.直线与平面垂直的判定定理？ 11 3.如何理解点到平面的距离？ 12 平面的斜线 斜足 斜线在平面上的射影 斜线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角， 叫做这条直线和这个平面所成的角． 13 三：线面角 注：平面的斜线与平面内所有直线所成 的角中，斜线与平面所成的角最小． 14 15 B D C A1 B1 C1 D1 A O 16 17 C A M B 18 求斜线和平面所成的角的一般步骤： 作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，连接斜足 和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角，即为 斜线和平面所成的角； 证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角； （注：关键证明线面垂直，即证得斜线在面内的射影） 求：通过解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小． 19 20 四、直线与平面垂直的性质 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. 五、直线到平面的距离、两平行平面间的距离 直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 两平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 六：判定(证明)直线与平面垂直 例1 下列条件中,能判定一条直线与一个平面垂直的是 (　　) A.这条直线垂直于该平面内的一条直线 B.这条直线垂直于该平面内的两条直线 C.这条直线垂直于该平面内的任何两条 直线 D.这条直线垂直于该平面内的无数条直线 [解析] 由线面垂直的判定定理可得,一条直线与一个平面垂直的条件是这条直线垂直于平面内的两条相交直线.只有C选项满足题意,当这条直线垂直于该平面内的任何两条直线时,这条直线也垂直于该平面内的两条相交直线.故选C. C 例2 如图8-6-11,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,D,E分别是A1B和A1C的中点. 求证: (1)DE∥平面A1B1C1; 证明:(1)因为D,E分别是A1B和A1C的中点,所以DE∥BC. 由题意知BC∥B1C1,所以DE∥B1C1. 因为B1C1⊂平面A1B1C1,DE⊄平面A1B1C1, 所以DE∥平面A1B1C1. 图8-6-11 例2 如图8-6-11,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,D,E分别是A1B和A1C的中点. 求证: (2)DE⊥平面A1ABB1. 证明:(2)因为几何体ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以BB1⊥平面ABC, 因为BC⊂平面ABC,所以BB1⊥BC. 因为AB⊥BC,AB⊂平面A1ABB1,BB1⊂平面A1ABB1, BB1∩AB=B,所以BC⊥平面A1ABB1. 又DE∥BC,所以DE⊥平面A1ABB1. 图8-6-11 变式 如图8-6-12,四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,∠BAD=∠ADC =90°,SD⊥平面ABCD,M是SA的中点,AD=SD. 求证:DM⊥平面SAB. 图8-6-12 证明:∵DS=DA,M是SA的中点,∴DM⊥SA. ∵SD⊥平面ABCD,BA⊂平面ABCD,∴SD⊥BA, 又BA⊥AD,SD∩AD=D,∴BA⊥平面SAD, 又DM⊂平面SAD,∴BA⊥DM. ∵BA∩SA=A,∴DM⊥平面SAB. 当堂检测 1.在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是 A.1 B.2 C.3 D.6 √ 2.给出下列三个命题： ①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直； ②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直； ③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直. 其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 3.下列命题正确的是 A.①② B.①③ C.②③ D.① √ 4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是 A.平面DD1C1C B.平面A1DB1 C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB √ 5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求证：AC⊥平面BDD1B1 A B C D A1 B1 C1 D1 2.直线与平面垂直判定定理． 1．直线与平面垂直的定义 线线垂直 线面垂直 垂直与平面内任意一条直线 常用 几个条件？ 课堂小结(2分钟) $$