18.1.1平行四边形的性质（课件） 2023—2024学年人教版数学八年级下册

18.1.1平行四边形的性质 　　观察下列图片，从中能否找到平行四边形的形象？ 　　你知道什么样的图形叫做平行四边形吗？ 新知 　　定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． A B C D 　　平行四边形的定义可以看作是判定，也可以看作是性质，即两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行． 　　判定：∵AB∥CD，AD∥BC， 　　　　　∴四边形 ABCD 是平行四边形． 　　定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． A B C D 　　平行四边形的定义可以看作是判定，也可以看作是性质，即两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行． 　　性质：∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　　　　∴AB∥CD，AD∥BC． 新知 　　平行四边形用“▱”表示，如图， 平行四边形 ABCD 记作“▱ABCD”． 　　注意：当表示一个平行四边形时，字母要按照一定的顺序排列，顺时针、逆时针排列均可． A B C D 　　我们用符号“△”与三个顶点字母表示三角形，对于平行四边形，我们也有类似的表示方法吗？ 新知 A B C D 　　如图，_______________________________________________是▱ABCD 的四组邻边． 对边 邻边 有公共顶点的边 没有公共顶点的边 边 　　_____________________是▱ABCD 的两组对边． 　　平行四边形的基本元素： AB 和 AD，AD 和 CD，CD 和 BC，BC 和 AB AB 和 CD，AD 和 BC A B C D 　　如图，_______________________________________________是▱ABCD 的四组邻角． 对角 邻角 有公共边的角 没有公共边的角 角 　　______________________是▱ABCD 的两组对角． 　　平行四边形的基本元素： ∠B 和∠A，∠A 和∠D，∠D 和∠C，∠C 和∠B ∠B 和∠D，∠A 和∠C 问题 　　由平行四边形的定义，我们知道平行四边形的两组对边分别平行．除此之外，平行四边形还有什么性质呢？ A B C D 探究 　　根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？ A B C D 　　AB＝CD，AD＝BC； 65° 115° 65° 115° 　　∠B＝∠D，∠A＝∠C． 探究 　　根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？ 　　猜想：平行四边形的对边相等； 　　　　　平行四边形的对角相等． 　　思考：你能证明这些猜想吗？ A B C D 　　猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等． 　　已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形． 　　求证：AB＝CD，AD＝CB，∠A＝∠C，∠B＝∠D． A B C D 　　分析：猜想涉及线段相等、角相等．我们知道，利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角都相等，是证明线段相等、角相等的一种重要的方法．为此，我们通过添加辅助线，构造两个三角形，通过三角形全等进行证明． A B C D 　　证明：如图，连接 BD． 　　∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴AD∥BC，AB∥CD． 　　∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD． 　　∴∠ABD＋∠CBD＝∠ADB＋∠CDB． 　　即∠ABC＝∠ADC． 　　又∵BD＝DB， 　　∴△ABD≌△CDB （ASA）． 　　∴∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD． 思考 　　不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？ 　　∴AD∥BC，AB∥CD． 　　证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴ ∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°． A B C D 　　∴ ∠B＝∠D． 　　同理可证明∠A＝∠C． 　　符号语言： 　　∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴AB＝CD，AD＝CB，∠A＝∠C，∠B＝∠D． A B C D 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等． 新知 　　例1　如图，在▱ABCD 中， 　　（1）若∠B＝40°，求其余三个角的度数； 　　（2）若 AD＝8，▱ABCD 的周长为 24，求其余三条边的长度． 　　解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∠B＝40°， 　　∴∠D＝∠B＝40°，∠A＝∠C，AB∥CD， 　　∴∠A＝∠C＝180°－40°＝140°． A B C D 　　例1　如图，在▱ABCD 中， 　　（1）若∠B＝40°，求其余三个角的度数； 　　（2）若 AD＝8，▱ABCD 的周长为 24，求其余三条边的长度． 　　解：（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，AD＝8， 　　∴BC＝AD＝8，AB＝CD， 　　∵▱ABCD 的周长为 24， 　　∴BC＋AD＋AB＋CD＝24． 　　∴2AB＝2CD＝24－8×2＝8． 　　∴AB＝CD＝4． A B C D 总结 在平行四边形中，可“知一求三” 　　 在平行四边形中，已知一个内角的度数，利用平行四边形的性质，可以求出其余三个内角的大小． 　　例2　如图，在▱ABCD 中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为 E，F．求证 AE＝CF． A B C D E F 　　解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴AD＝CB，∠A＝∠C， 　　∵DE⊥AB，BF⊥CD， 　　∴∠AED＝∠CFB ＝90°． 　　∴△AED≌△CFB （AAS）． 　　∴AE＝CF． 　　DE＝BF 吗？ 　　相等，理由如下： 　　如图，直线 a∥b，c∥d，c，d 与 a，b 分别相交于 A，B，C，D 四点，AB 和 CD 相等吗？为什么？ 问题 　　∵AB∥CD，AC∥BD， 　　∴AB＝CD（平行四边形的性质）． 　　∴四边形 ABDC 是平行四边形（平行四边形的定义）． A C B D a b c d 　　两条平行线之间的任何两条平行线段都相等． 　　∴根据两条平行线之间的任何两条平行线段都相等，得 AB＝CD． 　　如图，如果直线 a∥b，c⊥b，d⊥b，那么 AB 和 CD 相等吗？ 思考 　　∴c∥d，即 AB∥CD． 　　∵c⊥b，d⊥b， 　　∵AC∥BD， A C B D a b c d 　　如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等． 　　如图，a∥b，A 是 a 上的任意一点，AB⊥b，B 是垂足，线段 AB 的长就是 a，b 之间的距离． 　　两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．两条平行线之间的距离处处相等． B A b a 新知 　　点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础，它们本质上都是点与点之间的距离． 　　两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？ 思考 　　任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度． G 　　例3　如图，直线 a∥b，点 A，E，F 在直线 a 上，点 B，C，D 在直线 b 上，BC＝EF．求证 S△ABC＝S△DEF． A D a b B C E F 　　证明：如图，作 AG⊥b，DH⊥a，垂足分别为点 G，H． 　　则 S△ABC＝ BC·AG，S△DEF＝ EF·DH． 　　∵a∥b，AG⊥b，DH⊥a， 　　∴AG＝DH． 　　又∵BC＝EF， 　　∴S△ABC＝S△DEF ． H 总结 　　两条平行线之间的距离处处相等，这一性质有着广泛的应用．平行四边形的高、桥宽、路宽等都是指两条平行线之间的距离． 　　有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 　　1．平行四边形的定义是什么？ 　　2．平行四边形的边、角有哪些性质？ 　　平行四边形的对边平行且相等； 　　平行四边形的对角相等． 　　上节课我们研究了平行四边形的边、角这两个基本要素的性质，本节课我们研究平行四边形对角线的性质． 问题 A B C D O 　　如图，在▱ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O，OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系？ OA＝OC，OB＝OD． O 为 AC 的中点 O 为 BD 的中点 AC 与 BD 互相平分 　　猜想：平行四边形的对角线互相平分． 　　你能证明这个猜想吗？ 　　猜想：平行四边形的对角线互相平分． 　　已知：如图，▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O． 　　求证：OA＝OC，OB＝OD． A B C D O 　　证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴ AB∥CD，AB＝CD， 　　∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO． 　　∴△AOB≌△COD（ASA）， 　　∴OA＝OC，OB＝OD． 新知 　　符号语言： 　　∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD． 平行四边形的对角线互相平分． A B C D O 　　例　如图，在▱ABCD 中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC．求 BC，CD，AC，OA 的长，以及▱ABCD 的面积． A B C D O 　　解： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝10，OA＝OC． 　　∵AC⊥BC， 　　∴△ABC 是直角三角形． 　　根据勾股定理，AC＝ ＝ ＝6． 　　∵OA＝OC，∴OA＝ AC＝3． 　　∴S▱ABCD＝BC·AC＝8×6＝48． 　　用 S 表示面积时，常在它的下脚注上所求面积的图形标记，例如 S▱ABCD 表示▱ABCD 的面积． 问题 　　如图，在▱ABCD 中，O 为对角线 AC，BD 的交点，则△AOB 与△AOD 的面积的大小关系是什么？ E 　　解：如图，过点 A 作 AE⊥BD 于点 E． 　　∵在▱ABCD 中，O 为对角线 AC，BD 的交点， 　　∴OB＝OD． 　　∵S△AOB＝ AE·OB，S△AOD＝ AE·OD， 　　∴S△AOB＝S△AOD． A B C D O △AOB≌△COD 　　还有哪些三角形的面积和△AOB 与△AOD 的面积相等？ S△AOB＝S△COD △AOD≌△COB S△AOD＝S△COB S△AOB＝S△AOD＝S△COD＝S△COB A B C D O 问题 归纳 　　两条对角线把平行四边形分成四个三角形，它们的面积都相等，且相对的两个三角形全等． △ABD≌△CDB 思考 　　图中还有其他面积相等的三角形吗？ A B C D O S△ABD＝S△CDB △ACD≌△CAB S△ACD＝S△CAB 　　△CDB 与△ACD 是两个同底等高的三角形． ＝ 　　△ABD 与▱ABCD 的面积的大小关系是什么？ △ABD≌△CDB 思考 　　图中还有其他面积相等的三角形吗？ S△ABD＝S△CDB △ACD≌△CAB S△ACD＝S△CAB ＝ A B C D O S▱ABCD＝ S△ABD＋S△CDB S△ABD＝ S▱ABCD 　　（1）平行四边形的每一条对角线都可以将平行四边形分为两个全等的三角形． 　　（2）等底等高的平行四边形与三角形面积间的关系：三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 归纳 　　平行四边形的对边平行且相等； 　　平行四边形的对角相等； 　　平行四边形有哪些性质？ 　　平行四边形的对角线互相平分． 类型一、利用平行四边形的性质求角的度数 　　1．如图，在▱ABCD 中，∠B＝120°，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F．求∠ADE，∠EDF，∠FDC 的度数． 　　解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∠B＝120°， 　　∴∠A＝∠C＝180°－∠B＝60°． 　　∵DE⊥AB，DF⊥BC， 　　∴∠ADE＝∠FDC＝90°－60°＝30°． 　　∵∠ADC＝∠B＝120°， 　　∴∠EDF＝120°－30°－30°＝60°． 39 平行四边形性质的作用 　　（1）利用边的性质可以证明对边平行或对边相等； 　　（2）利用角的性质可以证明对角相等或邻角互补； 　　（3）利用对角线的性质可以证明线段相等或线段的倍分关系． 归纳 类型二、利用平行四边形的性质求线段的长 　　2．如图，在▱ABCD 中，AB＝3，BC＝5，以点 B 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 BA，BC 于点 P，Q，再分别以点 P，Q 为圆心，以大于 PQ 的长为半径作弧，两弧在∠ABC 内交于点 M，连接 BM 并延长交 AD 于点 E，则 DE 的长为____________． 2 41 　　解析：由作图过程可知，BE 平分∠ABC， 　　∴∠ABE＝∠EBC． 　∵四边形 ABCD 为平行四边形， 　∴AD∥BC，AD＝BC＝5． 　∴∠AEB＝∠EBC． 　∴∠ABE＝∠AEB． 　∴AE＝AB＝3． 　∴DE＝AD－AE＝5－3＝2． A C D B E “平行线＋角平分线”的基本模型 归纳 　　如图，若已知 AB∥CD，CE 平分∠ACD，则易证△ACE 是一个等腰三角形． 　　这个基本模型在平行线、三角形、平行四边形等有关知识中求边、角运算时，应用非常广泛． 类型三、利用平行四边形的性质进行推理论证 　　3．如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E，F，连接 EC． 　　（1）求证：OE＝OF． 　　分析：（1）根据平行四边形的性质，可得 OA＝____，OB＝____，AD∥____，AB∥____，因此要证 OE＝OF，只需证明______________________________________全等即可． OC OD BC CD △AOE和△COF（或△BOE和△DOF） 　　证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴OD＝OB，DC∥AB． 　　∴∠FDO＝∠EBO． 　　在△DFO 和△BEO 中， 　　∴△DFO≌△BEO（ASA）． 　　∴OE＝OF． 　　3．如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E，F，连接 EC． 　　（2）若 EF⊥AC，△BEC 的周长是 10，求▱ABCD 的周长． 　　分析：（2）要求▱ABCD 的周长，需求___________和___________的长，由 EF⊥AC且 EF 平分 AC 可得，EF 是 AC 的_________线，再利用其性质可把△BEC 的周长 10 转化为线段_____和_____的和． AB（或CD） BC（或AD） 垂直平分 AB BC 　　解：（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC． 　　∵EF⊥AC， 　　∴AE＝CE． 　　∵△BEC 的周长是 10， 　　∴BC＋BE＋CE＝BC＋BE＋AE＝BC＋AB＝10． 　　∴▱ABCD 的周长为 2(BC＋AB)＝20． 平行（四边形）全等（三角形）不分家 　　利用平行四边形的性质可得等角和等边，进而由等角和等边证明相关三角形全等，这是平行四边形中证明等量关系的常用方法和思路． 归纳 类型四、与平行四边形的面积相关的计算题 　　4．如图，E 是▱ABCD 内任意一点，若▱ABCD 的面积是 6，连接点 E 与▱ABCD 的四个顶点，求图中阴影部分的面积． 　　分析：阴影部分的面积就是△ADE 和△BCE 的面积之和，找到这两个三角形的底和高与▱ABCD 的底和高的关系，就能求出阴影部分的面积． A B C D E 　　解：如图，过点 E 作 MN⊥BC 于点 N，交 AD 于点 M． A B C D E M N 　　∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴BC∥AD，且 BC＝AD，则 NM⊥AD． 　　∵S△ADE＝ AD·EM，S△BCE＝ BC·EN， 　　∴S阴影＝S△ADE＋S△BCE＝ AD·EM＋ BC·EN ＝ BC·(EM＋EN)＝ BC·MN． 　　又∵▱ABCD 的面积是 6，即 S▱ABCD＝BC·MN＝6， 　　∴S阴影＝ BC·MN＝ ×6＝3． 　　平行四边形的对边平行，因此，一组对边之间的垂线段的长就是这两边之间的距离，这是平行四边形面积计算中确定高的常用方法．同时还可得出一个结论：此题中，无论点 E 在平行四边形内的什么位置，阴影部分的面积都等于平行四边形面积的一半． 归纳 类型五、平行四边形中的折叠问题 　　5．如图，将▱ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在点 B′ 处，若∠1＝∠2＝44°，求∠B 的度数． 　　解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴AB∥CD， 　　∴∠ACD＝∠BAC． 　　由折叠的性质，得 ∠BAC＝∠B′AC， 　　∴∠ACD＝∠BAC＝∠B′AC＝ ∠1＝22°， 　　∴∠B＝180°－∠2－∠ACD＝114°． 抓住本质巧解平行四边形折叠问题 　　折叠问题的实质是轴对称，因此，通过图形的折叠可得等角和等边，再结合平行四边形的性质，即可解决边或角的求值问题． 归纳 题目 类型 利用平行四边形的性质求角的度数 利用平行四边形的性质求线段的长 利用平行四边形的性质进行推理论证 平行四边形中的折叠问题 与平行四边形的面积相关的计算题 平行四边形性质的综合应用 $$