8.6.1直线与直线垂直课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.1直线与直线垂直的课件 学习目标： 1. 理解两异面直线所成角的定义，会求两异面直线所成的角； 2. 掌握证明两条异面直线垂直的方法； 3. 使学生感受空间几何存在于身边，提高学生观察能力，提升数学空间想象能力. 导入 与平行关系类似，垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系，它在研究空间图形问题中具有重要的作用.类比平行关系的研究过程，本节将研究空间直线、平面之间的垂直关系，重点研究这些垂直关系的判定和性质. 回顾1：空间两直线的位置关系有哪几种？相交、平行、异面. 回顾2：在平面内，两直线所成的角是什么? 在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于90°的角称为它们的夹角，它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度. 例1　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： 题型一、求异面直线所成的角 (1)BE与CG所成的角； 解　∵CG∥FB，∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角. 在Rt△EFB中，EF＝FB， ∴∠EBF＝45°， ∴BE与CG所成的角为45°. (2)FO与BD所成的角. 解　连接FH，∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD， ∴FB＝HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形，∴BD∥FH， ∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF， 则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°， ∴FO与BD所成的角为30°. 反思感悟 求两异面直线所成角的三个步骤 (1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角. (2)证：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出. 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°. 跟踪训练1　如图所示，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝ ，AE＝2. (1)求直线BC和EG所成的角； 解　连接AC(图略). ∵EG∥AC，∴∠ACB即是BC和EG所成的角. ∴tan∠ACB＝1，∴∠ACB＝45°， ∴直线BC和EG所成的角是45°. (2)求直线AE和BG所成的角. 解　∵AE∥BF，∴∠FBG即是AE和BG所成的角. ∴∠FBG＝60°， ∴直线AE和BG所成的角是60°. O 异面直线所成角 我们可以用异面直线所成角来刻画两条异面直线的位置关系. 如图所示，a、b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作 a、b的平行线 a′和 b′，则这两条线所成的锐角θ(或直角)，称为异面直线a，b所成的角. a b a′ b′ O θ a′ 9 注：(1)若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直.异面直线a与b垂直也记作a⊥b. (2)当两条直线a，b互相平行时，我们规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α 的取值范围是 . 10 例1 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′. (1)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？ (2)求直线BA′和CC′所成角的大小. (3)求直线BA′和AC所成角的大小. 11 二： 作异面直线所成的角的另外常见方法 【例3】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1, B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成的角的大小. 12 解:如图,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体, 连接B1Q,DQ,A1C1, ∵EF∥A1C1,而A1C1∥B1Q,∴EF∥B1Q. 于是∠DB1Q就是异面直线DB1与EF所成的角或其补角. 通过计算,不难得到B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线DB1与EF所成的角为90°. 13 作异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线);(2)中位线平移法;(3)补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线). 14 【变式训练2】 已知ABCD-A1B1C1D1是正方体,求异面直线A1C1与B1C所成角的大小. 解:如图所示,连接A1D和C1D. ∵B1C∥A1D, ∴∠DA1C1即为异面直线A1C1与B1C所成的角. ∵A1D,A1C1,C1D为正方体各面上的对角线, ∴A1D=A1C1=C1D, ∴△A1C1D为等边三角形,即∠C1A1D=60°. ∴异面直线A1C1与B1C所成的角为60°. 15 化归与转化思想在求异面直线所成的角中的运用 【典例】 如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,求异面直线CD1与EF所成的角的大小. 16 ∴四边形EFDG是平行四边形,∴EF∥DG, ∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角. 17 又A1A=AB, ∴四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形, 且G为CD1的中点, ∴DG⊥CD1,∴∠D1GD=90°, ∴异面直线CD1与EF所成的角为90°. 18 刻画异面直线所成的角的本质为在某个平面中相交直线所成的角,求异面直线所成角的主要方法是平移直线,这体现了数学中化归与转化的思想. 19 【变式训练】 如图,ABCD-A1B1C1D1是正方体,求: (1)A1C1与B1C所成的角; (2)若E,F分别为AB,AD的中点,求证:A1C1⊥EF. 20 (1)解:如图,连接AC,AB1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AC∥A1C1,从而B1C与AC所成的角就是B1C与A1C1所成的角,由AB1=AC=B1C知∠B1CA=60°, 即A1C1与B1C所成的角为60°. 21 (2)证明:如图,连接AC,BD,由AA1 C1C,知AC∥A1C1. 又因为EF∥BD,所以AC与BD所成的角就是A1C1与EF所成的角,而AC⊥BD,所以A1C1与EF所成的角为90°. 即A1C1⊥EF. 22 达标检测： 1.如图，空间中直线b和三角形的两边AC,BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是（ ） A平行 B垂直 C 相交 D不确定 2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1 ，求证B1D1⊥平面AA1C1C 3.已知,空间四边形 ABCD 中，AB＝AC，DB＝DC，取 BC 中点 E，连接 AE、DE，求证：BC⊥平面 AED. 2 ∵在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2， 易知tan∠FBG＝， $$