13.1.2线段的垂直平分线的性质 课件 -2024—2025学年人教版数学八年级上册

第十三章 轴 对 称 13.1.2 线段的垂直平分线 （第1课时） 情景导入 通过刚才的活动，大家都知道线段是轴对称图形，那么谁能画出这个线段的对称轴呢？ 这种既垂直又平分这条线段的线还记得 叫什么吗？ 垂直平分线 教学目标 1．探究线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理； 2． 能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题． 3．通过自主学习的过程体会几何学习的一般方法. 探索新知 探索并证明线段垂直平分线的性质 如右图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，分别量一量点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离，你有什么发现？ 相等 你能证明这个结论吗？ 能不能说成线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等？ 证明命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 探索新知 证明几何命题的三大步： 1，写出已知 2，写出求证 3，写证明过程 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB． 证明：如图所示，∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB=90°． AC =CB， ∠PCA =∠PCB PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． （已知） （垂直定义） （全等三角形对应边相等） 在△PCA和△PCB中， 总 结 探索新知 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 用几何语言表示为： ∵PA=PB，l⊥AB， ∴ PA =PB． 1.如图，直线CD垂直平分线段AB， 点P为直线CD上的一点，且PA=5， 则线段PB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 P A B C D 2.如图，在△ABC中，BC=8cm, 边AB的垂直平分线交AB于点D， 交边AC于点E, △BCE的周长 等于18cm,则AC的长是 . A B C D E B 10cm 课堂练习 探索新知 探索并证明线段垂直平分线的判定 思考：反过来，如图，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？ P A B 点P 在线段AB 的垂直平分线上． 能证明吗？ 探索新知 已知：如图，PA =PB． 　　求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． A B C P 证明：过点P 作线段AB 的垂线PC， 垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵　PA =PB， PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上． 几何语言格式： ∵　AB =AC，MB =MC， ∴　直线AM 是线段BC 的垂直平分线． 判断一条直线是线段的垂直平分线的方法. 如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？ 例题讲解 例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：如图直线AB和AB外一点C . 求作：AB的垂线，使它经过点C . 作法：（1）任意取一点K，使点 K和点C在AB的两旁. K A B C （2）以点C 为圆心，CK长为半径 作弧，交AB于点D和点E. D E （3）分别以点D和点E为圆心，大于1/2 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F. （4）作直线CF. F 直线CF就是所求作的垂线. 课堂练习 练习1　如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的 垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？ 解：AB =AC =CE．理由如下： ∵　AD⊥BC，BD =DC， ∴　AD 是BC 的垂直平分线， ∴　AB =AC． ∵　点C 在AE 的垂直平 分线上， ∴　AC =CE． ∴ AB =AC =CE． 练习1　如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的 垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？ 解： AB +BD =DE ．理由如下： ∵　AB =CE，BD =DC， ∴　AB +BD =CD +CE． 即　AB +BD =DE ． 练习2 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上. 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 证明 ： ∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴ OA=OB. 同理OB=OC. ∴ OA=OC. ∴ 点O在AC的垂直平分线上. 线段的垂直平分的性质 性质 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 判定 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 课堂小结 $$