第七章第二节空间点、直线、平面之间的位置关系讲义-2025届高三数学一轮专题复习

新高考数学一轮复习 第七章　立体几何与空间向量 _____________________________________________________________________________________________________ 第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 一、课标要求 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义． 2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题． 二、 命题规律及备考策略 本节内容是高考命题的热点，重点关注异面直线的判定和成角问题、空间点线面的位置关系问题．对于空间几何体的点、线、面 的位置关系，除了题目难度逐步提升，还增加了截面问题，对考生的空间想象能力要求有所提升，需要考生有更强大的逻辑推理能力．高考对空间点、直线、平面的位置关系的考查，主要涉及平面的基本性质，空间两直线平行、垂直、异面，两异面直线所成的角等知识点，多以选择、填空题的形式呈现． 三、知识梳理 知识点1：四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据 推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据 （2）此推论是判定若干平面重合的依据 （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面； 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据 （2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点） （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 知识点2：直线与直线的位置关系 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面 图形 符号 a∥b 公共点个数 1 0 0 特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内 知识点3：直线与平面的位置关系 位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线） 图形 符号 ∥ 公共点个数 无数个 1 0 知识点4：平面与平面的位置关系 位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直 图形 符号 ∥ ， 公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 知识点5：等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 四、课堂考点突破 考点一　基本事实及应用 [例1]　（多选）如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（　　） A.B，B1，O，M四点共面 B.A，M，O，A1四点共面 C.A，O，C，M四点共面 D.A，M，O三点共线 变式训练 1.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过（　　） A.点A　　　　　　　　B.点B C.点C但不过点M　　D.点C和点M 2.（多选）下列说法中正确的是（　　） A.空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面 B.平行四边形可以确定一个平面 C.若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等 D.若A∈α，A∈β，且α∩β＝l，则A在l上 考点二　空间位置关系的判断 [例2]　（多选）已知A，B是不在平面α内的任意两点，则下列说法正确的是（　　） A.在平面α内存在直线与直线AB异面 B.在平面α内存在直线与直线AB相交 C.存在过直线AB的平面与平面α垂直 D.在平面α内存在直线与直线AB平行 变式训练 3.（多选）如图圆台O1O2，A是上底圆周上的点，B是下底圆周上的点，则下列说法正确的是（　　） A.任意两条母线所在直线都共面 B.上、下底中任意两条直径都平行 C.圆台轴O1O2与任一条母线所在直线都相交 D.直线AB与轴O1O2相交 考点三　异面直线所成的角 [例3]　如图，在底面为正方形、侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（　　） A.　　B. C.　　D. 变式训练 4.在正方体ABCD􀆼A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为（　　） A.　　B. C.　　D. 答案：C 考点四　截面交线问题 [例4]　已知ABCD－A1B1C1D1是正方体，在图1中，E，F分别是D1C1，B1B的中点，画出图1、图2中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明. 变式训练 5.（多选）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上（异于端点），则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形（截面）可能是（　　） A.矩形　　　B.菱形 C.正方形　　D.梯形 6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行.若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为　　　　. 五、课后作业 一、单项选择题 1．若直线上有两个点在平面外，则(　　) A．直线上至少有一个点在平面内 B．直线上有无穷多个点在平面内 C．直线上所有点都在平面外 D．直线上至多有一个点在平面内 2．已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知平面α∩平面β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且B∉l，又AC∩l＝M，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是(　　) A．直线CM B．直线BM C．直线AB D．直线BC 4.如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 5．四边形ABCD是矩形，AB＝3AD，点E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BEFC重合，则直线ED，BF所成角α在旋转过程中(　　) A．逐步变大 B．逐步变小 C．先变小后变大 D．先变大后变小 6．在正四棱锥P－ABCD中，AB＝2，E，F，G分别为AB，PC，AD的中点，直线BF与EG所成角的余弦值为，则三棱锥P－EFG的体积为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　　) A．C1，M，O三点共线 B．C1，M，O，C四点共面 C．C1，O，B1，B四点共面 D．D1，D，O，M四点共面 8．在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝，AD＝BC＝AC＝BD＝，则(　　) A．AB⊥CD B．三棱锥A－BCD的体积为 C．三棱锥A－BCD外接球的半径为 D．异面直线AD与BC所成角的余弦值为 三、填空题 9．已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点．若α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________． 10.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对． 11．(2023·南阳模拟)如图，AB和CD是异面直线，AB＝CD＝3，E，F分别为线段AD，BC上的点，且＝＝，EF＝，则AB与CD所成角的大小为________． 12．如图，在底面为正方形的棱台ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱CC1，BB1，CF，AF的中点，对空间任意两点M，N，若线段MN与线段AE，BD1都不相交，则称点M与点N可视，下列与点D不可视的为________．(填序号) ①B1；②F；③H；④G. 四、解答题 13.已知ABCD是空间四边形，如图所示(M，N，E，F分别是AB，AD，BC，CD上的点)． (1)若直线MN与直线EF相交于点O，证明：B，D，O三点共线； (2)若E，N为BC，AD的中点，AB＝6，DC＝4，NE＝2，求异面直线AB与DC所成角的余弦值． 14.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点． (1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由； (2)若PC＝2，求三棱锥P－ACE的体积． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第七章　立体几何与空间向量 _____________________________________________________________________________________________________ 第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 一、课标要求 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义． 2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题． 二、 命题规律及备考策略 本节内容是高考命题的热点，重点关注异面直线的判定和成角问题、空间点线面的位置关系问题．对于空间几何体的点、线、面 的位置关系，除了题目难度逐步提升，还增加了截面问题，对考生的空间想象能力要求有所提升，需要考生有更强大的逻辑推理能力．高考对空间点、直线、平面的位置关系的考查，主要涉及平面的基本性质，空间两直线平行、垂直、异面，两异面直线所成的角等知识点，多以选择、填空题的形式呈现． 三、知识梳理 知识点1：四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据 推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据 （2）此推论是判定若干平面重合的依据 （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面； 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据 （2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点） （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 知识点2：直线与直线的位置关系 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面 图形 符号 a∥b 公共点个数 1 0 0 特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内 知识点3：直线与平面的位置关系 位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线） 图形 符号 ∥ 公共点个数 无数个 1 0 知识点4：平面与平面的位置关系 位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直 图形 符号 ∥ ， 公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 知识点5：等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 四、课堂考点突破 考点一　基本事实及应用 [例1]　（多选）如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（　　） A.B，B1，O，M四点共面 B.A，M，O，A1四点共面 C.A，O，C，M四点共面 D.A，M，O三点共线 [答案]　BCD [解析]　对于A，连接AO，A1C1，AC，如图： 在长方形A1B1C1D1中，由O为对角线B1D1的中点，则A1C1∩B1D1＝O， 则平面ACC1A1∩平面AB1D1＝AO， 由M∈平面AB1D1，M∈A1C⊂平面ACC1A1，则M∈AO， 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1⊂平面ABB1A1，由AO∩平面ABB1A1＝A， 所以BB1与MO异面，故A错误； 对于B，由选项A可知：M∈AO，A1C1∩B1D1＝O，易知A，M，O，A1⊂平面ACC1A1，故B正确； 对于C，由选项A可知：M∈AO，A1C1∩B1D1＝O，易知A，M，O，C⊂平面ACC1A1，故C正确； 对于D，由选项A可知：M∈AO，故D正确. 变式训练 1.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过（　　） A.点A　　　　　　　　B.点B C.点C但不过点M　　D.点C和点M 答案：D 解析：因为AB⊂γ，M∈AB，所以M∈γ. 又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β. 根据基本事实3可知，M在γ与β的交线上. 同理可知，点C也在γ与β的交线上， 所以γ与β的交线必经过点C和点M. 2.（多选）下列说法中正确的是（　　） A.空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面 B.平行四边形可以确定一个平面 C.若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等 D.若A∈α，A∈β，且α∩β＝l，则A在l上 答案：BD 解析：对于A，两两相交的三条直线，若相交于同一点，则不一定共面，故A不正确； 对于B，平行四边形两组对边分别平行，则平行四边形是平面图形，故B正确； 对于C，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故C不正确； 对于D，由基本事实3可得，若A∈α，A∈β，α∩β＝l，则A∈l，故D正确. 考点二　空间位置关系的判断 [例2]　（多选）已知A，B是不在平面α内的任意两点，则下列说法正确的是（　　） A.在平面α内存在直线与直线AB异面 B.在平面α内存在直线与直线AB相交 C.存在过直线AB的平面与平面α垂直 D.在平面α内存在直线与直线AB平行 [答案]　AC [解析]　当AB∥α时，在平面α内不存在直线与直线AB相交，所以B不正确； 当直线AB与平面α相交时，在平面α内不存在直线与直线AB平行，所以D不正确； 当直线AB与平面α相交或平行时，在平面α内均存在直线与直线AB异面，且均存在过直线AB的平面与平面α垂直，所以A，C正确. 变式训练 3.（多选）如图圆台O1O2，A是上底圆周上的点，B是下底圆周上的点，则下列说法正确的是（　　） A.任意两条母线所在直线都共面 B.上、下底中任意两条直径都平行 C.圆台轴O1O2与任一条母线所在直线都相交 D.直线AB与轴O1O2相交 答案：AC 解析：由圆台的定义可知，A，C正确. 考点三　异面直线所成的角 [例3]　如图，在底面为正方形、侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（　　） A.　　B. C.　　D. [答案]　D [解析]　连接BC1，易证BC1∥AD1， 则∠A1BC1（或其补角）即为异面直线A1B与AD1所成的角. 连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2， 则A1C1＝，A1B＝BC1＝， 故cos∠A1BC1＝＝. 则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为. 变式训练 4.在正方体ABCD􀆼A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为（　　） A.　　B. C.　　D. 答案：C 解析：取DD1的中点N，连接AN，MN，CN， 则MN∥AB，MN＝AB，所以四边形ABMN是平行四边形， 所以AN∥BM，所以∠NAC（或其补角）是异面直线BM与AC所成的角. 设正方体的棱长为1，则AC＝，AN＝CN＝， 则cos∠NAC＝＝＝. 所以异面直线BM与AC所成角的余弦值为. 考点四　截面交线问题 [例4]　已知ABCD－A1B1C1D1是正方体，在图1中，E，F分别是D1C1，B1B的中点，画出图1、图2中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明. [解]　在图1中，过点E作EN∥B1B交CD于点N，连接NB并延长交EF的延长线于点M，连接AM，则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线. 在图2中，过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M，连接BM，则BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线. 证明如下：在图1中，因为直线EN∥BF，所以B，N，E，F四点共面，因此EF与BN相交，交点为M.因为M∈EF，且M∈NB，而EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点.又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点，故AM为两平面的交线； 在图2中，C1M在平面DCC1D1内，因此C1M与DC的延长线相交，交点为M，则点M为平面A1C1B与平面ABCD的公共点，又点B是这两个平面的公共点，因此直线BM是两平面的交线. 变式训练 5.（多选）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上（异于端点），则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形（截面）可能是（　　） A.矩形　　　B.菱形 C.正方形　　D.梯形 答案：ABD 解析：当BE＝CF时，截面是矩形；当2BE＝CF时，截面是菱形；当BE＞CF时，截面是梯形；截面不可能是正方形. 6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行.若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为　　　　. 答案： 解析：如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于M，过点M作BD的平行线，交C1D1于N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α， 由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点， 故BD＝2，MN＝， 且BM＝DN＝. 设等腰梯形MNDB的高为h， 则h＝＝， ∴梯形MNDB的面积为 ×（＋2）×＝. 五、课后作业 一、单项选择题 1．若直线上有两个点在平面外，则(　　) A．直线上至少有一个点在平面内 B．直线上有无穷多个点在平面内 C．直线上所有点都在平面外 D．直线上至多有一个点在平面内 答案　D 解析　根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内． 2．已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内． 3．已知平面α∩平面β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且B∉l，又AC∩l＝M，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是(　　) A．直线CM B．直线BM C．直线AB D．直线BC 答案　B 解析　已知过A，B，C三点确定的平面为γ，则AC⊂γ.又AC∩l＝M，则M∈γ，又平面α∩平面β＝l，则l⊂α，l⊂β，又因为AC∩l＝M，所以M∈β，因为B∈β，B∈γ，所以β∩γ＝BM. 4.如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如图，取AC的中点D，连接DC1，BD，易知AM∥DC1， 所以异面直线AM与BC1所成角就是直线DC1与直线BC1所成的角，即∠BC1D， 因为直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，可设三棱柱的棱长都为2，则DC1＝， BD＝，BC1＝2， 则在△BDC1中，由余弦定理可得cos∠BC1D＝＝， 即异面直线AM与BC1所成角的余弦值为. 5．四边形ABCD是矩形，AB＝3AD，点E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BEFC重合，则直线ED，BF所成角α在旋转过程中(　　) A．逐步变大 B．逐步变小 C．先变小后变大 D．先变大后变小 答案　D 解析　由题可知初始时刻ED与BF所成的角为0，如图1，故B，C错误； 图1 在四边形AEFD绕EF旋转过程中，EF⊥DF，EF⊥FC，DF∩FC＝F，DF，FC⊂平面DFC， 所以EF⊥平面DFC，EF⊂平面EFCB， 所以平面DFC⊥平面EFCB， 故D在平面BCFE内的投影P一直落在直线CF上，如图2， 图2 所以一定存在某一时刻EP⊥BF，而DP⊥平面EFCB，DP⊥BF， 又DP∩PE＝P，DP，PE⊂平面DPE， 所以BF⊥平面DPE， 此时DE与BF所成的角为，然后α开始变小， 故直线ED，BF所成角α在旋转过程中先变大后变小，故A错误，D正确． 6．在正四棱锥P－ABCD中，AB＝2，E，F，G分别为AB，PC，AD的中点，直线BF与EG所成角的余弦值为，则三棱锥P－EFG的体积为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　连接BD，DF，AC，CG，CE，如图， 设BF＝DF＝x，由BD∥EG，得∠FBD即为BF与EG所成的角， 在△FBD中，易知BD＝2，cos∠FBD＝＝，解得x＝. 设PB＝PC＝y，在△PFB中，2＋3－2·cos∠PFB＝y2，① 因为∠PFB＋∠BFC＝180°，故cos∠BFC＝cos(180°－∠PFB)＝－cos∠PFB， 则在△BCF中，2＋3－2·cos∠BFC＝4， 即2＋3＋2·cos∠PFB＝4，② ①＋②得＋6＝y2＋4，因为y>0，解得y＝2. 因为F为PC的中点，故V三棱锥P－EFG＝V三棱锥C－EFG＝V三棱锥F－ECG， 因为PA2＋PC2＝AC2，PA＝PC， 所以△PAC为等腰直角三角形， 则在等腰直角三角形PAC中，易求得点P到AC的距离即点P到底面的距离为＝， 故点F到平面CEG的距离为， S△ECG＝S▱ABCD－S△AEG－S△CDG－S△CEB＝2×2－×1×1－×2×1－×1×2＝4－－1－1＝， 故所求三棱锥的体积为××＝. 二、多项选择题 7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　　) A．C1，M，O三点共线 B．C1，M，O，C四点共面 C．C1，O，B1，B四点共面 D．D1，D，O，M四点共面 答案　AB 解析　∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1， ∴O∈平面ACC1A1. ∵O∈BD，BD⊂平面C1BD，∴O∈平面C1BD， ∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，同理可得，点M和点C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，∴点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，故A，B正确；根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线，故C1，O，B1，B四点不共面，故C不正确；根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线，故D1，D，O，M四点不共面，故D不正确。 8．在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝，AD＝BC＝AC＝BD＝，则(　　) A．AB⊥CD B．三棱锥A－BCD的体积为 C．三棱锥A－BCD外接球的半径为 D．异面直线AD与BC所成角的余弦值为 答案　ABD 解析　将三棱锥补形为长方体，如图所示． 其中BE＝BN＝1， BF＝2， 所以AB＝CD＝， AD＝BC＝AC＝BD＝， 连接MF，则AM∥BF，AM＝BF， 所以四边形AMFB为平行四边形， 所以AB∥MF， 又四边形MCFD为正方形，所以MF⊥CD， 所以AB⊥CD，故A正确； 长方体的体积V1＝1×1×2＝2， 三棱锥E－ABC的体积V2＝V三棱锥A－BEC＝××1×2×1＝， 同理，三棱锥N－ABD，三棱锥F－BCD，三棱锥M－ACD的体积也为， 所以三棱锥A－BCD的体积V＝2－4×＝，故B正确； 长方体的外接球的直径为＝， 所以长方体的外接球的半径为， 长方体的外接球也是三棱锥A－BCD的外接球， 所以三棱锥A－BCD外接球的半径为，故C错误； 连接MN，交AD于点O，因为MN∥BC，所以∠AOM(或其补角)为异面直线AD与BC所成的角， 由已知OA＝AD＝， OM＝MN＝，AM＝2， 所以cos∠AOM＝＝－， 所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为，故D正确． 三、填空题 9．已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点．若α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________． 答案　P∈l 解析　∵m⊂α，n⊂β，m∩n＝P， ∴P∈α且P∈β，又α∩β＝l， ∴点P在直线l上，即P∈l. 10.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对． 答案　3 解析　画出该正方体的直观图如图所示， 易知异面直线有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF)．故共有3对． 11．(2023·南阳模拟)如图，AB和CD是异面直线，AB＝CD＝3，E，F分别为线段AD，BC上的点，且＝＝，EF＝，则AB与CD所成角的大小为________． 答案　60° 解析　在平面ABD中，过E作EG∥AB，交DB于点G，连接GF，如图， ∵＝，∴＝， 又＝，∴＝， 则GF∥CD， ∴∠EGF(或其补角)即为AB与CD所成的角， 在△EGF中，EG＝AB＝2，GF＝CD＝1， EF＝， ∴cos∠EGF＝＝－， ∴∠EGF＝120°， ∴AB与CD所成角的大小为60°. 12．如图，在底面为正方形的棱台ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱CC1，BB1，CF，AF的中点，对空间任意两点M，N，若线段MN与线段AE，BD1都不相交，则称点M与点N可视，下列与点D不可视的为________．(填序号) ①B1；②F；③H；④G. 答案　①②③ 解析　如图所示，连接B1D1，BD，DB1，EF，DE，DH，DF，DG，因为E，F分别为棱CC1，BB1的中点，所以EF∥BC， 又底面ABCD为正方形， 所以BC∥AD，所以EF∥AD， 所以四边形EFAD为梯形，所以DH与AE相交，DF与AE相交，故②③不可视； 因为B1D1∥DB，所以四边形B1D1DB是梯形， 所以B1D与BD1相交，故①不可视； 因为EFAD为梯形，G为CF的中点， 即G∉EF，则D，E，G，A四点不共面， 所以DG与AE不相交， 若DG与BD1相交，则D，B，G，D1四点共面， 显然D，B，B1，D1四点共面，G∉平面DBB1D1， 所以D，B，G，D1四点不共面，即假设不成立， 所以DG与BD1不相交，即点G与点D可视，故④可视． 四、解答题 13.已知ABCD是空间四边形，如图所示(M，N，E，F分别是AB，AD，BC，CD上的点)． (1)若直线MN与直线EF相交于点O，证明：B，D，O三点共线； (2)若E，N为BC，AD的中点，AB＝6，DC＝4，NE＝2，求异面直线AB与DC所成角的余弦值． (1)证明　因为M∈AB，N∈AD， AB⊂平面ABD，AD⊂平面ABD， 所以MN⊂平面ABD， 因为E∈CB，F∈CD，CB⊂平面CBD，CD⊂平面CBD，所以EF⊂平面CBD， 由于直线MN与直线EF相交于点O， 即O∈MN，O∈平面ABD， O∈EF，O∈平面CBD， 又平面ABD∩平面CBD＝BD，则O∈BD， 所以B，D，O三点共线． (2)解　连接BD，作BD的中点G，并连接GN，GE，如图所示， 在△ABD中，点N，G分别是AD和BD的中点，且AB＝6， 所以GN∥AB，且GN＝AB＝3， 在△CBD中，点E，G分别是BC和BD的中点，且DC＝4， 所以GE∥CD，且GE＝DC＝2， 则异面直线AB与DC所成的角等于直线GE与GN所成的角，即∠EGN或∠EGN的补角， 又NE＝2，由余弦定理得 cos∠EGN＝＝＝>0， 故异面直线AB与DC所成角的余弦值为. 14.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点． (1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由； (2)若PC＝2，求三棱锥P－ACE的体积． 解　(1)存在．当G为PA的中点时满足条件． 如图，连接GE，GD，则GE是△PAB的中位线， 所以GE∥AB. 又AB∥DC，所以GE∥DC， 所以G，E，C，D四点共面． (2)因为E是PB的中点， 所以V三棱锥P－ACE＝V三棱锥B－ACE＝V三棱锥P－ACB. 又S△ABC＝AB·AD＝×2×1＝1， V三棱锥P－ACB＝PC·S△ABC＝， 所以V三棱锥P－ACE＝. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$