18.1.2平行四边形判定（课件） 2023—2024学年人教版数学八年级下册

18.1.2平行四边形判定 　　如图，在▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O． 　　（1）已知 AB＝5，求 DC 的长； 　　（2）已知∠DAB＝120°，求∠BCD 的度数； 　　（3）已知 AC＝5，BD＝8.6，求 CO 和 BO 的长． A D B C O 　　解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，AB＝5， 　　∴DC＝AB＝5． 　　解：（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∠DAB＝120°， 　　∴∠BCD＝∠DAB＝120° ． 　　（3）∵四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC＝5，BD＝8.6， 　　∴CO＝ AC＝2.5，BO＝ BD＝4.3． 　　平行四边形的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分． A D B C O 思考 　　怎样判定一个四边形是平行四边形呢？ A B C D 四边形 ABCD 　　根据平行四边形的定义进行判定． 如果 AB∥CD， AD∥BC ▱ABCD B D A C 　　符号语言： 　　∵AB∥CD，AD∥BC， 　　∴四边形 ABCD 是平行四边形． 　　两组对边分别平行的四边形是平行四边形． A B C D 归纳 　　根据定义，可以判定一个四边形是不是平行四边形．除了平行四边形的定义，我们如何寻找其他的判定方法呢？ 问题 性质 判定 互逆 定理 等腰三角形 A B C 　　等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 　　如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 　　如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 题设 结论 　　由平行四边形的性质定理，逆向思考，写出它们的逆命题． 探究 平行四边形的性质 逆命题 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等 平行四边形的对角线互相平分 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 　　你能根据平行四边形的定义证明这些猜想吗？ 　　1．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 　　2．两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 　　3．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 猜想 　　由此可以得到判定平行四边形的三种方法： 　　猜想 1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 　　已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，BC＝AD． 　　求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 　　分析：要证明四边形 ABCD 是平行四边形，现在只有平行四边形的定义这一种方法，即必须证明 AB∥CD，AD∥BC． A B C D 　　猜想 1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 　　已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，BC＝AD． 　　求证：四边形 ABCD 是平行四边形． A B C D 　　证明：如图，连接 BD． 　　∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，∴△ABD≌△CDB． 　　∴∠ADB＝∠CBD，∠ABD＝∠CDB． 　　∴AD∥BC，AB∥CD． 　　∴四边形 ABCD 是平行四边形． 　　猜想 2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 　　已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠C，∠B＝∠D． 　　求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 　　证明：在四边形 ABCD 中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°． 　　∵∠A＝∠C，∠B＝∠D， 　　∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°． 　　∴AD∥BC，AB∥CD． 　　∴四边形 ABCD 是平行四边形． A B C D 　　猜想 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 　　已知：如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，且OA＝OC，OB＝OD． 　　求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 　　证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB， 　　∴△AOD≌△COB．∴∠OAD＝∠OCB． 　　∴AD∥BC． 　　同理 AB∥CD． 　　∴四边形 ABCD 是平行四边形． A B C D O 新知 　　平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理． 　　符号语言： 　　∵AB＝CD，AD＝BC， 　　∴四边形 ABCD 是平行四边形． 　　两组对边分别相等的四边形是平行四边形． A B C D 新知 　　平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理． 　　符号语言： 　　∵∠A＝∠C， ∠B＝∠D， 　　∴四边形 ABCD 是平行四边形． 　　两组对角分别相等的四边形是平行四边形． A B C D 新知 　　平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理． 　　符号语言： 　　∵AO＝CO，BO＝DO， 　　∴四边形 ABCD 是平行四边形． 　　对角线互相平分的四边形是平行四边形． A B C D O 　　例　如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 分别是 AC 上的两点，并且 AE＝CF． 　　求证：四边形 BFDE 是平行四边形． A B C D O E F A B C D O E F 　　证明（方法 1）：∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴AO＝CO，BO＝DO． 　　∵AE＝CF， 　　∴AO－AE＝CO－CF． 　　∴EO＝FO． 　　∵BO＝DO， 　　∴四边形 BFDE 是平行四边形． 　　你还有其他证明方法吗？ A B C D O E F 　　证明（方法 2）： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴AD＝BC， AD∥BC． 　　∴∠DAC＝∠BCA． 　　∵AE＝CF， 　　∴△AED≌△CFB． 　　∴ED＝FB． 　　同理 BE＝DF． 　　∴四边形 BFDE 是平行四边形． 　　在证明平行四边形时，若条件集中在对角线上，运用与对角线有关的判定定理解决问题相对简便，分析问题条件的特点，选择适当的判定定理，可以帮助我们获得简便的解题方法． 归纳 　　我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形．如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？ 问题 　　分析：根据平行四边形的性质，可知“如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等”．它的逆命题是“如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形”． 　　猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 　　你能证明这个猜想吗？ 思考 　　已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD． 　　求证：四边形 ABCD 是平行四边形． A B C D 　　分析：条件中已有 AB∥CD，只需证明 AD∥BC，利用平行四边形的定义进行判定． 　　证明：连接 AC． 　　∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA． 　　又∵AB＝CD，AC＝CA， 　　∴△ABC≌△CDA（SAS）． ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 　　∴AD∥BC． 　　∴∠ACB＝∠CAD， 　　已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD． 　　求证：四边形 ABCD 是平行四边形． A B C D 　　你还有其他证明方法吗？ 23 　　已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD． 　　求证：四边形 ABCD 是平行四边形． A B C D 　　分析：条件中已有 AB＝CD，只需证明 AD＝BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定． 24 　　证明：连接 AC． 　　∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA． 　　又∵AB＝CD，AC＝CA， 　　∴△ABC≌△CDA（SAS）． 　　∴四边形 ABCD 是平行四边形． 　　∴BC＝AD． 　　已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD． 　　求证：四边形 ABCD 是平行四边形． A B C D 25 新知 　　通过证明，我们又得到平行四边形的一个判定定理： 　　符号语言： 　　∵AB∥CD，AB＝CD， 　　∴四边形 ABCD 是平行四边形． 　　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． A B C D 思考 　　一组对边平行，另外一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请举例说明． 　　如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD，四边形 ABCD 是等腰梯形． 　　一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形． A B C D 思考 　　一组对边相等，一组对角相等的四边形一定是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请举例说明． 　　如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，∠B＝∠D，四边形 ABCD 不是平行四边形． 　　一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形． A B C D 问题 　　现在你有多少种判定一个四边形是平行四边形的方法？ 边 角 对角线 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 　　例1　如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 的中点．求证：四边形 AFCE 是平行四边形． A B C D F E 　　证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴ AD＝BC， AD∥BC，即 AE∥FC， 　　又∵E，F 分别是 AD，BC 的中点， 　　∴AE＝ AD， FC＝ BC， 　　∴AE＝FC， 　　∴四边形 AFCE 是平行四边形． 　　例2　如图，在四边形 ABCD 中， AE⊥BD 于点 E，CF⊥BD 于点 F，AE＝CF， BF＝DE，求证：四边形 ABCD 是平行四边形． A B C D E F 　　分析：方法 1：通过证明 AB∥CD，AD∥BC 证得结论； 　　方法 2：通过证明 AB＝CD，AD＝CB 证得结论； 　　方法 3：通过证明∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD 证得结论； 　　方法 4：通过证明 AB＝CD，AB∥CD 证得结论； 　　方法 5：连接另一条对角线 AC，交 BD 于点 O，通过证明 AO＝OC，BO＝OD 证得结论． A B C D E F 　　请选择你认为简便的方法进行证明． O A B C D E F 　　证明：∵BF＝DE， 　　∴BF－EF＝DE－EF，即BE＝DF． 　　∵AE⊥BD，CF⊥BD， 　　∴∠AEB＝∠CFD＝90°． 　　又∵AE＝CF， 　　∴△ABE≌△CDF． 　　∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF． 　　∴AB∥CD． 　　∴四边形 ABCD 是平行四边形． 归纳 巧选平行四边形的证明思路 已知条件 证明思路 一组对边相等 ①另一组对边也相等 ②相等的边也平行 一组对边平行 ①另一组对边也平行 ②平行的边也相等 一组对角相等 另一组对角也相等 对角线相交 对角线互相平分 　　铁匠师傅要把一块周长为 30 cm 的等边三角形铁皮，裁成四块形状大小完全相同的小三角形铁皮，你能帮助他想出办法吗？说说你的想法．你能求出每块小三角形铁皮的周长是多少吗？ A B C 　　每块小三角形铁皮的周长是 15 cm． 　　∴DE＝DF＝EF＝5 cm． 　　则 AD＝DB＝BF＝FC＝CE＝AE＝5 cm． 　　取 AB，AC，BC 的中点 D，E，F，连接 DE，EF，DF． 　　∵△ABC 是等边三角形， 　　∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°． 　　∴△ADE≌△DBF≌△EFC，且都是等边三角形． A B C D E F 　　∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△DEF． 　　如果是任意一块三角形铁皮，如何把它裁成四块形状大小完全相同的小三角形铁皮呢？每块小三角形铁皮和原三角形铁皮的周长有什么关系？ A B C F D E 　　取 AB，AC，BC 的中点 D，E，F，连接 DE，EF，DF． A B C D E 新知 　　如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，连接 DE．像 DE 这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 　　三角形的中位线满足的条件： 　　①是一条线段； 　　②连接三角形两边中点． 思考 　　一个三角形有几条中位线？ 　　一个三角形有三条中位线． 　　如图，在△ABC 中，若点 D，E，F 分别是 AB，AC，BC 的中点，则 DE，DF，EF 是△ABC 的中位线． F D E A B C 思考 　　三角形的中位线和中线一样吗？ 　　中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段，中位线是连接三角形两边中点的线段． 　　如图，在△ABC 中，若点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，则 CD，BE 是△ABC 的中线，DE 是△ABC 的中位线． D E A B C A B C D E 　　观察下图，你能发现△ABC 的中位线 DE 与边 BC 的位置关系吗？度量一下，DE 与 BC 之间有什么数量关系？ 　　猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 问题 59° 59° 3 6 　　DE∥BC，DE＝ BC． 　　你能证明这个猜想吗？ 问题 　　已知：如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点． 　　求证：DE∥BC，且 DE＝ BC． A B C D E 　　分析：本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半． A B C D E 　　将 DE 延长一倍后，可以将证明 DE＝ BC 转化为证明延长后的线段与 BC 相等． 　　又由于 E 是 AC 的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明． F 　　证明：如图，延长 DE 到点 F，使 EF＝DE，连接 FC，DC，AF． A B C D E F 　　∵AE＝CE，DE＝EF， 　　∴四边形 ADCF 是平行四边形，AD 　CF． || || 　　∴BD　 CF． || || 　　又∵DE＝ DF， 　　∴DE∥BC，且 DE＝ BC． 　　∴四边形 DBCF 是平行四边形，DF　 BC． || || 　　“　”表示平行且相等． || || 新知 　　三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． A B C D E 　　符号语言： 　　∵DE 是△ABC 的中位线， 　　∴DE∥BC，且 DE＝ BC． 提醒 　　三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：一是位置关系，可以证两直线平行；二是数量关系，可以证线段的倍分关系． 　　（1）已知△ABC 的面积是 S，顺次连接各边中点 D，E，F 所得的四个三角形的面积各是多少？ 练习 　　解：（1）∵由三角形的中位线定理，得 EF＝ AB＝AD，DF＝ AC＝AE． 　　又∵DE＝ED，∴△ADE≌△FED（SSS）． 　　同理 △FED≌△DBF，△FED≌△EFC． 　　∴S△ADE＝S△FED＝S△DBF＝S△EFC＝ S． F D E A B C 　　（2）如果△ABC 三边的长分别为 a，b，c，那么顺次连接各边中点 D，E，F 所得的四个三角形周长分别是多少？ 练习 　　解：（2）∵根据三角形的中位线定理，得 DE＝ a，EF＝ c，DF＝ b， 　　∴△DEF 的周长＝ a＋ b＋ c＝ (a＋b＋c)． 　　由（1）知△FED≌△ADE≌△DBF≌△EFC， 　　∴ △ADE，△DBF，△EFC 的周长也是 (a＋b＋c)． F D E A B C 归纳 　　一个三角形有三条中位线，这三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形．每个小三角形的周长都是原三角形周长的 ，每个小三角形的面积都是原三角形面积的 ． 　　例3　如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，DE＝4，AC＝10，求 AB 的长． 　　解：∵D，E 分别是边 AB，AC 的中点， 　　∴DE 是△ABC 的中位线． 　　又∵DE＝4， 　　∴BC＝8． 　　在Rt△ABC 中，AC＝10，BC＝8， 　　∴AB＝ ＝ ＝6． A B C D E 三角形的中位线定理的两个结论及四个应用 　　（1）两个结论： 　　 ①中位线与第三边的位置关系——互相平行； 　　 ②中位线与第三边的数量关系——中位线等于第三边的一半． 　　（2）四个应用： 　　 ①求线段的长度； ②证明线段相等或平行； 　　 ③求角的度数； ④证明线段的倍分关系． 归纳 　　例4　如图，为估计池塘两岸边 A，B 两点间的距离，在池塘的一侧选取点 O，分别取 OA，OB 的中点 M，N，测得 MN＝32 m，求 A，B 两点间的距离． 　　解：∵M，N 分别是边 OA，OB 的中点， 　　∴ MN 是△AOB 的中位线， 　　∴ AB＝2MN＝2×32＝64（m）． 归纳 距离、高不可测，中位线来帮忙 　　三角形中位线的有关知识，常用来解决以测量距离为背景的题目．解题时先把实际问题转化为数学问题，再分两步走：一定，依照三角形中位线的定义，确定哪条线段是三角形的中位线；二算，根据三角形的中位线定理中的“三角形的中位线等于第三边的一半”进行计算． 　　如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，EF 过点 O 且与 BC，AD 分别交于点 E，F．试猜想线段 AE，CF 的关系，并说明理由． 　　分析：因为 AE，CF 是四边形 AECF 的对边，所以要判断它们的关系，就要先判断四边形 AECF 的形状． 　　两条线段的关系包括位置关系和数量关系两种． 问题 　　解：AE 与 CF 平行且相等．理由如下： 　　∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴OA＝OC，AF∥EC， 　　∴∠OAF＝∠OCE． 　　在△OAF 和△OCE 中， 　　∴△OAF≌△OCE． 　　∴AF＝CE． 　　又∵AF∥CE， 　　∴四边形 AECF 是平行四边形． 　　∴AE∥CF，且 AE＝CF， 　　即 AE 与 CF 的关系是平行且相等． 性质、判定综合用，仔细分辨勿混淆 　　（1）利用平行四边形的性质与判定可解决以下问题：①求线段的长、证明线段相等或平行、证明线段的倍分关系．②求角的度数、证明角相等或互补等． 　　（2）利用平行四边形的性质与判定解决问题时，有时需要先证明一个四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质去解题． 归纳 　　如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，BC＝18 cm，CD＝15 cm，AD＝10 cm，AB＝12 cm，动点 P，Q 分别从点 A，C 同时出发，点 P 以 2 cm/s 的速度由 A 向 D 运动，点 Q 以 3 cm/s 的速度由 C 向 B 运动． 　　（1）几秒时，四边形 PQCD 为平行四边形？并求出此时四边形 PQCD 的周长． 　　（2）几秒时，四边形 ABQP 为平行四边形？并求出此时四边形 ABQP 的周长． 问题 　　分析：四边形中已有一组对边平行，结合点运动的速度让这组对边再相等，即可得平行四边形． 　　解：（1）设 x s 时，四边形 PQCD 为平行四边形， 　　∵PD∥CQ， 　　∴当 PD＝CQ 时，四边形 PQCD 为平行四边形， 　　∴10－2x＝3x．解得 x＝2． 　　∴2 s 时，四边形 PQCD 为平行四边形， 　　此时四边形 PQCD 的周长是 　　3×2×2＋15×2＝42（cm）． 　　解：（2）设 y s 时，四边形 ABQP 为平行四边形， 　　∵AP∥BQ， 　　∴当 AP＝BQ 时，四边形 ABQP 为平行四边形， 　　∴2y＝18－3y． 　　解得 y＝3.6． 　　∴3.6 s 时，四边形 ABQP 为平行四边形， 　　此时四边形 ABQP 的周长是 　　3.6×2×2＋12×2＝38.4（cm）． 化动为静，解决动点问题 　　解决动点问题的基本思路就是化“动”为“静”，要从“静”的角度去理解“动”的问题． 归纳 平行四边形的判定 对角线互相平分的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 $$