第二章 二次函数 综合素质评价 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

第二章 二次函数 综合素质评价 一、选择题(每题3分，共30分) 1. 下列函数是二次函数的是(　　) A．y＝ B．y＝－x C．y＝x2＋2 D．y＝x－2 2．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为(　　) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1 C．y＝(x＋2)2－1 D．y＝(x－2)2－1 3. 下列抛物线中，开口向下且开口最大的是(　　) A．y＝－x2 B．y＝－x2 C．y＝x2 D．y＝－x2 4．已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是(　　) A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2 5. 观察表格，可确定一元二次方程x2－x－1＝0的一个近似解x的取值范围是(　　) x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 x2－x－1 －0.44 －0.25 －0.04 0.19 0.44 A．1.4<x<1.5 B．1.5<x<1.6 C．1.6<x<1.7 D．1.7<x<1.8 6. 一次函数y＝mx＋m和二次函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是(　　) 7. 生物学研究表明：在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值y(单位：IU)与温度t(单位：℃)的关系可以近似用二次函数y＝－t2＋14t＋142来表示．则当温度为最适宜时，该种酶的活性值为(　　) A．14 B． C．240 D．44 8. 如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图，蝴蝶剪纸是轴对称图形，若以这个蝴蝶图案的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，图中点E，F关于y轴对称，其中点E的坐标为(3n－4，m＋1)，点F的坐标为(n2，2m)，若点E到x轴的距离小于它到y轴的距离，则二次函数y＝x2＋nx＋m图象的顶点坐标是(　　) A．(－2，－3) B．(2，－3) C．(－，) D．(－，)或(2，－3) 9. 抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为，抛物线与y轴的交点位于x轴上方．以下结论正确的是(　　) A．a<0 B．c<0 C．a－b＋c＝－2 D．b2－4ac＝0 10. 若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A(1，3)，B(－2，－6)，C(0，0)等都是“三倍点”．在－3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝－x2－x＋c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是(　　) A．－≤c＜1 B．－4≤c＜－3 C．－＜c＜5 D．－4≤c＜5 二、填空题(每题4分，共32分) 11. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A，B，对称轴为直线x＝－1，则m＝________． 12．若点A，B，C在抛物线y＝－2x2＋8x＋c上，则y1，y2，y3的大小关系是________． 13．若抛物线y＝(a＋1)x2－2x＋3与x轴有交点，则整数a的最大值是________． 14. 对于二次函数y＝－x2＋2ax，当x＞1时，y随x的增大而减小，那么a的取值范围为________． 15. 一个二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是________． 16. 如图是某抛物线形的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为y＝－x2＋10，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面AB高为8 m的点E，F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离EF为________m. 17. 某校积极推行“互动生成的学本课堂”，九年级某学习小组在操作实践过程中发现了一个有趣的问题：将直尺和三角尺(三角尺足够大，直尺足够长)按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，直尺的左侧边CD在直线x＝4上，在保证直角三角尺其中一条直角边始终过点A(0，4)，同时使得直角顶点E在直线CD上滑动，三角尺的另一直角边与x轴交于点B，则OB的最小值为____________． 18．如图，将抛物线y＝x2－2x－3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图象C1，当直线y＝x＋b与图象C1恰有两个公共点时，b的取值范围是________________________． 三、解答题(19，20题每题10分，23题14分，其余每题12分，共58分) 19．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … －1 0 2 4 … y … －5 1 1 m … (1)求这个二次函数的表达式； (2)求这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值． 20．已知抛物线y＝x2－(m－3)x－m. (1)求证：无论m取何值，抛物线都与x轴有两个交点． (2)m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离等于3? 21. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产 背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式. ◆因工艺需要，每名工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件. ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装总件数相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：①“风”服装：24元/件；②“正”服装：48元/件；③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元. 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数/人 每人每天加工量/件 平均每件获利/元 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究 任务 任务1 探寻变量关系 求x，y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 22．如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东30°方向上，继续行驶1 500 m后到达B处，测得桥头C在南偏东60°方向上，桥头D在南偏东45°方向上，求大桥CD的长度．(结果精确到1 m，参考数据：≈1.73) 23．如图，直线y＝－x＋2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B，C两点，与x轴另一个交点为点A． (1)求抛物线的表达式． (2)点P为第一象限抛物线上一动点，请你确定一点P，使点P到直线BC的距离最大，求出点P的坐标及点P到直线BC距离的最大值． (3)在(2)的结论下，此抛物线上是否存在点Q，使得以点Q，B，C为顶点的三角形与△PBC面积相等？若存在，请直接写出符合的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 答案 一、1.C　2.B　3.B　4.B　5.C　6.D　7.C　8.B　9.C 10．D　点拨：由题意可得，三倍点都在直线y＝3x上， 在－3<x<1的范围内，二次函数y＝－x2－x＋c的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在－3<x<1的范围内，y＝－x2－x＋c和y＝3x至少有一个交点． 令3x＝－x2－x＋c，整理得－x2－4x＋c＝0， 则Δ＝b2－4ac＝2－4××c＝16＋4c≥0，解得c≥－4， x＝＝－2±， ∴x1＝－2＋，x2＝－2－. ∴－3<－2＋<1或－3<－2－<1. 当－3<－2＋<1时，－1<<3，即0≤<3，解得－4≤c<5； 当－3<－2－<1时，－3<<1，即0≤<1，解得－4≤c<－3. 综上，c的取值范围是－4≤c<5. 二、11.－5　12.y1<y3<y2　13.－2　14.a≤1 15．y＝－x2＋1(答案不唯一)　16.10 17．3　点拨：过点A(0，4)作AF⊥CD于点F， ∴∠AFE＝90°，DF＝4.∴∠FAE＋∠AEF＝90°. 易知∠AEB＝90°，∴∠DEB＋∠AEF＝90°. ∴∠FAE＝∠DEB. ∵∠AFE＝∠EDB＝90°，∴△AFE∽△EDB. ∴＝. ∵AF＝4，DE＝DF－EF＝4－EF，∴＝. ∴BD＝＝. ∴当EF＝2时，BD有最大值，最大值为1. ∵OB＋BD＝OD，∴OB的最小值为4－1＝3. 18．b>或－3<b<1　点拨：当y＝0时，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3， ∴A，B. 由y＝x2－2x－3＝2－4，可得顶点坐标为， ∴将抛物线y＝2－4的图象沿x轴翻折，得到的图象的表达式为y＝－2＋4＝－x2＋2x＋3，如图． 当直线y＝x＋b与y＝－x2＋2x＋3有一个交点，且直线与图象C1有三个交点时， 此时x＋b＝－x2＋2x＋3有两个相等的实数解， 方程整理得x2－x＋b－3＝0， ∴Δ＝(－1)2－4(b－3)＝0，解得b＝. ∴当b>时，直线y＝x＋b与图像C1恰有两个公共点． 当直线y＝x＋b过点A时， －1＋b＝0，解得b＝1， 当直线y＝x＋b过点B时， 3＋b＝0，解得b＝－3， ∴当－3<b<1时，直线y＝x＋b与图象C1恰有两个公共点． 综上可知，当直线y＝x＋b与图像C1恰有两个公共点时，b的取值范围是b>或－3<b<1. 三、19.解：(1)将和分别代入y＝ax2＋bx＋c，得解得 ∴这个二次函数的表达式为y＝－2x2＋4x＋1. (2)∵y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3， ∴这个二次函数图象的顶点坐标为(1，3)． 当x＝4时，y＝－2×16＋16＋1＝－15， 即m＝－15. 20．(1)证明：∵Δ＝[－(m－3)]2－4·(－m)＝(m－1)2＋8＞0，∴无论m取何值，抛物线都与x轴有两个交点． (2)解：当y＝0时，x2－(m－3)x－m＝0， 则x＝. ∴x1＝， x2＝. ∴抛物线与x轴的交点坐标为 ，. ∵抛物线与x轴的两个交点间的距离等于3， ∴|－|＝3，解得m＝0或m＝2. ∴m为0或2时，抛物线与x轴的两个交点间的距离等于3. 21．解：任务1：由题意得加工“正”服装的有名工人， ∵全厂每天加工“正”服装总件数和“风”服装总件数相等，每名工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“正”服装1件． ∴×1＝2y，整理得y＝－x＋. 任务2：由题意得“雅”服装每天获利为x[100－2(x－10)]元， ∵“风”服装获利24元/件，“正”服装获利48元/件， ∴w＝2y×24＋×48＋x[100－2(x－10)]， ∴w＝－2x2＋72x＋3 360. 任务3：由任务2得w＝－2x2＋72x＋3 360＝－2(x－18)2＋4 008， ∴当x＝18时，获得最大利润， 此时y＝－×18＋＝，∴x≠18. ∵－2＜0，∴取x＝17或x＝19. 当x＝17时，y＝，不符合题意； 当x＝19时，y＝＝17，符合题意． ∴70－x－y＝34. 综上所述，安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 22．解：分别过点C，D作l的垂线，垂足分别为F，E， 易知四边形CDEF是矩形．∴CF＝ED，CD＝EF. 依题意，得∠CBE＝60°，∠CAB＝30°， ∴∠ACB＝∠CBE－∠CAB＝30°. ∴∠CAB＝∠ACB. ∴AB＝BC＝1 500 m. 在Rt△BCF中，CF＝BC·sin∠CBF＝1 500×＝750(m)，BF＝BC·cos∠CBF＝1 500×＝750(m)． 在Rt△BED中，ED＝BE·tan∠DBE＝BE·tan 45°＝BE＝CF＝750 m. ∴CD＝EF＝BE－BF＝750－750≈750×≈548(m)． ∴大桥CD的长度约为548 m. 23．解：(1)∵直线y＝－x＋2与x轴交于点B，与y轴交于点C， ∴C，B. ∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B，C两点， ∴解得 ∴抛物线的表达式是y＝－x2＋x＋2. (2)如图，过点P作PD⊥BC交BC于点D，PF⊥x轴交BC于点E，交x轴于点F，连接PC，PB. ∵C，B， ∴BC＝＝2，OB＝4. 设P，则E， ∴PE＝－m2＋m＋2－＝－m2＋2m. ∵S△PBC＝PD·BC＝S△PBE＋S△PCE＝PE·BF＋PE·OF＝PE·OB， ∴PD＝＝＝(－m2＋4m)＝－2＋， ∴当m＝2时，PD有最大值，此时P. ∴点P的坐标为，点P到直线BC距离的最大值为. (3)存在．点Q的坐标为(2＋2，－－1)或(2－2，－1)． 点拨：如图，过点P作PM∥BC交y轴于点M，作点M关于点C的对称点N，过点N作NG∥BC，则直线NG到BC的距离等于直线PM到BC的距离． ∵以点Q，B，C为顶点的三角形与△PBC面积相等， ∴NG与抛物线的交点即为所求点Q. ∵直线BC的表达式为y＝－x＋2， ∴设直线PM的表达式为y＝－x＋n. 把P代入y＝－x＋n， 得3＝－×2＋n，解得n＝4， ∴M. ∵C，N是点M关于点C的对称点，∴N. ∵NG∥BC，∴直线NG的表达式为y＝－x， 联立 解得或 ∴抛物线上存在点Q，使得以点Q，B，C为顶点的三角形与△PBC面积相等，此时点Q的坐标为(2＋2，－－1)或. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$