8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 素养目标 学法指导 1．了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.(逻辑推理) 2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系.(逻辑推理) 3．能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(数学运算) 1．求棱柱、棱锥、棱台的表面积时，要充分利用侧面展开图与原几何体的关系； 2．求体积时，要准确把握底面积和高，尤其是四面体.优先选面积容易求出的面作为底面. 2 【情境探究】 1.观察棱柱、棱锥、棱台(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)的表面展开图,各几何体的表面积与展开图中的各部分平面图形的面积有何关系? 提示:各几何体的表面积等于展开图中各部分平面图形的面积之和. 必备知识生成 3 2.棱柱、棱锥、棱台的高分别指什么? 提示:棱柱的高是指两底面之间的距离;棱锥的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足之间的距离;棱台的高是指两底面之间的距离. 4 3.一个几何体的平面展开图一定相同吗?其表面积是否确定? 提示:不同的展开方式,几何体的平面展开图不一定相同;表面积是各个面的面积和,几何体的平面展开方法可能不同,但其表面积唯一确定. 4.棱柱、棱锥、棱台的体积与这些几何体的哪些量有关? 提示:它们的体积与这些几何体的底面积和高有关. 5 关键能力·合作学习 一：棱柱、棱锥、棱台的表面积(数学运算) 【题组训练】 1.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16, 侧棱长为10,则该棱台的侧面积为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.80 B.240 C.320 D.640 2.已知长方体全部棱长的和为36,表面积为52,则其体 对角线的长为 (　　) A.4 B. C.2 D.4 6 3.已知正六棱柱的高为2,底面边长为1,则该正六棱柱的表面积为　　　　.  7 【解析】1.选B.作出一个侧面等腰梯形的高,也是棱台的斜高,则由等腰梯形的 性质, 可得斜高h′= =8.再用棱台侧面积公式,得棱台的侧面积为S侧= ×(4+16)×8×3=240. 8 2.选B.设长方体的长,宽,高分别为x,y,z, 则 可得体对角线的长为 3.正六棱柱的高为2,底面边长为1,所以正六棱柱的底由6个全等的等边三角形 构成.则正六棱柱的侧面积为S侧=6×1×2=12,正六棱柱的底面积为S底=2×6× ×1×1×sin 所以正六棱柱的表面积为S表=12+3 . 答案:12+3 9 【解题策略】 关于棱锥、棱台的表面积 能直接求各个面的面积的可直接求出面积相加,计算时要注意构造直角三角形,直角梯形,如图四棱锥,四棱台中的直角三角形,直角梯形. 10 【补偿训练】 长方体的体对角线长为2 ,长、宽、高的比为3∶2∶1,那么它的表面积为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.44 B.88 C.64 D.48 【解析】选B.设长、宽、高分别为3x,2x,x,则体对角线长为 所以x=2. 所以表面积S=2(6x2+3x2+2x2)=88. 11 练习 1. 正六棱台的上，下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积. 解：如图示，AB=6cm，A′B′=2cm，AA′=5cm. 因此，正六棱台的表面积为 A D B C F E A' D' B' C' F' E' 我们以前已经学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式，它们分别是： Ｖ正方体＝a3（a是正方体的棱长） Ｖ长方体＝abc（a，b，c分别是长方体的长、宽、高） 二：棱柱、棱锥、棱台的体积 13 棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离. 　　一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为h，那么这个棱柱的体积 特别的，直棱柱的侧棱垂直于底面，故侧棱长即为直棱柱的高. 14 　　如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍． 　　因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积 15 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离. 　　因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积 16 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离. 　　由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式 其中S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高.         17 (S′, S, h分别是棱台的上下底面积和高) A D B C A′ B′ C′ D′ O O′ P 棱台体积公式的证明 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？                         19 21 22 23 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 求圆锥的表面积应注意侧面展开图，底面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． 1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式； 2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积； 3.数学建模：运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题. 1. 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积 2.圆柱、圆锥、圆台、球的体积。 (1)公式法 (2)等积法 (3)补体法 (4)分割法 求几何体体积 的常用方法 24 例2 如图8.3-2，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多 少立方米(精确到0.01 m)? (计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度) 解：由已知，这个漏斗的容积为 ( m) $$