3.2.1双曲线及其标准方程第一课时课件 -2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.1 双曲线及其标准方程 第一课时 问题引入 平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于｜｜）的点的轨迹叫做椭圆. 问题引入 平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于｜｜）的点的轨迹叫做椭圆. 点M的轨迹是椭圆 问题引入 平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？ 问题引入 如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？ 当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是双曲线. , 线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q , , 双曲线 双曲线的定义 一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）． 这两个定点叫做双曲线的焦点（focus）. 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距（focus distance）. 焦距的一半称为半焦距． F1 F2 M 双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常数（小于｜F1F2｜）的点的轨迹是什么？ 双曲线的一支 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（等于｜F1F2｜）的点的轨迹是什么？ 分别以F1,F2为端点的两条射线 双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于0的点的轨迹是什么？ 线段F1F2的垂直平分线 双曲线的标准方程 类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？ F1 F2 M x y O F2 F1 M x y O 双曲线的标准方程 以经过双曲线两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系Oxy． 解：双曲线可看作点集P＝{M|||MF1| |MF2||＝2a}． 设M( x，y )是双曲线上任意一点，|F1F2|=2c， 则有F1（-c，0），F2(c，0). 因为||MF1| |MF2||＝2a ，且2a <2c. 所以 ① 化简得 ② ②式两边同时除以得 ③ F1 F2 M x y O 双曲线的标准方程 由双曲线的定义可知，2c>2a>0，即c>a>0，所以 令， 那么方程 可化为 ④ 方程② 方程④ 同解 点M(x,y)在双曲线上 (x,y)满足方程④ 双曲线的标准方程 双曲线的标准方程 叫做双曲线的标准方程. 它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是F1（-c，0），F2(c，0)的双曲线. 双曲线的标准方程 焦点在x轴上的双曲线标准方程： 焦点在y轴上的双曲线标准方程： 双曲线标准方程的特点： 1.方程的右边是常数1； 2.方程的左边是差的形式，每一项的分子是 x2，y2，分母是两个正数. 焦点位置看正负，焦点跟着正的走 定 义 方 程 焦 点 a.b.c的关系 F（±c，0） F（±c，0） c2=a2+b2 a>0，b>0， C最大 但a不一定大于b， ||MF1|－|MF2||=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭 圆 双曲线 F（0，±c） F（0，±c） a>b>0，a2=b2+c2 a>c>0 ，a最大 双曲线与椭圆的区别与联系 14 典型例题 例1 已知双曲线的两个焦点坐标分别是F1 (－5，0)，F2 (5，0),双曲求双曲线的标准方程． 解：由题, c=10, =6，得a=3. 所以 因为双曲线焦点在x轴上. 所以，所求双曲线的标准方程为. 目标检测 1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，a=3 ，b=4 ； （2）焦点在x轴上，经过点，. （3）焦点为，，且经过点． 答案：（1） （2） （3） 定义 图象 方程 焦点 a.b.c 的关系 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|） F ( ±c, 0) 　 F(0, ± c) 课堂小结 课后作业 1.求证：双曲线与椭圆的焦点相同． 2.已知方程表示双曲线，求m的取值范围． 3.双曲线的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，求的值． 3.2.1 双曲线及其标准方程 第二课时 复习回顾 双曲线的定义： 双曲线的标准方程： 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）． 焦点在x轴上： 焦点在y轴上： 其中 求轨迹方程的步骤： 建设限代化 典型例题 例1 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为 340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 设炮弹爆炸点为P 点P（爆炸点）在靠近B处的双曲线的一支上 典型例题 例1 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为 340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． A B P x y O 解：以经过A,B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系Oxy． 设炮弹爆炸点P( x，y ) ， 则 所以a=340，c=400， =44400. 所以点P（炮弹爆炸点）的轨迹方程为 典型例题 例1 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为 340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 再增设一个观测点C，利用B,C（或A,C）两处测得的点P发出的信号时间差 确定点P所在另一双曲线的方程 点P的位置 联立方程组 典型例题 例2 如图，设A，B两点的坐标分别为．直线 相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程． 解: 设M(x,y). , 由题有. 化简，得到M的轨迹方程为. 点M的轨迹是除去 两点的双曲线． 典型例题 例2 如图，设A，B两点的坐标分别为．直线 相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程． M的轨迹方程为. 点M的轨迹是除去 两点的双曲线． 目标检测 1.相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线的方程． A B P x y O 解：以经过A,B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系Oxy． 设炮弹爆炸点P( x，y ) ， 则 所以a=510，c=700， =229900. 所以点P（炮弹爆炸点）的轨迹方程为 课堂小结 双曲线 定义法 双曲线的标准方程 动点满足的条件 变化中的不变性 直接法 课后作业 已知A，B两点的坐标分别是 ．直线AM，BM相交干点M，且它们的斜率之和是2，求点M的轨迹方程． Lavf59.16.100 Lavf59.16.100 $$