4.3　解直角三角形课件 2024-2025学年 湘教版数学九年级上册

九年级 上册 湘教版 数学 4.3　解直角三角形 - 第4章 锐角三角函数 4.3　解直角三角形 目标突破 总结反思 第4章　锐角三角函数 例1 (教材补充例题)在Rt△ABC中,根据下列条件,可求三角形其他元素的是 (　　) A.已知a=5,∠C=90° B.已知∠B=48°,∠C=90° C.已知a=5,∠B=48° D.已知∠B=48°,∠A=42° 目标一　能理解解直角三角形的定义与依据 C 解析 目标突破 [解析] A项,已知一边和一角,一角是直角,Rt△ABC不可解,不符合题意; B项,没有一条边,Rt△ABC不可解,不符合题意; C项,已知一边和一角,一角不是直角,Rt△ABC可解,符合题意; D项,没有一条边,Rt△ABC不可解,不符合题意. 解析 目标突破 归纳 解直角三角形的条件和依据 (1)解直角三角形的前提条件:直角三角形. (2)解直角三角形的依据:(在Rt△ABC中,∠C=90°) ①边角之间的关系: 解析 目标突破 ②三边关系:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理). ③锐角之间的关系:∠A+∠B=90°. 归纳 解析 目标突破 例2 (1)(教材例1针对训练)在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,a=6,∠B=30°,解这个直角三角形; 目标二　会解直角三角形 解析 目标突破 解析 目标突破 图4-3-1 解析 目标突破 归纳 解直角三角形的类型与解法 (1)解直角三角形的基本方法: 图形 已知条件 解法步骤 在Rt△ABC中, ∠C=90° 两 边 两直角边(a,b) ①由tanA= , 求∠A; ②∠B=90°-∠A; ③c= 解析 目标突破 图形 已知条件 解法步骤 在Rt△ABC中, ∠C=90° 两 边 斜边与一直 角边(如c,a) ①由sinA= , 求∠A; ②∠B=90°-∠A; ③b= 归纳 解析 目标突破 图形 已知条件 解法步骤 在Rt△ABC中, ∠C=90° 一边一角 一直 角边 和一 锐角 一锐角一邻 边(如∠A,b) ①∠B=90°-∠A; ②a=b·tanA; ③c= 一锐角一对 边(如∠A,a) ①∠B=90°-∠A; ②b= ; ③c= 归纳 解析 目标突破 图形 已知条件 解法步骤 在Rt△ABC中, ∠C=90° 一边一角 斜边和一 锐角(如c,∠A) ①∠B=90°-∠A; ②a=c·sinA; ③b=c·cosA (2)计算边时,可按照“有斜用弦,无斜用切”的原则,即若与斜边有关,则使用正、余弦;若与斜边无关,则使用正切. 归纳 解析 目标突破 例3 目标三　会把非直角三角形转化为直角三角形求解 图4-3-2 解析 目标突破 归纳 作辅助线构造直角三角形常用的方法 (1)作高把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形; (2)作高把平行四边形或梯形转化为含直角三角形的图形; (3)连接对角线把矩形、菱形转化为含直角三角形的图形. 解析 目标突破 小结 1.解直角三角形的定义与依据:在直角三角形中,除直角外有5个元素(即3条边、2个锐角),只要知道其中的2个元素(至少有1个是　　　),就可以求出其余的3个未知元素.我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.  边 解析 总结反思 如图4-3-3,在Rt△ABC中,∠C=90°,设三个内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则解直角三角形的主要依据是: (1)三条边之间的关系:a2+b2=c2; (2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°; 图4-3-3 解析 总结反思 2.解直角三角形的方法: (1)解直角三角形时,已知一个锐角及邻边,可用　　　求出斜边,用　　　求出对边;  (2)解直角三角形时,已知一个锐角及对边,可用　　　求出斜边,用正切求出邻边;  (3)解直角三角形时,已知两边,可用勾股定理求出第三边,用正切求出锐角. [注意] 解直角三角形时,尽量使用原始数据,使计算更精确. 余弦 正切 正弦 解析 总结反思 反思 分析下列解题过程是否正确,若不正确,请指出错误的原因,并给出正确的解题过程. 图4-3-4 解析 总结反思 图4-3-4 解:解题过程不正确.错误原因是符合条件的几何图形不是唯一的,遗漏了一种情形. 正解:情形(1)见题中所给解题过程.情形(2)如下: 如图,过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D, ∴∠ADC=90°. 解析 总结反思 解析 总结反思 谢 谢 观 看！ sinA=;cosA=;tanA=;sinB=;cosB=;tanB=. 解:∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∴∠A=90°-∠B=60°. ∵tanB=, ∴b=a·tanB=6·tan30°=6×=2. ∵cosB=,∴c==6×=4, ∴∠A=60°,b=2,c=4. (2)(教材补充例题)在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,a=5,b=5,解这个直角三角形; 解:∵c2=a2+b2=52+(5)2=25+75=100,∴c=10. ∵tanA=, ∴∠A=30°,∴∠B=90°-∠A=60°, ∴∠A=30°,∠B=60°,c=10. (3)(教材补充例题)如图4-3-1,在△ABC中,∠C=90°,AB=13, sinB=.求AC,BC的长. 解:在Rt△ABC中, ∵sinB=,AB=13, ∴AC=5, ∴BC==12. (教材补充例题)(2022临清期中)如图4-3-2,在△ABC中,∠C=30°,AC=12,sinB=,求BC的长. 解:如图,过点A作AD⊥BC于点D,则∠ADB=∠ADC=90°. ∵∠C=30°,sinC=,cosC=, ∴AD=AC·sinC=12sin30°=6,DC=AC·cosC=12cos30°=6. ∵sinB=,∴AB==6×=10, ∴BD==8, ∴BC=BD+DC=8+6. (3)边角之间的关系:sinA=cosB=,cosA=sinB=,tanA=. 问题:在△ABC中,∠A=30°,BC=,AC=2,求AB的长. 解:如图4-3-4,作出符合题意的几何图形,过点C作CD⊥AB于点D,∴∠ADC=∠BDC=90°. ∵sinA=,且AC=2,∴CD=. 在Rt△CDB中,由勾股定理,得BD=. ∵∠A=30°,AC=2, ∴AD=AC·cosA=3, ∴AB=AD+BD=3+. ∵sinA=,且AC=2,∴CD=. 在Rt△BDC中,由勾股定理,得BD=. ∵∠A=30°,AC=2, ∴AD=AC·cosA=3, ∴AB=AD-BD=3-. 综合情形(1)与(2),得AB的长为3+或3-. $$