第三章　圆 综合素质评价 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

第三章　圆 综合素质评价 一、选择题(每题3分，共30分) 1．已知⊙O的半径为9 cm，若OA＝10 cm，则点A与⊙O的位置关系是(　　) A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O内 D．不能确定 2. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝52°，连接OB，OC，则∠BOC的度数为(　　) A．26° B．70° C．104° D．128° 3. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则tan ∠BAC＝(　　) A． B．1 C． D． 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点(点P不与点A，D重合)，连接CP.若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为(　　) A．30° B．45° C．50° D．65° 5. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，AB的延长线交直线CD于点E，连接AC，BC．若∠E＝30°，CE＝3，则AB的长是(　　) A．2 B． C．2－2 D． 6. 如图①是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图②所示的(所在圆的圆心为O)，弓弦部分AB的长为4 dm，点D是弓臂的中点，OD交AB于点C，D，C两点之间的距离为1 dm，则弓臂所在圆的半径为(　　) A．2 dm B．2.5 dm C．3 dm D．4 dm 7. 如图，⊙O外有一点P，连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于OP的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M，N两点，作直线MN，与OP相交于点Q，以点Q为圆心，OQ长为半径作圆与⊙O相交于A，B两点，连接PA，PB，EF与⊙O相切于点C，与PA，PB分别相交于点E，F.若PA＝2，则△PEF的周长为(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 8. 《墨子·天志》记载：“轮、匠执其规、矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的边长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若A′B′∶AB＝2∶1，则四边形A′B′C′D′的外接圆半径为(　　) A． B．2 C．2 D．4 9. 如图①是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图②所示，⊙O的直径为40 cm，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，CP＝10 cm，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交⊙O于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为(　　) A．20π cm B．20π cm C．(20－10)π cm D．(10＋10)π cm 10.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为(　　) A．2－2 B．－2 C．－1 D．－1 二、填空题(每题4分，共32分) 11．已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是________． 12.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝40°，连接OA，OB，则∠OAB＝________°. 13．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)，B(－2，－2)，C(4，－2)，则△ABC的外接圆圆心的坐标为________． 14.如图，△ABC内接于⊙O，△ABC的外角平分线交⊙O于点D，射线AD交CB延长线于点E.若∠BAC＝28°，BC＝BD，则∠E的度数为________°. 15．如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径为2，过圆心O的两条直线l1，l2的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为________． 16.如图，已知点A，点B为反比例函数y＝图象上一点，以AB为直径的圆的圆心C在y轴上，⊙C与y轴正半轴交于D，则k的值为________． 17. 如图①是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图②，根据割圆八线图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，AC和BE都是⊙O的切线，点A和点B是切点，BE交OC于点E，OC交⊙O于点D，AD＝CD．若OA＝3，则CE的长为________． 18．如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，D是的中点，CD交AB于点E，∠BAC的平分线交CD于点F，过点D的切线交CA的延长线于点P，连接AD，则有下列结论：①点F是△ABC的内心；②PD∥AB；③AF＝AE；④DF2＝DE·CD，其中正确结论的序号是________． 三、解答题(19，20题每题10分，23题14分，其余每题12分，共58分) 19．某景区的纪念币，一面有一个正十边形，示意图如图所示，其外接圆的圆心为O，直径为20 mm.求这个正十边形的边长AB．(参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32) 20. 福山大面，被称为中国四大面条之一，据传已有三百年的历史，其早期是用香油浸泡过的砂陶碗(图①)盛装，图②是从正面看到的一个砂陶碗的形状示意图.是⊙O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB＝24 cm，碗深CD＝8 cm.求OA的长． 21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. (1)作一个圆，使圆心O在AC上，且与AB，BC所在直线相切(尺规作图：不写作法，保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下，若⊙O的半径为8，OA＝10，求BC的长． 22．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点．连接PC，AC，OC，且PC＝PA． (1)求证：PC为⊙O的切线； (2)延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD·OC＝PA·OD； (3)若∠CAB＝30°，OD＝8，求阴影部分的面积． 23．如图，在平面直角坐标系中，点O′的坐标为(－2，0)，⊙O′与x轴相交于原点O和点A，B，C两点的坐标分别为(0，b)，(1，0)． (1)当b＝3时，求经过B，C两点的直线对应的函数表达式． (2)当B点在y轴上运动时，直线BC与⊙O′有哪几种位置关系？请求出每种位置关系时b的取值范围． 答案 一、1.A　2.C　3.D　4.D　5.A　6.B 7．B　点拨：如图，连接AO，OB， 由题意得OP是⊙Q的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝90°. ∵AO，OB都是⊙O的半径， ∴AP，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB＝2. ∵EF与⊙O相切于点C，∴AE＝EC，CF＝BF. ∴△PEF的周长＝PE＋EC＋CF＋PF＝PE＋AE＋BF＋PF＝AP＋BP＝4. 8．D　点拨：如图，连接A′C′， ∵正方形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形， ∴四边形A′B′C′D′是正方形．∴∠A′B′C′＝90°. ∴A′C′是四边形A′B′C′D′的外接圆直径． ∵正方形ABCD的边长为4，A′B′∶AB＝2∶1， ∴A′B′＝8，∴A′C′＝＝8， ∴四边形A′B′C′D′的外接圆半径为4. 9．D　点拨：如图，连接AB，OA，OB，OP，并延长OP交阴影部分的内弧于点D，交外弧于点E. 根据题意可得BP＝AP＝EP＝CP＝10 cm，且A，P，B三点在同一直线上，∴AB＝10＋10＝20(cm)． ∵⊙O的直径为40 cm，∴OA＝OB＝20 cm. ∴OB2＋OA2＝202＋202＝(20)2＝AB2.∴OB⊥OA， 即∠BOA＝90°.∴的长＝＝10π(cm)． 又∵的长＝＝10π(cm)， ∴阴影部分的周长为(10＋10)π cm. 10．C　点拨：如图①，连接AE， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，∴AB＝AC＝2. ∵以AD为直径的圆交BD于点E，∴∠AED＝90°， ∴∠AEB＝90°.以AB为直径作⊙O，∴点E在以AB为直径的⊙O上． ∵AB＝2，∴⊙O的半径为1，连接OE，OC，∴OE＝1. 在Rt△OAC中，∵OA＝1，AC＝2， ∴OC＝＝. 如图②，当点E在线段OC上时，CE最小， 此时CE＝OC－OE＝－1， 即线段CE长度的最小值为－1. 二、11.d＞5　12.50　13.　14.40 15.－　点拨：如图，连接AO，BO，CO，DO，设l1交⊙O于点Q，H，交AB于点M，l2交⊙O于点I，G，交CD于点N，由正六边形的性质得A，O，D三点共线，△COD和△AOB为等边三角形， ∴∠AOQ＝∠DOH，∠COD＝∠OCD＝∠OAB＝60°＝∠GOH，OA＝OC.∴∠COG＝∠DOH＝∠AOQ. ∴△AOM≌△CON(ASA)，S扇形AOQ＝S扇形COG. ∴S△AOM＝S△CON.∴S扇形AOQ－S△AOM＝S扇形COG－S△CON. ∴S阴影＝S扇形COD－S△COD.过点O作OK⊥CD于点K， ∵△COD为等边三角形，OC＝OD＝2，∴CD＝2. ∴CK＝DK＝1，∴OK＝＝， ∴S阴影＝S扇形COD－S△COD＝－×2×＝－. 16．6　点拨：设⊙C与x轴的正半轴的交点为E，连接BE， ∵OC⊥AE，A，∴OA＝OE＝2. ∵以AB为直径的圆的圆心C在y轴上，D， ∴CA＝CB，OD＝4，BE⊥x轴，∴OC是△ABE的中位线． 设OC＝x，则AC＝CD＝4－x，BE＝2x， ∵AC2＝OC2＋OA2，∴2＝x2＋22， 解得x＝，∴BE＝2x＝3，∴B，∴k＝2×3＝6. 17．6－2　点拨：∵AC与⊙O相切于点A，∴OA⊥AC. ∴∠CAD＋∠DAO＝∠C＋∠AOC＝90°. ∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD.∴∠DAO＝∠AOC. ∴AD＝OD＝OA＝3，即△OAD是等边三角形． ∴∠AOD＝60°.∴OC＝2OA＝6. ∵∠AOB＝90°，∴∠EOB＝90°－∠AOD＝30°. ∵BE与⊙O相切于点B，∴∠EBO＝90°. ∴OE＝＝2.∴CE＝OC－OE＝6－2. 18．①②④　点拨：如图，连接OD. ∵D是的中点，∴＝. ∴∠1＝∠2，∴CE平分∠ACB. ∵AF平分∠BAC，∴点F是△ABC的内心．故①正确； ∵PD为⊙O的切线，∴OD⊥PD. ∵D是的中点，∴OD⊥AB.∴PD∥AB.故②正确； ∵AF平分∠BAC，∴∠3＝∠BAC. ∵∠AFE＝∠1＋∠3，∠AEF＝∠2＋∠B，∠1＝∠2， ∴只有当∠B＝∠BAC时，∠AFE＝∠AEF， 此时AF＝AE.故③不一定正确； ∵∠DAF＝∠DAB＋∠BAF＝∠2＋∠3＝∠1＋∠3＝∠DFA，∴DF＝DA. ∵∠DAB＝∠2＝∠1，∠ADE＝∠CDA， ∴△DAE∽△DCA，∴＝， ∴DA2＝DE·DC.∴DF2＝DE·DC.故④正确． 三、19.解：如图，过点O作OC⊥AB于点C. 由题意可知∠AOB＝＝36°， OA＝OB＝10 mm，∴∠AOC＝∠BOC＝18°，AC＝BC＝AB.∴AC＝OA·sin 18°≈10×0.31＝3.1(mm)． ∴AB＝2AC≈6.2 mm. 20．解：∵是⊙O的一部分，D是的中点，AB＝24 cm， ∴OD⊥AB，AC＝BC＝AB＝12 cm. 设⊙O的半径OA为R cm，则OC＝OD－CD＝(R－8) cm. ∵在Rt△OAC中，OA2＝AC2＋OC2， ∴R2＝122＋(R－8)2，∴R＝13，即OA的长为13 cm. 21．解：(1)如图． (2)如图，设AB与⊙O相切于点D，连接OD，则∠ADO＝90°. 在Rt△ADO中，由勾股定理得AD＝＝6， ∴tan A＝＝. ∵AC＝OA＋OC＝18，∴BC＝AC·tan A＝24. 22．(1)证明：连接PO，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°. 在△PAO与△PCO中， ∴△PAO≌△PCO(SSS)．∴∠PCO＝∠PAO＝90°. ∵OC为⊙O的半径，∴PC为⊙O的切线． (2)证明：∵∠PAD＝90°，易得∠OCD＝90°， ∴sin D＝＝，∴PD·OC＝PA·OD. (3)解：∵＝，∠CAB＝30°， ∴∠COD＝2∠CAB＝60°. ∵∠OCD＝90°，∴∠D＝30°. ∴OC＝OD＝4，CD＝OD·cos∠ODC＝4. ∴S阴影＝S△OCD－S扇形OBC＝×CO×CD－π×CO2＝×4×4－π×42＝8－π. 23．解：(1)当b＝3时，B(0，3)．设经过B，C两点的直线对应的函数表达式为y＝mx＋n(m≠0且m，n为常数)． 分别将B(0，3)，C(1，0)的坐标代入y＝mx＋n，得解得 ∴经过B，C两点的直线对应的函数表达式为y＝－3x＋3. (2)直线BC与⊙O′有3种位置关系：相切、相交、相离． 当BC切⊙O′于第二象限时，记切点为D，连接O′D，易得DC＝. ∵B(0，b)，∴OB＝b. 由题意得⊙O′与y轴相切于点O， ∴BD＝BO＝b.∴BC＝CD－BD＝－b. 在Rt△OBC中，易得12＋b2＝(－b)2，解得b＝. 同理，当BC切⊙O′于第三象限时，可求得b＝－. 故当b＞或b＜－时，直线BC与⊙O′相离； 当b＝或－时，直线BC与⊙O′相切； 当－＜b＜时，直线BC与⊙O′相交． 16 学科网（北京）股份有限公司 $$