精品解析：2024-2025学年九年级上学期北师大版数学期中模拟试卷2（深圳专用第1～5章）

九年级数学期中模拟卷2（深圳专用，北师大版九上第1~5章） 2024-2025学年初中上学期期中模拟考试 一、单选题 1. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：根据题意， 从左边看一列，有3个矩形，且中间两条线段是虚线； 故选：A． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. x2﹣9＝0 B. x＝ C. x2+2x﹣3y＝0 D. ax2+bx+c＝0 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：方程两边都是等式，只含有一个未知数，且未知数的次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、等号右边是分式，不是一元二次方程，不符合题意； C、有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、时，原式不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟知定义是解本题的关键． 3. 新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染个人，经过两轮传染后共有400人感染，列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，正确的理解题意，列出一元二次方程，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ，即 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意，列出一元二次方程． 4. 袋子里有四个球，标有5，4，3，2，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和等于7的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解析：画树状图得： ∵共有16种等可能的结果，抽取的两个球数字之和等于7的有4种情况， ∴抽取的两个球数字之和等于7的概率是： 故选：A． 5. 在△ABC中，AC＝AB，D，E，F分别是AC，BC，AB的中点，则下列结论中一定正确的是（　　） A. 四边形DEBF是矩形 B. 四边形DCEF是正方形 C. 四边形ADEF是菱形 D. △DEF是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位线性质可得四边形ADEF是平行四边形，又因为AD=AF，可得四边形ADEF是菱形． 【详解】解：结论：四边形ADEF是菱形． 理由如下：∵CD＝AD，CE＝EB， ∴DE∥AB， ∵BE＝EC，BF＝FA， ∴EF∥AC， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∵AC＝AB， ∴AD＝AF， ∴四边形ADEF是菱形． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定，利用中位线的性质判定四边形是平行四边形是关键． 6. 对于实数a、b，定义运算“*”： ，例如：，因为，所以．若、是一元二次方程的两个根，那么（　　） A. 42 B. -42 C. 43 D. 42或-42 【答案】D 【解析】 【分析】首先解此方程，即可求得两个根，再分两种情况分别计算，即可求得 【详解】解：解方程， 得， 故或， 解得或， 当，时， ， ， 当，时， ， ， 故值为42或-42， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，理解题意，分两种情况分别计算是解决本题的关键． 7. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP = CQ，连接CP，QD，则PC + QD的最小值为（　　） A 8 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE、CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接BP， 在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC=6， ∵AP=CQ， ∴AD-AP=BC-CQ， ∴DP=QB，DP∥BQ， ∴四边形DPBQ是平行四边形， ∴PB∥DQ，PB=DQ， 则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值， 在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE，CE， 则BE=2AB=8， ∵PA⊥BE， ∴PA是BE的垂直平分线， ∴PB=PE， ∴PC+PB=PC+PE， 连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE， ∴CE==10， ∴PC+PB的最小值为10， 即PC+QD的最小值为10， 故选：B． 【点睛】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE是解题的关键． 8. 如图，点E是线段上一点，四边形和四边形均为正方形，连接，分别交于点M、N，延长交于点H，连接、、．若已知的面积，则一定能求出（ ） A. 四边形的面积 B. 四边形的面积 C. 的面积 D. 与的面积之和 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接，先证明，再证明都是等腰直角三角形，得到，进而推出，则，证明，得到，再证明四边形是菱形，得到；证明，得到，则；证明四边形是矩形，得到，则 ，即可推出， 详解】解：如图所示，连接， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，， ∴，即， 由正方形的性质可得， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由正方形的对称性可得， ∴， ∴四边形是菱形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，作出辅助线证明四边形是菱形，从而得到是解题的关键． 二、填空题 9. 如图，燃烧的蜡烛经小孔在屏幕上成像，设，小孔到、的距离分别为、，则像的长是 __． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴． ∴像的长为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 10. 为执行国家药品降价政策，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可． 11. 已知关于的方程有且只有一个实数解，则应满足条件_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．分两种情况讨论：当时；当时，根据一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：当，时，， 当时，原方程为，解得，符合题意； 当时，方程左边，右边，不成立，不符合题意； 当，即时， ∵方程有且只有一个实数解， ∴， 解得，不符合题意， 综上，当时，方程有且只有一个实数解， 故答案为：． 12. 在直角坐标系中，点A，B，则线段AB的长度的最小值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】由两点间的距离公式表示出线段AB的长，然后根据用配方法解答即可． 【详解】由两点间的距离公式得到：AB== 当a=时，AB的最小值==6． 故答案为6． 【点睛】本题考查了两点间的距离公式以及配方法的应用．掌握两点间的距离公式以及配方法的应用是解题的关键． 13. 如图，四边形为菱形，，，为上的两个动点，且，点是的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的三边关系，取的中点，连接、、、，可得四边形为平行四边形，得到，进而得到，即可得当点三点共线时，的值最小，又由菱形的性质可得为等边三角形，进而由三线合一得到，利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：取的中点，连接、、、， ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 14. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程． （1）移项之后利用因式分解法求解； （2）利用配方法求解． 【小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 解： ∴ ， 15. 如图，中，，，点E线段AC上，且 （1）试用不带刻度的直尺和圆规作出点O，使点O满足； （2）在（1）问的前提下，连接OB、OC、OF，求证：四边形OBCF为菱形． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）分别作BC、CF的垂直平分线，两垂直平分线的交点为O点，O点即为所求； （2）先求出∠BCF=120°，再证明△BOC≌△FOC，得到∠FCO=∠BCO=60°，即可 【小问1详解】 分别作BC、CF的垂直平分线，两垂直平分线的交点为O点，O点即为所求， 如图： 根据垂直平分线的性质易证得OB=OC=OF； 【小问2详解】 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°， 则∠ACB=30°， ∵△ABC≌△ECF， ∴FC=BC，∠ABC=∠FCE=90°， ∵OB=OC=OF，BC=CF， ∴△BOC≌△FOC， ∴∠FCO=∠BCO， ∵∠BCF=∠ACB+∠FCE， ∴∠BCF=90°+30°=120°， ∴∠FCO=∠BCO=∠BCF=60°， ∵OB=OC=OF， ∴△OBC与△OFC是等边三角形， ∴OB=OC=OF=BC=CF， ∴四边形OBCF是菱形． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，得到∠FCO=∠BCO=∠BCF=60°是解答本题的关键． 16. 已知A产品的售价比年初上涨了，上涨后购买1件A产品需要元． （1）填空：年初购买1件A产品的价格是______元； （2）某超市将进货价为每件元的A产品，按元价格出售，平均一天能销售件；经调查发现：A产品的售价每下降1元，其日销售量就增加件，超市为了实现销售A产品每天有元的利润，并且让顾客尽可能得到实惠，A产品的售价应该下降多少元？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设年初购买1件A产品的价格是x元，根据上涨后的价格＝年初的价格×（1＋上涨率），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设A产品的售价应该下降y元，则每日可售出件，根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：（1）设年初购买1件A产品的价格每件x元， 依题意，得：， 解得：． 答：年初购买1件A产品的价格每件元． 故答案是：； 【小问2详解】 设A产品的售价应该下降y元，则每日可售出件， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． ∵让顾客得到实惠， ∴． 答：A产品的售价应该下降元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 17. 某专卖店在销售中发现一款套装每件进价为90元，销售价为130元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店为扩大销售量，增加利润，决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件套装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）每件套装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ （2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 【答案】（1）20元或10元 （2）不可能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设每件童装降价x元，则销售量为件，每件利润为元，根据总利润=每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）设每件童装降价元，则销售量为件，每件利润为元，根据总利润=每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式可得出原方程无解，进而即可得出不可能每天盈利2000元． 【小问1详解】 解：设每件套装降价元，则每件利润为元． 依题意可得： ， 解得，， 答：每件套装降价20元或10元时，平均每天盈利1200元． 【小问2详解】 解：不能， 理由：设每件套装降价元，则每件利润为元． 依题意可得： 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴不可能做到平均每天盈利2000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18. [教材呈现]如图是华师版九年级上册数学教材66页的部分内容． 例3已知：如图23.3.9，在中，，． 求证：． （1）[问题解决]这是“23.3.2相似三角形的判定”的部分内容，请结合图①给出例3的证明过程． （2）[拓展探究]如图②，在中，D是边AB的四等分点且靠近点B，过D分别作，与边BC、AC分别相交于点E、F，若，．则四边形DECF的周长是______； （3）如图③，在中，P是边BC上的一点，且，连结AP，取AP的中点M，连结BM并延长交AC于点N，若的面积为3，则的面积为______． 【答案】（1）过程见详解 （2） （3）12 【解析】 【分析】（1）根据，，行得到，，，即可得证结论； （2）D是边AB的四等分点且靠近点B，即有，再结合（1）中结论可求出EC、FC长度，即可求解； （3）过P点作PD平行与AC，交BN于点D，利用AM=MP，得到以及，则有，DM=MN，再根据BP:PC=3:2，得，得到，即有，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，，， ∴ ∴，得证． 【小问2详解】 如图所示， ∵，， ∴四边形DECF是平行四边形，即其周长， ∴根据（1）中的结论有：， ∴，， 又∵D点是AB的四等分点，即， ∴， ∴，， ∴， 已知AC=6，BC=9， ∴，， ∴平行四边形DECF的周长； 【小问3详解】 如图，过P点作PD平行与AC，交BN于点D， ∵，M为AP中点， ∴，，AM=PM， ∴， ∴，DM=MN， ∵， ∴， 又∵BP:PC=3:2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又由AM=PM，可知， ∴． 【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了平行线的性质、平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练运用平行线分线段成比例定理是解答本题的关键． 19. 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且BE＝BC，连接CE． （1）求证：∠CED＝∠CEB； （2）若∠CED＝67.5°，BC＝2，求AB的长． 【答案】（1）见解析 （2）AB的长为 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形，得到AD∥BC，得到∠DEC＝∠ECB，根据BE＝BC，得到∠BEC＝∠ECB，推出∠CED＝∠CEB； （2）根据∠CED＝∠CEB＝67.5°，推出∠BED＝135°，得到∠AEB＝45°，根据∠A＝90°，BE＝BC＝2，推出ABBE． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEC＝∠ECB， ∵BE＝BC， ∴∠BEC＝∠ECB， ∴∠CED＝∠CEB； 【小问2详解】 解：由（1）知，∠CED＝∠CEB＝67.5°， ∴∠BED＝135°， ∴∠AEB＝45°， ∵∠A＝90°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∵BE＝BC＝2， ∴ABBE． 故AB的长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形性质和等腰直角三角形性质，熟练掌握矩形的边角性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形的边的性质是解决问题的关键． 20. 设是一个两位数，其中a是十位上的数字，例如：当时，表示的两位数是45． （1）尝试： ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，__________． （2）运用：若与的和为6325，求a的值． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化规律得出结论是解题的关键． （1）根据规律直接得出结论即可； （2）根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 ①当 时，； ②当 时，； ③当时，； ③当时，， 故答案为：； 【小问2详解】 由题知，， 即， 解得或（舍去）， 的值为7 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学期中模拟卷2（深圳专用，北师大版九上第1~5章） 2024-2025学年初中上学期期中模拟考试 一、单选题 1. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. x2﹣9＝0 B. x＝ C. x2+2x﹣3y＝0 D. ax2+bx+c＝0 3. 新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染个人，经过两轮传染后共有400人感染，列出的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 袋子里有四个球，标有5，4，3，2，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和等于7的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，AC＝AB，D，E，F分别是AC，BC，AB的中点，则下列结论中一定正确的是（　　） A. 四边形DEBF是矩形 B. 四边形DCEF是正方形 C. 四边形ADEF是菱形 D. △DEF是等边三角形 6. 对于实数a、b，定义运算“*”： ，例如：，因为，所以．若、是一元二次方程两个根，那么（　　） A. 42 B. -42 C. 43 D. 42或-42 7. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP = CQ，连接CP，QD，则PC + QD的最小值为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 20 8. 如图，点E是线段上一点，四边形和四边形均为正方形，连接，分别交于点M、N，延长交于点H，连接、、．若已知的面积，则一定能求出（ ） A. 四边形的面积 B. 四边形的面积 C. 的面积 D. 与的面积之和 二、填空题 9. 如图，燃烧的蜡烛经小孔在屏幕上成像，设，小孔到、的距离分别为、，则像的长是 __． 10. 为执行国家药品降价政策，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为_________． 11. 已知关于的方程有且只有一个实数解，则应满足条件_____． 12. 在直角坐标系中，点A，B，则线段AB的长度的最小值为______． 13. 如图，四边形为菱形，，，为上的两个动点，且，点是的中点，连接，则的最小值为______． 三、解答题 14. 解方程： （1）； （2） 15. 如图，中，，，点E在线段AC上，且 （1）试用不带刻度的直尺和圆规作出点O，使点O满足； （2）在（1）问的前提下，连接OB、OC、OF，求证：四边形OBCF为菱形． 16. 已知A产品售价比年初上涨了，上涨后购买1件A产品需要元． （1）填空：年初购买1件A产品的价格是______元； （2）某超市将进货价为每件元A产品，按元价格出售，平均一天能销售件；经调查发现：A产品的售价每下降1元，其日销售量就增加件，超市为了实现销售A产品每天有元的利润，并且让顾客尽可能得到实惠，A产品的售价应该下降多少元？ 17. 某专卖店在销售中发现一款套装每件进价为90元，销售价为130元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店为扩大销售量，增加利润，决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件套装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）每件套装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ （2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 18. [教材呈现]如图是华师版九年级上册数学教材66页的部分内容． 例3已知：如图23.3.9，在中，，． 求证：． （1）[问题解决]这是“23.3.2相似三角形判定”的部分内容，请结合图①给出例3的证明过程． （2）[拓展探究]如图②，在中，D是边AB的四等分点且靠近点B，过D分别作，与边BC、AC分别相交于点E、F，若，．则四边形DECF的周长是______； （3）如图③，在中，P是边BC上的一点，且，连结AP，取AP的中点M，连结BM并延长交AC于点N，若的面积为3，则的面积为______． 19. 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且BE＝BC，连接CE． （1）求证：∠CED＝∠CEB； （2）若∠CED＝67.5°，BC＝2，求AB的长． 20. 设是一个两位数，其中a是十位上的数字，例如：当时，表示的两位数是45． （1）尝试： ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，__________． （2）运用：若与和为6325，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$