3.2双曲线讲义- -2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

双曲线讲义 一、定义 ①焦点在 轴上的双曲线 平面内两个定点: 动点 满足: 则 化简得: 其中 (双曲线 最大) 这就是双曲线的标准方程 1 我们称 和 为双曲线的两个焦点 和 为双曲线的 (实) 顶点 : 焦距, : 实轴长, : 虚轴长 渐近线: 记忆方法: 令 离心率: 注意 1：如果不添绝对值 (1) 若 ,此时动点 的轨迹为双曲线的右支 (2) 若 ,此时动点 的轨迹为双曲线的左支 注意 2：如果 , 则 ,所以 和 三点共线 (1) ,此时动点 的轨迹为 的延长线 (2) ,此时动点 的轨迹为 的延长线 注意3：如果 , 则 , 所以动点 不可能存在 ②焦点在 轴上的双曲线 平面内两个定点: 动点 满足: 则 化简得: 其中 (双曲线 最大) 这就是双曲线的标准方程 2 我们称 和 为双曲线的两个焦点 和 为双曲线的 (实) 顶点 : 焦距, : 实轴长, : 虚轴长 渐近线: 记忆方法: 令 离心率: 注意 1：如果不添绝对值 (1) 若 ,此时动点 的轨迹为双曲线的上支 (2) 若 ,此时动点 的轨迹为双曲线的下支 注意 2：如果 , 则 ,所以 和 三点共线 (1) ,此时动点 的轨迹为 的延长线 (2) ,此时动点 的轨迹为 的延长线 注意 3：如果 , 则 , 所以动点 不可能存在 二、等轴双曲线: ,也即 等轴双曲线的离心率为 ,渐近线方程为: (互相垂直) 三、通径 我们称 为双曲线的通径长 四、双曲线焦点到渐近线的距离 考虑双曲线焦点 ,渐近线 按照点到直线的距离公式得到: 所以双曲线焦点到渐近线的距离为虚半轴长 五、双曲线顶点到渐近线的距离 考虑双曲线顶点 ,渐近线 按照点到直线的距离公式得到: 六、焦半径的范围 假设双曲线: 右支上面有一个动点 ,双曲线的两个焦点为 , ,则 , 证明: 由于 ,所以 同理, 七、关于双曲线的焦点三角形 ,其中 在双曲线上) ① 若 ,则 证明: 由余弦定理得到: 假设点 在双曲线的右支,由定义得: 两边平方得到: 所以 所以 所以 ②焦点三角形的面积公式 若 ,则 ③焦点三角形的内切圆圆心轨迹 设 为双曲线: 右支上的一个动点, 则 的内切圆圆心 的轨迹为无端点线段 和 也即: 如下图: 证明: 假设 为内切圆在三边的切点 则 在 轴上 由于 所以 又因为 所以 又因为 所以 所以 在双曲线右支上 又因为 在 轴上 所以 为双曲线的右顶点(a,0) 又因为 轴 所以 在直线 上 又双曲线 的渐近线为 又由于 所以结合图形知: 的内切圆圆心 的轨迹为无端点线段 和 , 也即: ,证毕! ④椭圆与双曲线共焦点问题 设椭圆: ,双曲线: 则椭圆与双曲线有公共焦点 和 ,设椭圆和双曲线在第一象限内的交点为 ,椭圆的 离心率为 ,双曲线的离心率为 ,证明: 证明: 在 中,用余弦定理得: 所以 所以 所以 因为 所以 八、中点弦问题 (点差法) 设 都在双曲线: 的中点为 ,坐标原点为 ,且直线 的斜率都存在,分别为 和 ,证明: 证明: 设 ,则 两式作差得到: 平方差因式分解得到: 所以 又由于 所以 九、 过双曲线焦点的弦 过双曲线: 的右焦点 任意作一条直线,交双曲线于 两点,其中 在第一象限, 在第四象限,直线 的倾斜角为 ,分别求出 若设 ,直线 的斜率为 ,双曲线离心率为 , 则 且 解: 设双曲线的左焦点为 ,连接 ,则 在 中,应用余弦定理得到: 所以 解得 ,同理 所以 且 所以 ，所以 ，所以 学科网（北京）股份有限公司 $$