13.1.2线段的垂直平分线的性质 课件-2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十三章 轴 对 称 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 （第1课时） 教学目标 1．探究线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理； 2． 能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题． 3．通过自主学习的过程体会几何学习的一般方法. 情景导入 通过刚才的活动，大家都知道线段是轴对称图形，那么谁能画出这个线段的对称轴呢？ 这种既垂直又平分这条线段的线还记得 叫什么吗？ 垂直平分线 探索新知 探索并证明线段垂直平分线的性质 如右图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，分别量一量点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离，你有什么发现？ 相等 你能证明这个结论吗？ 能不能说线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等？ 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 探索新知 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB． 证明： ∴ ∠PCA =∠PCB=90°． AC =BC， ∠PCA =∠PCB， PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB （SAS）． ∴ PA =PB． （已知） （垂直定义） （全等三角形对应边相等） 在△PCA和△PCB中， ∵　l⊥AB， 证明命题 探索新知 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 用几何语言表示为： ∵PC⊥AB，AC=BC， ∴ PA =PB． 课堂练习 P62 1 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？ ∵　AD⊥BC，BD =DC， ∴　AB =AC． 解：AB =AC =CE．理由如下： ∴ AB =AC =CE． ∵　点C 在AE 的垂直平分线上， ∴　AC =CE． 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？ 解：AB +BD =DE ．理由如下： ∵AB =CE，BD =DC， ∴AB +BD =CD +CE． 即　AB +BD =DE ． 课堂练习 P62 1 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线 段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． A D C E B 分析：可利用方程思想 。 小试牛刀 1. B C A O 分析： D 小试牛刀 2. A D E B C 分析： ？ 大显身手 3. A D E B C ？ 分析： 列方程组 变 式 A D E B C 解： 变 式 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连 接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD. 拓展提升 A B C F E D 证明：(1)∵AD∥BC ∴∠ADE＝∠FCE ∵E是CD的中点 ∴DE＝CE ∴△ADE≌△FCE(ASA) ∴AD＝FC 在△ADE和△FCE中 ∠AED＝∠FEC ∠ADE＝∠FCE DE＝CE (2)∵△ADE≌△FCE ∴AE＝FE，AD＝FC ∵BE⊥AE ∴AB＝FB＝BC＋CF ∵AD＝FC ∴AB＝BC＋AD 探索新知 探索并证明线段垂直平分线的判定 思考：反过来，如图，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？ P A B 点P 在线段AB 的垂直平分线上． 能证明吗？ 几何语言格式： ∵　AB =AC，MB =MC， ∴　直线AM 是线段BC 的垂直平分线． 判断一条直线是线段的垂直平分线的方法. 如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？ 例题讲解 例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：如图直线AB和AB外一点C . 求作：AB的垂线，使它经过点C . 作法：（1）任意取一点K，使点 K和点C在AB的两旁. K A B C （2）以点C 为圆心，CK长为半径 作弧，交AB于点D和点E. D E （3）分别以点D和点E为圆心，大于1/2 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F. （4）作直线CF. F 直线CF就是所求作的垂线. 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上. 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 证明 ： ∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴ OA=OB. 同理OB=OC. ∴ OA=OC. ∴ 点O在AC的垂直平分线上. 举一反三 线段的垂直平分线的性质 性 质 应 用 线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 课堂小结 见垂直平分线，得线段相等 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线 段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 判 定 应 用 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． $$