第一章 直角三角形的边角关系 综合素质评价 2024-—2025学年北师大版数学九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系 综合素质评价 一、选择题(每题3分，共30分) 1. 如图，在直角坐标系xOy中，已知A(4，3)，直线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么cos α的值是(　　) A． B． C． D． 2．下列三角函数中，结果为的是(　　) A．cos 30°　 B．tan 30°　 C．sin 60°　 D．cos 60° 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos A＝(　　) A．　 B．　 C．　 D． 4.一辆汽车沿倾斜角为α的斜坡前进500 m，则它上升的高度是(　　) A．500·sin α m　 B． m　 C．500·cos α m　 D． m 5. 如图，小华参加植树活动，当太阳光线与地面成30°夹角时，直立的树苗AB在地面的影长AC为6 m，由于培土不足，树苗AB栽种后即刻沿太阳光线方向倒下，此过程中树苗AB的影长的最大值为(　　) A．12 m B．9 m C．6 m D．4 m 6．网格中的每个小正方形的顶点称为格点．如图，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上，则∠ABC的正弦值为(　　) A．　 B．　 C．　 D． 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为(　　) A． B． C．2 D．3 8．定义一种运算：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.如：当α＝60°，β＝45°时，cos(60°－45°)＝×＋×＝，则cos 75°的值为(　　) A．　 B．　 C．　 D． 9．3月中旬某中学校园内的樱花树正值盛花期，供全校师生驻足观赏．如图，有一棵樱花树AB垂直于水平平台BC，通往平台有一斜坡CD，D，E在同一水平地面上，A，B，C，D，E均在同一平面内，已知BC＝3 m，CD＝5 m，DE＝1 m，斜坡CD的坡度是3∶4，李同学在水平地面E处测得树冠顶端A的仰角为62°，则樱花树的高度AB约为(参考数据：sin 62°≈0.88，cos 62°≈0.47，tan 62°≈1.88)(　　) A．15 m B．13 m C．12 m D．9 m 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，记△ABC的面积为S1，三个正方形的面积和为S2，过点C作CM⊥FG于点M，连接CG交AB于点N，设∠ABC＝α，∠MCG＝β，若＝tan α·tan β，则S1∶S2为(　　) A． B． C． D． 二、填空题(每题4分，共32分) 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝3，则AB＝________. 12．已知△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且＋＝0，则△ABC为________三角形． 13．如图，四边形ABCD是平行四边形，其中AH⊥BC，垂足为H，若AB＝5，BC＝8，cosB＝，则tan∠CDH＝________ . 14．将45°的∠AOB按如图的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是________cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) 15. 如图①是三星堆遗址出土的陶盉(hé)，图②是其示意图．已知管状短流AB＝2 cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD，BC＝DE＝11 cm，∠ABE＝120°，∠CBE＝80°.器身底部CD距地面的高度为21.5 cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为________cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 80°≈0.984 8，cos 80°≈0.173 6，tan 80°≈5.671 3，≈1.732) 16. 物理学告诉我们，当光从空气斜射入介质时会发生折射，其中入射角的正弦值和折射角的正弦值之比叫做这种介质的折射率．如图，入射光线AO在点O处斜射入某一高度为3 cm，折射率为的长方体介质，若α＝53°，则折射光线在该介质中传播的距离(即OB的长度)约是________cm.(参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33) 17. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点P在边AB上，若△APC是以AC为腰的等腰三角形，则tan∠CPA的值为________． 18.如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，tan∠AOC＝，且点A落在反比例函数y＝的图象上，点B落在反比例函数y＝的图象上，则k＝________． 三、解答题(19，20题每题10分，23题14分，其余每题12分，共58分) 19．计算：(1)6tan230°－sin 60°＋2tan 45°； (2) －2·cos 45°＋0＋＋－1. 20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，AC＝4，OE＝2.求OD的长及tan ∠EDO的值． 21. 在学习解直角三角形时，小明同学对互为倍数的两个锐角正切三角比产生了浓厚兴趣，进行了一些研究． (1)初步尝试：我们知道：tan 60°＝________，tan 30°＝________，发现结论：tan 2A________2tan A(填“＝”或“≠”)； (2)实验探究：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tanA的值．小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至点D，使得DA＝AB，连接BD，所以∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值，请按小明的思路求解tanA． 22. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动 过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4 m；③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°；④用计算器计算得：sin 60.3°≈0.87，cos 60.3°≈0.50，tan 60.3°≈1.75.sin 21.8°≈0.37，cos 21.8°≈0.93，tan 21.8°≈0.40. 　请根据表格中提供的信息，解决下列问题(结果保留整数)： (1)求线段CE和BC的长度； (2)求底座的底面ABCD的面积． 23．如图，AC是菱形ABCD的对角线． (1)尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)所作的图中，连接BD，CE. ①求证：△ABD∽△ACE； ②若tan∠BAC＝，求cos∠DCE的值． 答案 一、1.C　2.D　3.C　4.A　5.D　6.D　7.C　8.B　9.C 10．D　点拨：设CM与AB交于点P，易知∠CPN＝90°. 在Rt△CPN中，tan β＝，在Rt△CPB中，tan α＝， ∴tanβ·tan α＝·＝. ∵四边形ABGF是正方形，∴AB∥FG，BG＝AB，BG⊥FG. 又∵CM⊥FG，∴PM∥BG. ∴易知四边形BPMG为矩形． ∴PB＝MG，PM＝BG＝AB.∴tan β·tan α＝. ∵∠PCN＝∠MCG，∠CPN＝∠CMG＝90°， ∴△CPN∽△CMG.∴＝. ∴tan β·tan α＝＝＝. ∵2＝tan α·tan β，∴2＝tan α·tan β＝ ， ∴CN2＋CN·NG－NG2＝0.∴CN＝NG(负值已舍)． ∵PN∥MG，∴＝. ∴＝＝，即CP＝AB. ∴S1＝AB·CP＝AB2.∵△ABC为直角三角形，∴AC2＋BC2＝AB2. ∴S2＝AC2＋BC2＋AB2＝2AB2.∴＝＝. 二、11.12　12.直角　13.　14.2.7 15．34.1　16.3.75　17.2或 18．8　点拨：过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为D，E. ∵tan∠AOC＝，∴＝. ∴设AD＝4a，则OD＝3a(a>0)．∴A. ∵点A在反比例函数y＝上，∴3a·4a＝3. ∴a＝.∴A. ∴AD＝2，OD＝.∴OA＝＝. ∵四边形AOCB为菱形， ∴AB＝OA＝，AB∥CO.∴B. ∵点B落在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝4×2＝8. 三、19.解：(1)原式＝6×－×＋2×1＝2－＋2＝. (2)原式＝－2×＋1＋－1＋4＝－＋1＋－1＋4＝4. 20．解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝AC＝2. ∵E是AD的中点，∴AD＝2OE＝4. ∴OD＝＝＝2. ∴tan ∠EDO＝＝＝. 21．解：(1)；；≠ (2)在Rt△ABC中，AB＝＝， 由题意得DA＝AB＝， ∴∠D＝∠ABD，CD＝DA＋AC＝＋2. 又∵∠BAC＝∠D＋∠ABD， ∴∠D＝∠BAC. 在Rt△BCD中，tan D＝＝＝－2， 即tan∠BAC＝－2. 22．解：(1)∵GH⊥CE，EF＝4 m，∠CFG＝60.3°， ∴tan∠CFE＝tan 60.3°＝＝≈1.75， ∴CE≈7 m. ∵∠BFG＝45°，∴BE＝EF＝4 m. ∴CB＝CE－BE≈3 m. (2)过点A作AM⊥GH于点M，易得四边形ABEM是矩形， ∴AM＝BE＝4 m，AB＝ME. ∵∠AFG＝21.8°， ∴tan∠AFG＝tan 21.8°＝＝≈0.4. ∴MF≈10 m．∴AB＝ME≈10－4＝6(m)． ∴底座的底面ABCD的面积约为3×6＝18(m2)． 23．(1)解：如图，△ADE即为所求． (2)①证明：如图，由旋转得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴＝，∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE.∴△ABD∽△ACE. ②解：如图，延长AD交CE于点F. ∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC＝AD＝AB. 又∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC.∴∠BAC＝∠DAC. 又∵∠BAC＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAC. 又∵AE＝AC，∴AD⊥CE.∴∠CFD＝90°. 设CF＝m，CD＝AD＝x， ∵＝tan∠DAC＝tan∠BAC＝， ∴AF＝3CF＝3m.∴DF＝3m－x. ∵CF2＋DF2＝CD2，∴m2＋(3m－x)2＝x2，解得x＝m. ∴CD＝m.∴cos∠DCE＝＝＝. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$