3．2．1 双曲线及其标准方程（七大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

3．2．1 双曲线及其标准方程 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 5 题型一：双曲线的定义 5 题型二：双曲线的标准方程 6 题型三：双曲线方程的充要条件 7 题型四：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 8 题型五：双曲线上两点距离的最值问题 8 题型六：双曲线上两线段的和差最值问题 9 题型七：求轨迹方程 10 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点诠释： 1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点二、双曲线的标准方程 标准方程的推导： 如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤． （1）建系设点 取过焦点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴 （2）建立直角坐标系． 设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是（），那么F1、F2的坐标分别是、．又设点M与、的距离的差的绝对值等于常数． （2）点的集合 由定义可知，双曲线就是集合： ． （3）代数方程 ∵， ∴ （4）化简方程 将这个方程移项，两边平方得： 化简得： 两边再平方，整理得： （以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．） 由双曲线定义，即c＞a，所以． 设，代入上式得： 即，其中 这就是双曲线的标准方程． 双曲线的标准方程： 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据 根据 ， ， ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 方程（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线． 当，时，双曲线的焦点在x轴上； 当，时，双曲线的焦点在y轴上． 知识点诠释： 1、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 2、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 3、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 4、对于双曲线，不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点三、求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 知识点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量．若两种类型都有可能，则需分类讨论． 【方法技巧与总结】 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积. 【典型例题】 题型一：双曲线的定义 【典例1-1】（2024·高二·广西梧州·阶段练习）若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（    ） A．3 B．12 C．15 D．3或15 【典例1-2】（2024·高二·重庆·阶段练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．线段 C．双曲线的一支 D．双曲线 【变式1-1】（2024·高二·贵州六盘水·阶段练习）已知定点，动点满足，则动点的轨迹为（   ） A．双曲线的上支 B．双曲线的下支 C．双曲线的左支 D．轴负半轴上的射线 【变式1-2】（2024·高二·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 【变式1-3】（2024·高二·山东菏泽·阶段练习）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-4】（2024·高二·广东深圳·期末）双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（    ） A．1 B．13 C．1或13 D．3 题型二：双曲线的标准方程 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 . 【典例2-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，写出的一个标准方程 ． 【变式2-1】（2024·高二·江苏常州·期中）已知双曲线与曲线有公共的渐近线，且经过点，则的方程为 . 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）经过点的双曲线的标准方程为 ． 【变式2-3】（2024·高二·全国·随堂练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 【变式2-4】（2024·高二·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为． (2)过点，且焦点在坐标轴上． 题型三：双曲线方程的充要条件 【典例3-1】（2024·高二·浙江·期中）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例3-2】（2024·高二·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【变式3-1】（2024·高二·河南鹤壁·开学考试）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高二·天津红桥·阶段练习）已知方程 表示双曲线，则m的取值范围为 （     ） A． B．或 C． D． 【变式3-3】（2024·高二·广西柳州·阶段练习）已知曲线.下列正确的是（   ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是两条直线 【变式3-4】（2024·高二·上海·期末）方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（　　） A．1 B．或1 C．或 D．或1 题型四：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别为，且双曲线上有一点使得，则点的坐标为 . 【典例4-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ． 【变式4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线：与椭圆：有公共的焦点，，且与在第一象限的交点为M，若的面积为1，则a的值为 ． 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点分别是，点在双曲线上，且线段经过焦点，，则的周长为 . 【变式4-3】（2024·高二·四川内江·阶段练习）设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为 . 【变式4-4】（2024·高二·上海·期末）已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左､右焦点，为的内心，若成立，则的值为 . 【变式4-5】（2024·高二·贵州贵阳·期末）双曲线的两个焦点为，为双曲线上一点，若，则的面积为 . 题型五：双曲线上两点距离的最值问题 【典例5-1】（2024·高二·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【典例5-2】（2024·高二·河南驻马店·阶段练习）已知定点，且，动点满足，则的最小值是 . 【变式5-1】（2024·湖北·一模）平面内，线段的长度为10，动点满足，则的最小值为 ． 【变式5-2】（2024·高三·浙江嘉兴·阶段练习）已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是 ． 题型六：双曲线上两线段的和差最值问题 【典例6-1】（2024·高三·湖北·阶段练习）已知双曲线：，F是双曲线C的右焦点，点A是双曲线C的左支上的一点，点B为圆D：上一点，则的最小值为 . 【典例6-2】（2024·高二·广东珠海·期末）已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是 . 【变式6-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，定点，点在双曲线的右支上运动，则的最小值等于 ． 【变式6-2】（2024·高二·江西抚州·阶段练习）已知、分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线的右顶点，过的直线与双曲线的右支交于、，两点(其中点在第一象限)，设点、分别为、的内心，则的取值范围是 ． 【变式6-3】（2024·高二·河南·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，实轴长为，渐近线为，，点在圆上，则的最小值为 ． 【变式6-4】（2024·高二·辽宁鞍山·期中）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，，则的最小值为 . 题型七：求轨迹方程 【典例7-1】（2024·高二·全国·课后作业）过曲线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则曲线的方程为 ． 【典例7-2】（2024·高二·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 【变式7-1】（2024·高二·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【变式7-2】（2024·高二·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【变式7-3】（2024·高二·广东广州·阶段练习）已知点为圆上的动点，点，延长至，使得，线段的垂直平分线交直线于点，记的轨迹为.则的方程为 . 【变式7-4】（2024·高二·全国·随堂练习）如图，在矩形中，把边AB分成n等份．在边的延长线上，的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，P在什么曲线上运动？    【变式7-5】（2024·高二·湖南岳阳·期中）（1）动点与定点的距离和M到定直线x=的距离的比是常数，求动点M的轨迹方程; （2）动点与定点的距离和M到定直线x=的距离的比是常数，求动点M的轨迹方程; （3）点与定点的距离和M到定直线x=的距离的比是常数（），求动点M的轨迹方程. 【变式7-6】（2024·高二·全国·课后作业）求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切； (3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3．2．1 双曲线及其标准方程 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 5 题型一：双曲线的定义 5 题型二：双曲线的标准方程 7 题型三：双曲线方程的充要条件 11 题型四：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 13 题型五：双曲线上两点距离的最值问题 16 题型六：双曲线上两线段的和差最值问题 18 题型七：求轨迹方程 23 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点诠释： 1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点二、双曲线的标准方程 标准方程的推导： 如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤． （1）建系设点 取过焦点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴 （2）建立直角坐标系． 设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是（），那么F1、F2的坐标分别是、．又设点M与、的距离的差的绝对值等于常数． （2）点的集合 由定义可知，双曲线就是集合： ． （3）代数方程 ∵， ∴ （4）化简方程 将这个方程移项，两边平方得： 化简得： 两边再平方，整理得： （以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．） 由双曲线定义，即c＞a，所以． 设，代入上式得： 即，其中 这就是双曲线的标准方程． 双曲线的标准方程： 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据 根据 ， ， ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 方程（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线． 当，时，双曲线的焦点在x轴上； 当，时，双曲线的焦点在y轴上． 知识点诠释： 1、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 2、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 3、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 4、对于双曲线，不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点三、求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 知识点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量．若两种类型都有可能，则需分类讨论． 【方法技巧与总结】 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积. 【典型例题】 题型一：双曲线的定义 【典例1-1】（2024·高二·广西梧州·阶段练习）若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（    ） A．3 B．12 C．15 D．3或15 【答案】C 【解析】因为双曲线方程为，所以，则， 设双曲线的左､右焦点分别为， 又点在双曲线的右支上，且， 所以，则. 故选：C. 【典例1-2】（2024·高二·重庆·阶段练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．线段 C．双曲线的一支 D．双曲线 【答案】C 【解析】根据题意，点，则， 若动点P满足，且， 则P的轨迹是以A，B为焦点双曲线的右支， 故选：C. 【变式1-1】（2024·高二·贵州六盘水·阶段练习）已知定点，动点满足，则动点的轨迹为（   ） A．双曲线的上支 B．双曲线的下支 C．双曲线的左支 D．轴负半轴上的射线 【答案】A 【解析】由定点且在y轴上，可得， 因为，即， 根据双曲线的定义得，点的轨迹为双曲线的上支. 故选：A. 【变式1-2】（2024·高二·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解析】 由题意知，，， ， 双曲线， 点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义得，， 故选：B. 【变式1-3】（2024·高二·山东菏泽·阶段练习）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， 所以，故， 由于， 所以. 故选：B 【变式1-4】（2024·高二·广东深圳·期末）双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（    ） A．1 B．13 C．1或13 D．3 【答案】B 【解析】是双曲线左支上的一点， 所以，解得：， 由双曲线定义可知，，所以13. 故选：B. 题型二：双曲线的标准方程 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【解析】可化为，其焦点为和， 所以双曲线焦点为和，即， 故设双曲线方程为， 因其过点，代入可得，解得或（舍去）， 故双曲线的方程为. 故答案为:. 【典例2-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，写出的一个标准方程 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以， 又因为，则，即， 又因为，所以， 解得， 当时，的一个标准方程为． 故答案为：（答案不唯一，满足即可）． 【变式2-1】（2024·高二·江苏常州·期中）已知双曲线与曲线有公共的渐近线，且经过点，则的方程为 . 【答案】 【解析】设,其中， 将代入得. 双曲线方程是，即. 故答案为：. 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）经过点的双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【解析】设双曲线的标准方程为， 代入点的坐标可得解得 所以双曲线的标准方程为． 故答案为： 【变式2-3】（2024·高二·全国·随堂练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 【解析】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得． 故所求双曲线的标准方程为：． （2）设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）可设双曲线的方程为， 则有解得 则双曲线的标准方程为． 【变式2-4】（2024·高二·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为． (2)过点，且焦点在坐标轴上． 【解析】（1）椭圆的两个焦点为、， 故该双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为， 令，即有，解得， 故有，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）设双曲线的方程为，． 因为点，在双曲线上， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为． 题型三：双曲线方程的充要条件 【典例3-1】（2024·高二·浙江·期中）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，所以方程表示双曲线； 若方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 【典例3-2】（2024·高二·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】C 【解析】当表示双曲线时，则， 而当时，表示的是双曲线， 所以是为双曲线方程的充要条件. 故选：C. 【变式3-1】（2024·高二·河南鹤壁·开学考试）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程表示双曲线， ，解得， 故的取值范围为， 故选：A. 【变式3-2】（2024·高二·天津红桥·阶段练习）已知方程 表示双曲线，则m的取值范围为 （     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解析】因为方程 表示双曲线，所以， 解得或. 故选：B 【变式3-3】（2024·高二·广西柳州·阶段练习）已知曲线.下列正确的是（   ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是两条直线 【答案】A 【解析】对于A，若，则化为，由，得， 因此曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，A正确； 对于B，若，则化为， 此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，B错误； 对于C，若，则化为，此时曲线C表示双曲线， 由得渐近线方程为，C错误； 对于D，，方程，若，方程不表示任何曲线，D错误． 故选：A 【变式3-4】（2024·高二·上海·期末）方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（　　） A．1 B．或1 C．或 D．或1 【答案】A 【解析】由已知得双曲线的焦距， ①当双曲线的焦点在x轴上时， 由题意可得，解方程可得或，但和不满足不等式，故无解； ②当双曲线的焦点在y轴上时， 由题意可得，解方程得或， 但当时不能满足，故， 综合①②可得， 故选：A． 题型四：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别为，且双曲线上有一点使得，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】由双曲线的方程，可得，则， 设，则，解得， 因为点在双曲线上，代入可得，解得，故. 故答案为：. 【典例4-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ． 【答案】12 【解析】方程化为，则，根据题意知 又， 所以，则的周长为． 故答案为：12 【变式4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线：与椭圆：有公共的焦点，，且与在第一象限的交点为M，若的面积为1，则a的值为 ． 【答案】 【解析】设，分别为左、右焦点，根据椭圆以及双曲线定义可得 所以，， 所以， 由余弦定理可得， 所以， 故， 因此的面积为， 解得． 故答案为：. 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点分别是，点在双曲线上，且线段经过焦点，，则的周长为 . 【答案】 【解析】 由双曲线的定义可得①，②， 两式相加得，即， 所以，故的周长为. 故答案为： 【变式4-3】（2024·高二·四川内江·阶段练习）设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为 . 【答案】3 【解析】由题意得双曲线中，，则其焦点坐标， 根据双曲线对称性，不妨假设点在第一象限， 设，其中， 因为，则， 根据勾股定理知， 即，解得（负舍）， 则，则面积为. 故答案为：3. 【变式4-4】（2024·高二·上海·期末）已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左､右焦点，为的内心，若成立，则的值为 . 【答案】/0.8 【解析】设的内切圆半径为， 由双曲线的定义得 由题意得， 故， 又双曲线的， 代入上式得：， 故答案为：. 【变式4-5】（2024·高二·贵州贵阳·期末）双曲线的两个焦点为，为双曲线上一点，若，则的面积为 . 【答案】3 【解析】双曲线，实轴长，焦距，由对称性不妨设， 由，有， 则， 解得，. 故答案为：3 题型五：双曲线上两点距离的最值问题 【典例5-1】（2024·高二·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设，且，， 又， 又或， 所以 即的最小值为，当点为双曲线左顶点时取最小值. 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高二·河南驻马店·阶段练习）已知定点，且，动点满足，则的最小值是 . 【答案】6 【解析】因为动点满足， 所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支， 则，即， 不妨设焦点在x轴上，则双曲线方程为， 左焦点为，右焦点为， 设，则， 所以， 所以的最小值是6， 故答案为：6 【变式5-1】（2024·湖北·一模）平面内，线段的长度为10，动点满足，则的最小值为 ． 【答案】2 【解析】因为，所以， 因此动点在以为焦点的双曲线的靠近点的一支上，且， 从而的最小值为 故答案为：2. 【变式5-2】（2024·高三·浙江嘉兴·阶段练习）已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】如下图所示： 在双曲线中，，，， 圆的圆心为，半径长为， 所以，双曲线的左、右焦点分别为、， 由双曲线的定义可得，， 所以，， 当且仅当为射线与圆的交点，且时，等号成立， 故的最小值是. 故答案为：. 题型六：双曲线上两线段的和差最值问题 【典例6-1】（2024·高三·湖北·阶段练习）已知双曲线：，F是双曲线C的右焦点，点A是双曲线C的左支上的一点，点B为圆D：上一点，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】双曲线：， ，设是双曲线的左焦点， 圆的圆心为，半径为. 根据双曲线的定义有， 由于是圆的一点，为定点， 所以当共线时，最小， 即最小值为， 所以的最小值为. 故答案为： 【典例6-2】（2024·高二·广东珠海·期末）已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是 . 【答案】/ 【解析】由题设知，，，，圆的半径 由点为双曲线右支上的动点知 ∴ ∴. 故答案为： 【变式6-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，定点，点在双曲线的右支上运动，则的最小值等于 ． 【答案】11 【解析】由在双曲线的右支上，则， 则，又，双曲线右焦点， 当、、三点共线时, 当、、三点不共线时, 所以 （当且仅当、、三点共线时取“” ． 故答案为：11． 【变式6-2】（2024·高二·江西抚州·阶段练习）已知、分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线的右顶点，过的直线与双曲线的右支交于、，两点(其中点在第一象限)，设点、分别为、的内心，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】如图所示，设的内切圆与、、分别切于点、、， 所以、、， 所以 ， 又因为， 所以，， 又，， 所以点和重合，即点的横坐标为， 同理得点的横坐标为. 设直线的倾斜角为，则，， ， 当时，； 当时，由得，，， 因为过的直线与双曲线的右支交于、， 所以且， 即或， 所以； 综上所述，. 故答案为：. 【变式6-3】（2024·高二·河南·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，实轴长为，渐近线为，，点在圆上，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由题意可得，可得，双曲线的渐近线方程为，故， 所以，双曲线的方程为，则， 因为，点在双曲线的右支上， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 如下图所示： 因为，. 当且仅当、、三点共线，且点在线段上时，取最小值. 故答案为：. 【变式6-4】（2024·高二·辽宁鞍山·期中）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，，则的最小值为 . 【答案】13. 【解析】由，得，所以双曲线的焦点坐标为， 由圆的方程知：圆圆心的坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 分别为两圆切线， ，， ， 为双曲线右支上的点，且双曲线焦点为，， 又（当为双曲线右顶点时取等号）， ， 即最小值为. 故答案为：. 题型七：求轨迹方程 【典例7-1】（2024·高二·全国·课后作业）过曲线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则曲线的方程为 ． 【答案】（且） 【解析】设，则过点的切线方程为，即， 所以，得， 则是此方程的两根，，，即， 故，得，而要满足题意需P在圆外，则， 即曲线的方程为（且）． 故答案为：(且) 【典例7-2】（2024·高二·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设，则， 又因为可得. 则点的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式7-1】（2024·高二·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】由点是线段垂直平分线上的点， ， 又， 满足双曲线定义且，， ， 轨迹方程：． 故答案为：． 【变式7-2】（2024·高二·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为，由动圆与圆，都外切，得， 则，因此点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 设方程为，则， 所以M的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式7-3】（2024·高二·广东广州·阶段练习）已知点为圆上的动点，点，延长至，使得，线段的垂直平分线交直线于点，记的轨迹为.则的方程为 . 【答案】 【解析】连接，如下图所示： 因为为的中点，所以， 由垂直平分线的性质可知：， 所以， 所以的轨迹是以为焦点且实轴长为的双曲线， 所以，所以， 所以轨迹方程为， 故答案为：. 【变式7-4】（2024·高二·全国·随堂练习）如图，在矩形中，把边AB分成n等份．在边的延长线上，的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，P在什么曲线上运动？    【解析】设，取所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 设第组对应直线与的交点为，且点在第一象限， 则，，，， 直线的方程为，① 直线的方程为，② 点坐标满足方程①②， ①②相乘得，即（点在第一象限）， 所以点在双曲线的右支上半部分上运动.     . 【变式7-5】（2024·高二·湖南岳阳·期中）（1）动点与定点的距离和M到定直线x=的距离的比是常数，求动点M的轨迹方程; （2）动点与定点的距离和M到定直线x=的距离的比是常数，求动点M的轨迹方程; （3）点与定点的距离和M到定直线x=的距离的比是常数（），求动点M的轨迹方程. 【解析】（1）由已知得， 整理得，即动点M的轨迹方程为； （2）由已知得， 整理得，即动点M的轨迹方程为； （3）由已知得， 整理得，，即动点M的轨迹方程为，. 【变式7-6】（2024·高二·全国·课后作业）求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切； (3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程. 【解析】（1）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为. （2）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为. （3）设，则，， 根据题意有， 化简得 ∴顶点的轨迹方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$3．2．1 双曲线及其标准方程 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 1.双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于非零常数(_____ |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 绝对值 小于 焦点 焦距 知识梳理 注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在. (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支. (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 知识梳理 2.双曲线的标准方程 标准方程 图形     03 典型例题 【典例1-1】（2024·高二·广西梧州·阶段练习）若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（    ） A．3 B．12 C．15 D．3或15 【答案】C 【解析】因为双曲线方程为，所以，则， 设双曲线的左､右焦点分别为， 又点在双曲线的右支上，且， 所以，则． 故选：C． 题型一：双曲线的定义 典型例题 【典例1-2】（2024·高二·重庆·阶段练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．线段 C．双曲线的一支 D．双曲线 【答案】C 【解析】根据题意，点，则， 若动点P满足，且， 则P的轨迹是以A，B为焦点双曲线的右支， 故选：C． 题型一：双曲线的定义 典型例题 【变式1-1】（2024·高二·贵州六盘水·阶段练习）已知定点，动点满足，则动点的轨迹为（   ） A．双曲线的上支 B．双曲线的下支 C．双曲线的左支 D．轴负半轴上的射线 【答案】A 【解析】由定点且在y轴上，可得， 因为，即， 根据双曲线的定义得，点的轨迹为双曲线的上支． 故选：A． 题型一：双曲线的定义 典型例题 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【解析】可化为，其焦点为和， 所以双曲线焦点为和，即， 故设双曲线方程为， 因其过点，代入可得，解得或（舍去）， 故双曲线的方程为． 故答案为：． 题型二：双曲线的标准方程 典型例题 【典例2-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，写出的一个标准方程 ． 【答案】 【解析】因为，所以，所以， 又因为，则，即， 又因为，所以，解得， 当时，的一个标准方程为． 故答案为：（答案不唯一，满足即可）． 题型二：双曲线的标准方程 典型例题 【变式2-1】（2024·高二·江苏常州·期中）已知双曲线与曲线有公共的渐近线，且经过点，则的方程为 ． 【答案】 【解析】设，其中， 将代入得． 双曲线方程是，即． 故答案为：． 题型二：双曲线的标准方程 典型例题 【典例3-1】（2024·高二·浙江·期中）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，所以方程表示双曲线； 若方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件． 故选：A 题型三：双曲线方程的充要条件 典型例题 【典例3-2】（2024·高二·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】C 【解析】当表示双曲线时，则， 而当时，表示的是双曲线， 所以是为双曲线方程的充要条件． 故选：C． 题型三：双曲线方程的充要条件 典型例题 【变式3-1】（2024·高二·河南鹤壁·开学考试）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程表示双曲线， ，解得， 故的取值范围为， 故选：A． 题型三：双曲线方程的充要条件 典型例题 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别为，且双曲线上有一点使得，则点的坐标为 ． 【答案】 【解析】由双曲线的方程，可得，则， 设，则，解得， 因为点在双曲线上，代入可得，解得，故． 故答案为：． 题型四：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 典型例题 【典例4-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ． 【答案】12 【解析】方程化为，则， 根据题意知 又， 所以， 则的周长为． 故答案为：12 题型四：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 典型例题 【变式4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线：与椭圆：有公共的焦点，，且与在第一象限的交点为M，若的面积为1，则a的值为 ． 【答案】 【解析】设，分别为左、右焦点，根据椭圆以及双曲线定义可得 所以，， 所以， 由余弦定理可得， 所以，故， 因此的面积为，解得． 题型四：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 典型例题 【典例5-1】（2024·高二·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设，且，， 又， 又或， 所以 即的最小值为，当点为双曲线左顶点时取最小值． 故答案为：． 题型五：双曲线上两点距离的最值问题 典型例题 【典例5-2】（2024·高二·河南驻马店·阶段练习）已知定点，且，动点满足，则的最小值是 ． 【答案】6 【解析】因为动点满足， 所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支， 则，即， 不妨设焦点在x轴上，则双曲线方程为， 左焦点为，右焦点为， 设，则， 所以， 所以的最小值是6 题型五：双曲线上两点距离的最值问题 典型例题 【变式5-1】（2024·湖北·一模）平面内，线段的长度为10， 动点满足，则的最小值为 ． 【答案】2 【解析】因为，所以， 因此动点在以为焦点的双曲线的靠近点的一支上，且， 从而的最小值为 故答案为：2． 题型五：双曲线上两点距离的最值问题 典型例题 【典例6-1】（2024·高三·湖北·阶段练习）已知双曲线：，F是双曲线C的右焦点，点A是双曲线C的左支上的一点，点B为圆D：上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】双曲线：， ，设是双曲线的左焦点， 圆的圆心为，半径为． 根据双曲线的定义有， 由于是圆的一点，为定点， 所以当共线时，最小， 即最小值为， 所以的最小值为． 题型六：双曲线上两线段的和差最值问题 典型例题 【典例6-2】（2024·高二·广东珠海·期末）已知双曲线：，，是其左右焦点．圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点， 则的最小值是 ． 【答案】 【解析】由题设知，，，，圆的半径 由点为双曲线右支上的动点知 ∴ ∴ ． 题型六：双曲线上两线段的和差最值问题 典型例题 【变式6-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，定点，点在双曲线的右支上运动，则的最小值等于 ． 【答案】11 【解析】由在双曲线的右支上，则， 则，又，双曲线右焦点， 当、、三点共线时， 当、、三点不共线时， 所以 （当且仅当、、三点共线时取“” ． 题型六：双曲线上两线段的和差最值问题 典型例题 【典例7-1】（2024·高二·全国·课后作业）过曲线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则曲线的方程为 ． 【答案】（且） 【解析】设，则过点的切线方程为， 即， 所以，得， 则是此方程的两根，， ，即， 故，得，而要满足题意需P在圆外，则， 即曲线的方程为（且）． 题型七：求轨迹方程 典型例题 【典例7-2】（2024·高二·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，则， 又因为可得． 则点的轨迹方程为． 故答案为：． 题型七：求轨迹方程 典型例题 【变式7-1】（2024·高二·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】由点是线段垂直平分线上的点， ， 又， 满足双曲线定义且，， ， 轨迹方程：． 故答案为：． 题型七：求轨迹方程 典型例题 【变式7-2】（2024·高二·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为，由动圆与圆，都外切，得， 则，因此点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 设方程为，则， 所以M的轨迹方程为． 题型七：求轨迹方程 典型例题 04 真题模拟题 真题模拟题 1．（2024年天津高考数学真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版））已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（     ） A． B．3 C． D．2 A A B －＝1(a>0，b>0)  －＝1(a>0，b>0) $$