2024-2025学年人教版九年级数学上册点拨训练 第25章第04讲 用画树状图法求概率（解析版）

2024-2025人教版九年级数学上 点拨*训练 第25章 第04讲 用画树状图法求概率 学习目标 1.进一步理解等可能事件概率的意义。 2.学习运用树状图计算事件的概率。 3.进一步学习分类思想方法，掌握有关数学技能 老师告诉你 1.当事件涉及三个或三个以上的元素时，用列表法不易列出所有可能结果，用画树状图可以依次列出所有可能的结果，再求出某个事件中包含的所有可能结果，从而求出概率。 2.用画树状图法列举摸球或摸牌的各种可能结果时，应注意取出后“放回”与“不放回”的问题。 一、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1： 两步试验树状图法 当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率。 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法 注意： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的问题；树状图适用于各种情况出现的数目较多时。 （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.树状图法适用于两步及以上的随机事件的概率 【新知导学】 例1．初中毕业后，毕业生甲乙丙面临三种选择：A：就读高中；B：就读职校；C：进入社会就业. (1)求甲一定读高中的概率=________. (2)若甲一定读高中，请用树状图或列表的方法求三人都就读高中的概率. 【对应导练】 1．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__________． 2．如图,转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角分别为和,转盘可以自由转动. （1）转动一次转盘,求指针落在红色扇形内的概率; （2）转动两次转盘,利用树状图或者列表法分析指针两次都落在蓝色扇形内的概率. 3．某鞋店有A，B，C，D四款运动鞋，元旦期间搞“买一送一“促销活动，用树状图或表格求随机选取两款不同的运动鞋，恰好选中A，C两款的概率. 知识点2： 两步以上试验树状图法 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 细节剖析： (1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题 （2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 画树状图求概率的基本步骤 （1）明确一次试验的几个步骤及顺序； （2）画树状图列举一次试验的所有可能结果； （3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n； （4）用概率公式进行计算. 【新知导学】 例2 .5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由、、三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛． （1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果； （2）若、两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为、、的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） A“杂交水稻之父”袁隆平 B“天眼之父”南仁东 C“航天之父”钱学森 【对应导练】 1．某鞋店有A，B，C，D四款运动鞋，元旦期间搞“买一送一“促销活动，用树状图或表格求随机选取两款不同的运动鞋，恰好选中A，C两款的概率. 2．有2部不同的电影A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部观看. （1）求甲选择A部电影的概率； （2）求甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）. 3．学校在八年级进行物理实验考查,设置有A、B两个实验,并规定由学生自己抽签决定参加其中的一个实验考查,小明、小丽和小亮都参加了本次考查. (1)小明参加实验A考查的概率是； (2)用树状图求小明、小丽、小亮三人中恰好有两人参加实验A考查的概率. 4．某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同. （1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率； （2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大. 2、 题型训练 1.利用树状图法求与代数有关的概率 1．如图，两个可以自由转动的转盘均被三等分，分别转动转盘A，B，两个转盘停止后，观察两个指针所指的数字（若指针指在分界线，则重转）. （1）请用画树状图法或列表法表示所有可能出现的结果. （2）若将转盘A停止后指针所指的数字记为m，转盘B停止后指针所指的数字记为n. ①求点在函数图象上的概率. ②求m，n是方程的解的概率. 2．在一个不透明的布袋里装有4个标号分别为1，2，3，4的小球，这些球除标号外无其它差别.从布袋里随机取出一个小球，记下标号为x，再从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下标号为y，记点P的坐标为. （1）请用画树状图或列表的方法，求两次取出的小球标号之和等于5的概率； （2）求点落在直线上的概率. 2.利用树状图法求实际问题中的概率 3．如图，有4张分别印有Q版西游图案的卡片：A唐僧、B孙悟空、C猪八戒、D沙悟净. 现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1卡片求下列事件发生的概率： （1）第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为__________； （2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率. 4．某校计划举办“喜迎二十大”演讲比赛，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题. （1）若小颖随机选择其中一个主题，求她选中的主题是“5G时代”的概率是_________； （2）若小颖和小亮每人随机选择其中一个主题，用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一个主题的概率. 2.利用树状图法求三次试验的概率 5．现有三个不透明的盒子，A盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B盒中装有红球、黄球各1个，C盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同现分别从三个盒子中任意摸出一个球 (1)从A盒中摸出红球的概率为 ； (2)用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率. 6．现有A、B、C三个不透明的盒子，A盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B盒中装有红球、黄球各1个，C盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从A、B、C三个盒子中任意摸出一个球． （1）从A盒中摸出红球的概率为 ； （2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率． 三、课堂达标 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．同时抛掷三枚质地均匀的硬币，恰有两枚硬币反面向上的概率是( ) A. B. C. D. 2．体育课，甲、乙、丙、丁四人在练习踢足球，足球从一人踢向另一人记为踢一次，若第一次由甲踢出足球，则踢三次后足球回到甲处的概率是( ) A. B. C. D. 3．甲、乙两位同学参加美术学院的考试，要求从素描、速写和色彩中抽考一项，那么这两位学生抽到同一项的概率是( ) A. B. C. D. 4．三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字“1”“2”“3”，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字，则为边长正好构成等边三角形的概率是( ) A. B. C. D. 5．小明与小刚一起玩抛掷两枚硬币的游戏,游戏规则:抛出两个正面——小明赢1分;抛出其他结果——小刚赢1分;谁先得到10分,谁就获胜.这是个不公平的游戏规则,要把它修改成公平的游戏,下列做法中错误的是(   ) A.把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面” B.把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面” C.把“小明赢1分”改为“小明赢3分” D.把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分” 6 .一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是（　　） A． B． C． D． 7 .某商户开展抽奖活动，如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形．每个扇形上都标有数字，当满足抽奖条件的某个客户同时自由转动两个转盘则转盘停止后，指针都落在偶数上（指针落在线上时，重新转动转盘）的概率是（    ） A． B． C． D． 8 .箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．妈妈买了4块月饼,分别是2块五仁味和2块水果味,小明随意吃两块恰好都是水果味的概率是______. 10．某市举办“体彩杯”中学生篮球赛，初中男子组有市直学校的，，三个队和县区学校的五个队.如果从四个队与四个队中各抽取一个队进行首场比赛，那么参加首场比赛的两个队都是县区学校队的概率是________. 11．在一个暗盒中放有若干个白色球和2个黑色球(这些球除颜色外无其他区别)，若从中随机取出1个球是白色球的概率是，则在暗盒中随机取出2个球都是白色球的概率是 . 12.学校食堂晚餐有四荤三素，荤菜有红烧肉、酸菜鱼、姜爆鸭和辣子鸡，素菜有干煸四季豆、青椒土豆丝和香干炒蒜苔，小南让食堂阿姨任打一道荤菜一道素菜，则刚好选到她爱吃的红烧肉和青椒土豆丝的概率为 _____________． 13.某商户开展抽奖活动，如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形．每个扇形上都标有数字，当满足抽奖条件的某个客户同时自由转动两个转盘则转盘停止后，指针都落在偶数上（指针落在线上时，重新转动转盘）的概率是_________ 三、解答题（每小题8分，共48分） 14．中国共产党的助手和后备军——中国共青团,担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务.成立一百周年之际,各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动,学生可以任选一项参加.为了解参与情况,进行了一次抽样调查,根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图. 请根据图中提供的信息,解答下列问题： (1)在这次调查中,一共抽取了____________名学生； (2)补全条形统计图； (3)若该校共有学生1280名,请估计参加B项活动的学生数； (4)小杰和小慧参加了上述活动,请用列表或画树状图的方法,求他们参加同一项活动的概率. . 15．为了解市区A校落实双减政策的情况,有关部门抽查了A校901班同学,以该班同学参加课外活动的情况为样本,对参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活动的情况进行调查统计,并绘制了如图所示的统计图. (1)请把图2(条形统计图)补充完整： (2)该班参加舞蹈类活动的4位同学中,恰有2位男生和2位女生,现准备从中选取两名同学组成舞伴,请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率. 16．有红、黄两个盒子,红盒子中装有编号分别为1、2、3、5的四个红球,黄盒子中装有编号为1、2、3的三个黄球.甲、乙两人玩摸球游戏,游戏规则为：甲从红盒子中每次摸出一个小球,乙从黄盒子中每次摸出一个小球,若两球编号之和为奇数,则甲胜,否则乙胜. (1)试用列表或画树状图的方法,求甲获胜的概率； (2)请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平,请说明理由；若不公平,试改动红盒子中的一个小球的编号,使游戏规则公平. 17．某班甲、乙两名同学周末一同外出游玩，但游玩的景点两人意见不一致，于是用游戏的方式在大理古城与丽江古城中决定游玩的景点. 游戏规则如下：一个不透明袋子中装有质地完全相同的乒乓球共4个，分别标有数字，另一个不透明的袋子中装有质地完全相同的乒乓球共3个，分别标有数字. 甲从两个袋子中各摸出一个球，若两个球上的数字之和不大于4，则去大理古城；否则，去丽江古城. (1)用画树状图或列表法列出所有可能的结果. (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平. 18．有四张反面完全相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形,将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上. （1）从四张纸牌中随机摸出一张,摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是________. （2）小明和小亮约定做一个游戏,其规则为:先由小明随机摸出一张,不放回.再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张,若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形,则小亮获胜,否则小明获胜.这个游戏公平吗?请用列表法（或画树状图）说明理由.（纸牌用表示）若不公平,请你帮忙修改一下游戏规则,使游戏公平. 19 .某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表： 等级 一般 较好 良好 优秀 阅读量/本 3 4 5 6 频数 12 a 14 4 频率 0.24 0.40 b c 请根据统计表中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了 　50　名学生；表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）求所抽查学生阅读量的众数和平均数； （3）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版九年级数学上 点拨*训练 第25章 第04讲 用画树状图法求概率（解析版） 学习目标 1.进一步理解等可能事件概率的意义。 2.学习运用树状图计算事件的概率。 3.进一步学习分类思想方法，掌握有关数学技能 老师告诉你 1.当事件涉及三个或三个以上的元素时，用列表法不易列出所有可能结果，用画树状图可以依次列出所有可能的结果，再求出某个事件中包含的所有可能结果，从而求出概率。 2.用画树状图法列举摸球或摸牌的各种可能结果时，应注意取出后“放回”与“不放回”的问题。 一、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1： 两步试验树状图法 当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率。 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法 注意： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的问题；树状图适用于各种情况出现的数目较多时。 （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.树状图法适用于两步及以上的随机事件的概率 【新知导学】 例1．初中毕业后，毕业生甲乙丙面临三种选择：A：就读高中；B：就读职校；C：进入社会就业. (1)求甲一定读高中的概率=________. (2)若甲一定读高中，请用树状图或列表的方法求三人都就读高中的概率. 答案：(1) (2) 解析：(1)略 (2)画出树状图 总共有9种等可能的结果，其中三人都就读高中的有1种情况， . 【对应导练】 1．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__________． 【答案】 【解析】用树状图把所有情况列出来，即可求出． 总共有12种组合， 《论语》和《大学》的概率， 故答案为：． 【点睛】此题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式． 2．如图,转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角分别为和,转盘可以自由转动. （1）转动一次转盘,求指针落在红色扇形内的概率; （2）转动两次转盘,利用树状图或者列表法分析指针两次都落在蓝色扇形内的概率. 答案：（1） （2） 解析:（1）将作为1份,可知蓝色扇形占2份,红色扇形占1份,它们发生的可能性相同,让转盘自由转动一次,共三种可能,指针落在红色扇形有1种,所以指针落在红色扇形内的概率是; （2）设蓝色扇形两块和红色扇形的一块分别为1,2,3, 画树状图得: 由树状图知共有9种等可能结果,其中指针两次都落在蓝色扇形内有4种结果,所以指针落在蓝色扇形内的概率为. 3．某鞋店有A，B，C，D四款运动鞋，元旦期间搞“买一送一“促销活动，用树状图或表格求随机选取两款不同的运动鞋，恰好选中A，C两款的概率. 答案： 解析：画树状图如图所示： 共有12种等可能的结果，恰好选中A，C两款的有2种情况， 恰好选中A，C两款的概率为. 知识点2： 两步以上试验树状图法 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 细节剖析： (1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题 （2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 画树状图求概率的基本步骤 （1）明确一次试验的几个步骤及顺序； （2）画树状图列举一次试验的所有可能结果； （3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n； （4）用概率公式进行计算. 【新知导学】 例2 .5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由、、三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛． （1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果； （2）若、两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为、、的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） A“杂交水稻之父”袁隆平 B“天眼之父”南仁东 C“航天之父”钱学森 【答案】（1）在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1 （2）、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为 【解析】【分析】（1）根据题意先画树状图列出所有等可能结果 （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A1A2抽取的都是同一名科技英雄的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：画树状图如下： ∴共有6种等可能的结果，分别是：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1． 答：在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1． （2）解：画树状图如下： ∵由树状图知，共有9种等可能结果，其中、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的结果有3种， ∴P(、两人恰好讲述同一名科技英雄故事)== ， 答：、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为． 【点睛】此题考查了概率的应用，解题的关键是掌握运用列表法或画树状图法列出所有可能的结果及概率的计算方法． 【对应导练】 1．某鞋店有A，B，C，D四款运动鞋，元旦期间搞“买一送一“促销活动，用树状图或表格求随机选取两款不同的运动鞋，恰好选中A，C两款的概率. 答案： 解析：画树状图如图所示： 共有12种等可能的结果，恰好选中A，C两款的有2种情况， 恰好选中A，C两款的概率为. 2．有2部不同的电影A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部观看. （1）求甲选择A部电影的概率； （2）求甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）. 答案：解：（1）甲选择A部电影的概率为. （2）画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中甲、乙、内3人选择同1部电影的结果有2种，所以甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率为. 3．学校在八年级进行物理实验考查,设置有A、B两个实验,并规定由学生自己抽签决定参加其中的一个实验考查,小明、小丽和小亮都参加了本次考查. (1)小明参加实验A考查的概率是； (2)用树状图求小明、小丽、小亮三人中恰好有两人参加实验A考查的概率. 答案：(1) (2),图见解析 解析：(1)小明参加实验A考查的概率是, 故答案为：； (2)如图, 由图可知,共有8种等可能的情况,其中符合要求的情况有3种, 因此小明、小丽、小亮三人中恰好有两人参加实验A考查的概率为. 4．某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同. （1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率； （2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大. 答案：（1） （2）嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大 解析：（1）嘉淇走到十字道口A一共有三种可能，向北只有一种可能，嘉淇走到十字道口A向北走的概率为； （2）补全树状图如图所示： 嘉淇经过两个十字道口后共有9种可能，向西的概率为：；向南的概率为；向北的概率为；向东的概率为；嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大. 2、 题型训练 1.利用树状图法求与代数有关的概率 1．如图，两个可以自由转动的转盘均被三等分，分别转动转盘A，B，两个转盘停止后，观察两个指针所指的数字（若指针指在分界线，则重转）. （1）请用画树状图法或列表法表示所有可能出现的结果. （2）若将转盘A停止后指针所指的数字记为m，转盘B停止后指针所指的数字记为n. ①求点在函数图象上的概率. ②求m，n是方程的解的概率. 答案：（1）见解析 （2）① ② 解析：（1）画树状图如下. 或列表如下. 转盘B 转盘A 1 2 3 1 2 3 （2）①由（1）可知，共有9种等可能的结果， 点在函数图象上的结果有3种， 即，，， 点在函数图象上的概率为. ②解方程， 得，. m，n是方程的解的结果有2种， m，n是方程的解的概率为. 2．在一个不透明的布袋里装有4个标号分别为1，2，3，4的小球，这些球除标号外无其它差别.从布袋里随机取出一个小球，记下标号为x，再从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下标号为y，记点P的坐标为. （1）请用画树状图或列表的方法，求两次取出的小球标号之和等于5的概率； （2）求点落在直线上的概率. 答案：（1） （2） 解析：（1）根据题意，画树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两次取出的小球标号之和等于5的有4种， 两次取出的小球标号之和等于5的概率为； （2）由树状图可知，点落在直线上的情况共计有2种， 点落在直线上的概率为. 2.利用树状图法求实际问题中的概率 3．如图，有4张分别印有Q版西游图案的卡片：A唐僧、B孙悟空、C猪八戒、D沙悟净. 现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1卡片求下列事件发生的概率： （1）第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为__________； （2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率. 答案：（1） （2） 解析：（1）略 （2）画树状图如图所示： 由图可以看出一共有16种等可能的结果，其中至少有1张图案为“A唐僧”的结果有7种. P（至少有1张图案为“A唐僧”）. 答：两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率为. 4．某校计划举办“喜迎二十大”演讲比赛，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题. （1）若小颖随机选择其中一个主题，求她选中的主题是“5G时代”的概率是_________； （2）若小颖和小亮每人随机选择其中一个主题，用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一个主题的概率. 答案：（1） （2） 解析：（1）若小颖随机选择其中一个主题，则她选中的主题是“5G时代”的概率是， 故答案为：； （2）把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小颖和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种， 小颖和小亮恰好选择同一个主题的概率为. 2.利用树状图法求三次试验的概率 5．现有三个不透明的盒子，A盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B盒中装有红球、黄球各1个，C盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同现分别从三个盒子中任意摸出一个球 (1)从A盒中摸出红球的概率为 ； (2)用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率. 答案：(1)从A盒中摸出红球的概率为. (2)画出树状图如图所示: 由图可知，共有12种等可能的结果，其中至少有一个红球的结果有10种， 所以P(摸出的三个球中至少有一个红球). 6．现有A、B、C三个不透明的盒子，A盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B盒中装有红球、黄球各1个，C盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从A、B、C三个盒子中任意摸出一个球． （1）从A盒中摸出红球的概率为 ； （2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率． 答案：（1） （2）列出树状图如图所示： 由图可知，共有12种等可能结果，其中至少有一个红球的结果有10种 所以， 答：摸出的三个球中至少有一个红球的概率是 三、课堂达标 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．同时抛掷三枚质地均匀的硬币，恰有两枚硬币反面向上的概率是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：画树状图如下： 由树状图可知共有8种等可能结果，其中恰有两次正面向上的有3种， 所以恰有两次正面向上的概率为， 故选：C. 2．体育课，甲、乙、丙、丁四人在练习踢足球，足球从一人踢向另一人记为踢一次，若第一次由甲踢出足球，则踢三次后足球回到甲处的概率是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：画树状图如下： 共有27种等可能的情况，其中踢三次后足球回到甲处的共有6次，故踢三次后足球回到甲处的概率是. 故选：C. 3．甲、乙两位同学参加美术学院的考试，要求从素描、速写和色彩中抽考一项，那么这两位学生抽到同一项的概率是( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：画树状图如下 由树状图知，共有9种等可能结果，其中这两位学生抽到同一项的有3种结果， 所以这两位学生抽到同一项的概率为， 故选：A. 4．三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字“1”“2”“3”，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字，则为边长正好构成等边三角形的概率是( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：根据题意，画出树状图如图所示： 由树状图可知，共有27种等可能出现的结果，构成等边三角形的有3种结果， 以为边长正好构成等边三角形的概率是.故选A. 5．小明与小刚一起玩抛掷两枚硬币的游戏,游戏规则:抛出两个正面——小明赢1分;抛出其他结果——小刚赢1分;谁先得到10分,谁就获胜.这是个不公平的游戏规则,要把它修改成公平的游戏,下列做法中错误的是(   ) A.把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面” B.把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面” C.把“小明赢1分”改为“小明赢3分” D.把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分” 答案：D 解析：画树状图得: 因为,则出现其他结果的概率为.A项,把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”时,两人获胜的概率都为,此时游戏公平,故此选项正确,不符合题意;B项,把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”时,两人获胜的概率都为,此时游戏公平,故此选项正确,不符合题意;C项,∵小明获胜的概率为,小刚获胜的概率为,故把“小明赢1分”改为“小明赢3分”,此时游戏公平,故此选项正确,不符合题意;D项,把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分”,此时游戏不公平,故此选项错误,符合题意. 6 .一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是（　　） A． B． C． D． 【思路引导】根据树形图即可求概率． 【完整解答】解：根据树形图，可知 蚂蚁可选择食物的路径有6条，即有6种等可能的结果， 有食物的有两条． 所以概率是． 所以它获取食物的概率． 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，读懂题意，画出树状图是解题的关键． 7 .某商户开展抽奖活动，如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形．每个扇形上都标有数字，当满足抽奖条件的某个客户同时自由转动两个转盘则转盘停止后，指针都落在偶数上（指针落在线上时，重新转动转盘）的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用树状图列举出所有的等可能性，利用计算概率的公式即可得出结论． 【详解】解：∵两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，自由转动两个转盘， ∴指针落在每个数字上的可能性是相同的． 依据题意列树状图如下： ∵从图中可以看出共有20种等可能，其中指针都落在偶数上的可能有4种， ∴指针都落在奇数上的概率是：． 故选：B 【点睛】本题主要考查了用列表法或树状图求事件的概率．列表或用树状图表示出所有的等可能是解题的关键． 8 .箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是（　　） A． B． C． D． 【思路引导】先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【完整解答】解：画树状图得： ∵共有24种等可能的结果，第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的有8种情况， ∴第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率＝＝． 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．妈妈买了4块月饼,分别是2块五仁味和2块水果味,小明随意吃两块恰好都是水果味的概率是______. 答案： 解析：列出表格如下： 五仁1 五仁2 水果1 水果2 五仁1 (五仁1,五仁2) (五仁1,水果1) (五仁1,水果2) 五仁2 (五仁2,五仁1) (五仁2,水果1) (五仁2,水果2) 水果1 (水果1,五仁1) (水果1,五仁2) (水果1,水果2) 水果2 (水果2,五仁1) (水果2,五仁2) (水果2,水果1) 由表可知,一共有12种情况,吃两块恰好都是水果味的情况有2种, ∴吃两块恰好都是水果味的概率. 10．某市举办“体彩杯”中学生篮球赛，初中男子组有市直学校的，，三个队和县区学校的五个队.如果从四个队与四个队中各抽取一个队进行首场比赛，那么参加首场比赛的两个队都是县区学校队的概率是________. 答案： 解析：列表如下： 由表可知共有16种等可能的结果，两个队都是县区学校队的有，共6种结果，因此（两个队都是县区学校队）. 11．在一个暗盒中放有若干个白色球和2个黑色球(这些球除颜色外无其他区别)，若从中随机取出1个球是白色球的概率是，则在暗盒中随机取出2个球都是白色球的概率是 . 答案： 解析：设有x个白球，根据题意得，解得 画树状图得： 共有20种等可能的结果.在暗盒中随机取出2个球恰好都是白色球的有6种情况， 所以在暗盒中随机取出2个球恰好都是白色球的概率为. 12.学校食堂晚餐有四荤三素，荤菜有红烧肉、酸菜鱼、姜爆鸭和辣子鸡，素菜有干煸四季豆、青椒土豆丝和香干炒蒜苔，小南让食堂阿姨任打一道荤菜一道素菜，则刚好选到她爱吃的红烧肉和青椒土豆丝的概率为 _____________． 【答案】 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】红烧肉、酸菜鱼、姜爆鸭、辣子鸡分别用A、B、C、D表示，干煸四季豆、青椒土豆丝、香干炒蒜苔用a、b、c表示， 根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的情况数，其中她选到红烧肉和青椒土豆丝的有1种， 则刚好选到她爱吃的红烧肉和青椒土豆丝的概率为 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 13.某商户开展抽奖活动，如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形．每个扇形上都标有数字，当满足抽奖条件的某个客户同时自由转动两个转盘则转盘停止后，指针都落在偶数上（指针落在线上时，重新转动转盘）的概率是_________ 【答案】 【分析】利用树状图列举出所有的等可能性，利用计算概率的公式即可得出结论． 【详解】解：∵两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，自由转动两个转盘， ∴指针落在每个数字上的可能性是相同的． 依据题意列树状图如下： ∵从图中可以看出共有20种等可能，其中指针都落在偶数上的可能有4种， ∴指针都落在奇数上的概率是：． 【点睛】本题主要考查了用列表法或树状图求事件的概率．列表或用树状图表示出所有的等可能是解题的关键． 三、解答题（每小题8分，共48分） 14．中国共产党的助手和后备军——中国共青团,担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务.成立一百周年之际,各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动,学生可以任选一项参加.为了解参与情况,进行了一次抽样调查,根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图. 请根据图中提供的信息,解答下列问题： (1)在这次调查中,一共抽取了____________名学生； (2)补全条形统计图； (3)若该校共有学生1280名,请估计参加B项活动的学生数； (4)小杰和小慧参加了上述活动,请用列表或画树状图的方法,求他们参加同一项活动的概率. 答案：(1)200 (2)图见解析 (3)估计参加B项活动的学生数有512名 (4)图见解析,他们参加同一项活动的概率为 解析：(1)(名), 即在这次调查中,一共抽取了200名学生, 故答案为：200； (2)参加C项活动的人数为：(名), 补全条形统计图如图： (3)(名), 答：估计参加B项活动的学生数有512名； (4)画树状图如图： 由树状图可知,共有16种等可能的结果,其中他们参加同一项活动的情况数有4种, 所以他们参加同一项活动的概率为. 15．为了解市区A校落实双减政策的情况,有关部门抽查了A校901班同学,以该班同学参加课外活动的情况为样本,对参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活动的情况进行调查统计,并绘制了如图所示的统计图. (1)请把图2(条形统计图)补充完整： (2)该班参加舞蹈类活动的4位同学中,恰有2位男生和2位女生,现准备从中选取两名同学组成舞伴,请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率. 答案：(1)图见解析 (2) 解析：(1)本次调查的学生人数为(人), 参加音乐类活动的学生人数为(人), 补全条形统计图如下： (2)画树状图如下： 共有12种等可能的结果,其中恰好选中一男一女的结果有8种, 恰好选中一男一女的概率为. 16．有红、黄两个盒子,红盒子中装有编号分别为1、2、3、5的四个红球,黄盒子中装有编号为1、2、3的三个黄球.甲、乙两人玩摸球游戏,游戏规则为：甲从红盒子中每次摸出一个小球,乙从黄盒子中每次摸出一个小球,若两球编号之和为奇数,则甲胜,否则乙胜. (1)试用列表或画树状图的方法,求甲获胜的概率； (2)请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平,请说明理由；若不公平,试改动红盒子中的一个小球的编号,使游戏规则公平. 答案：(1) (2)不公平 解析：(1)画树状图得： ∴一共有12种等可能的结果,两球编号之和为奇数有5种情况, ； (2), ∴, ∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平； 将红盒子中装有编号分别为1、2、3、5的四个红球,改为1、2、3、4的四个红球即可. 17．某班甲、乙两名同学周末一同外出游玩，但游玩的景点两人意见不一致，于是用游戏的方式在大理古城与丽江古城中决定游玩的景点. 游戏规则如下：一个不透明袋子中装有质地完全相同的乒乓球共4个，分别标有数字，另一个不透明的袋子中装有质地完全相同的乒乓球共3个，分别标有数字. 甲从两个袋子中各摸出一个球，若两个球上的数字之和不大于4，则去大理古城；否则，去丽江古城. (1)用画树状图或列表法列出所有可能的结果. (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平. 答案：(1)见解析 (2)公平，理由见解析 解析：（1）列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 （2）我认为这个游戏公平，理由： 从表中可以看出共有12种等可能结果，其中数字之和不大于4与数字之和大于4的等可能结果各有6种， ∴， ∴ ∴这个游戏公平. 18．有四张反面完全相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形,将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上. （1）从四张纸牌中随机摸出一张,摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是________. （2）小明和小亮约定做一个游戏,其规则为:先由小明随机摸出一张,不放回.再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张,若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形,则小亮获胜,否则小明获胜.这个游戏公平吗?请用列表法（或画树状图）说明理由.（纸牌用表示）若不公平,请你帮忙修改一下游戏规则,使游戏公平. 答案：（1） （2）见解析 解析:（1）共有4张牌,正面是中心对称图形的情况有3种, 从四张纸牌中随机摸出一张,摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是; 故答案为; （2）游戏不公平,理由如下: 列表得: A B C D A B C D 共有12种结果,每种结果出现的可能性相同,摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种,即 P(两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形), 游戏不公平. 修改规则:若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形(或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形),则小明获胜,否则小亮获胜. 19 .某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表： 等级 一般 较好 良好 优秀 阅读量/本 3 4 5 6 频数 12 a 14 4 频率 0.24 0.40 b c 请根据统计表中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了 　50　名学生；表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）求所抽查学生阅读量的众数和平均数； （3）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率． 【分析】（1）由一般的频数和频率，求本次调查的总人数，然后即可计算出a、b、c的值； （2）由众数和平均数的定义即可得出答案； （3）画树状图，共有12种情况，其中所选2名同学中有男生的有6种结果，再由概率公式即可得出答案． 【解析】（1）本次抽取的学生共有：12÷0.24＝50（名）， ∴a＝50×0.40＝20，b＝14÷50＝0.28，c＝4÷50＝0.08， 故答案为：50，20，0.28，0.08； （2）∵所抽查学生阅读量为4本的学生最多，有20名， ∴所抽查学生阅读量的众数为4， 平均数为：×（3×12+4×20+5×14+6×4）＝4.2； （3）画树状图如下： 共有12种情况，其中所选2名同学中有男生的有6种结果， ∴所选2名同学中有男生的概率为＝． 学科网（北京）股份有限公司 $$