8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系 2 问题1：为什么当一个人在学会走路之前总会有一段爬行的人生经历，同时也有一段拄着拐杖的人生历程？在爬行与拄拐杖这两件事情中是否隐含着什么数学理论呢？ 问题2：用两个合页和一把锁就可以固定一扇门，为什么？ 情境引入 3 问题3：自行车的撑脚一般安装在自行车的 什么位置？能不能安装在前后轮一条直线 的地方 ？ 问题4：照相机支架需要几条腿？两条行不 行？三条在一条线上行不行？ 根据上面的实例，你得到怎么样的一个结论？ 如何用数学语言描述上述事实？ 情境引入 4 一：共点、共线、共面问题 1.在三棱锥A-BCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,若EF ∩HG=P,则点P (　　) A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上 C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上,也不在直线BD上 B 2.如图,P,Q,R,S分别是正方体或四面体所在棱的中点,则在下列图形中,这四 个点共面的序号是 (　　)   A.①②④　　　    B.①③④ C.②③④　　　    D.①②③ D 3.下列说法正确的是 (　　) A.三点可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.四边形是平面图形 D.两条相交直线可以确定一个平面 D 4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别是AB、AA1的中点,连接 D1F、CE.求证: (1)E、C、D1、F四点共面; (2)CE、D1F、DA三线共点.   证明　(1)如图所示,连接CD1、EF、A1B, ∵E、F分别是AB、AA1的中点, ∴EF∥A1B,且EF= A1B. 又∵A1D1∥BC,A1D1=BC, ∴四边形A1BCD1是平行四边形, ∴A1B∥CD1,∴EF∥CD1, ∴EF与CD1能够确定一个平面ECD1F, 即E、C、D1、F四点共面. (2)由(1)知EF∥CD1,且EF= CD1, ∴四边形CD1FE是梯形, ∴CE与D1F必相交,设交点为P, 则P∈CE,且P∈D1F, ∵CE⊂平面ABCD,D1F⊂平面A1ADD1, ∴P∈平面ABCD,且P∈平面A1ADD1. 又∵平面ABCD∩平面A1ADD1=AD, ∴P∈AD, ∴CE、D1F、DA三线共点. 1.证明点或线共面问题的2种方法 (1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后证其余的线(或点) 在这个平面内; (2)将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合. 2.证明点共线问题的2种方法 (1)先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上; (2)直接证明这些点都在同一条特定直线上. 3.证明线共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点. 1.如果两条直线a 与b 没有公共点，那么a 与b( ) A.共面 B.平行 C.是异面直线 D.可能平行，也可能给是异面直线 2.设直线a，b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a 与b( ) A.平行 B.相交 C.是异面直线 D.可能相交，也可能给是异面直线 20 3.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，判定直线AB与AC，直线AC与A'C'，直线A'B与AC，直线A'B与C'D的位置关系. 21 4.判断下列命题是否正确 (1)若直线l 上有无数个点不在平面α 内，则l //α. (2)若直线l 与平面α 平行，则l 与平面α 内的任意一条直线都平行. (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. (4)若直线l 与平面α 平行，则l 与平面α 内的任意一条直线都没有公共点. 22 5.已知直线a，b，平面α，β，且a⊂α，b⊂β，α∥β.判断直线a，b的位置关系，并说明理由. 23 课堂小结 一、直线与平面有三种位置关系： (1)直线在平面内——有无数个公共点； (2)直线与平面相交——有且只有一个 公共点； (3)直线与平面平行——没有公共点. 二、两个平面之间有两种位置关系： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有且只有一条公共 直线. 24 $$