1.3第1课时　正方形的定义及性质课件-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

九年级 上册 北师版 数学 3　第1课时　正方形的定义及性质 第一章 特殊平行四边形 - 3　第1课时　正方形的定义及性质 探究与应用 课堂小结与检测 第一章　特殊平行四边形 探究　正方形的定义及性质 [观察发现] 图1-3-1中的四边形都是特殊的平行四边形.观察这些特殊的平行四边形,你能发现它们有什么样的共同特征? 图1-3-1 解:有一组邻边相等,有一个角是直角. 探究与应用 [概括新知] 正方形的定义:有一组邻边　　　,并且有一个角是　 　角 的平行四边形叫做正方形.  相等 直 探究与应用 [启发猜想] 思考并回答下列问题: (1)正方形有几条对称轴?正方形是矩形吗?是菱形吗? (2)你认为正方形具有哪些性质? 解:(1)有4条对称轴.正方形既是矩形,也是菱形. (2)正方形的四个角都是直角,四条边相等,正方形的对角线相等且互相垂直平分,对边平行,既是轴对称图形又是中心对称图形. 探究与应用 [推理证明] (1)如图1-3-2,已知四边形ABCD是正方形. 求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA. 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴由正方形的定义知四边形ABCD既是矩形, 又是菱形, ∴由矩形的性质知∠A=∠B=∠C=∠D=90°, 由菱形的性质知AB=BC=CD=DA. 图1-3-2 探究与应用 (2)如图1-3-3,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O. 求证:AC=BD,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. 证明:∵正方形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD. ∵正方形ABCD既是矩形,又是菱形, ∴由矩形的性质知AC=BD, 由菱形的性质知AC⊥BD. 图1-3-3 探究与应用 [概括新知] 正方形的性质定理: (1)正方形的四个角都是　　　　,四条边　　　　;  (2)正方形的对角线　　　且互相　　　　　.  直角 相等 相等 垂直平分 探究与应用 应用　利用正方形的性质进行计算和证明 例1 (教材典题)如图1-3-4,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间 有怎样的关系?请说明理由. 解:BE=DF,且BE⊥DF.理由如下: (1)∵四边形ABCD是正方形, ∴BC=DC,∠BCE=90°(正方形的四条边相等,四个角都是直角). ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF,∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF. 图1-3-4 探究与应用 (2)如图,延长BE交DF于点M. ∵△BCE≌△DCF, ∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°, ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF. M 探究与应用 例2 如图1-3-5,在正方形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点, DE=BF. (1)判断四边形AECF是什么特殊四边形,并证明你的结论; 解:四边形AECF是菱形. 证明:如图,连接AC,交BD于点O. 图1-3-5 O ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. ∵DE=BF,∴OE=OF.∴四边形AECF是平行四边形. 又∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形. 探究与应用 (2)若EF=4,DE=BF=2,求四边形AECF的周长. 图1-3-5 解:∵EF=4,DE=BF=2, ∴OE=OF=2,AC=BD=8. ∴OA=AC=4. ∴AE==2. 故四边形AECF的周长为4×2=8. 探究与应用 因为正方形被两条对角线分成四个全等的等腰直角三角形,所以在解决与正方形有关的问题时,常用到等腰三角形的性质与直角三角形的性质. 理 思路 探究与应用 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系?你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗?(画出一种即可) 解:如图所示.(答案不唯一) 【延伸拓展】 探究与应用 [本课时认知逻辑] 正方形 四边形 计算与证明 观察发现 猜想证明 性质 角 边 对角线 对称性 应 用 逐 一 探 究 课堂小结与检测 [检测]　 1.如图1-3-6,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,图中有　　　个等腰三角形.  8 图1-3-6 课堂小结与检测 2.如图1-3-7,P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3,则点P到直线AB的距离为　　　　.  图1-3-7 3 课堂小结与检测 3.如图1-3-8,E是正方形ABCD的边BC的延长线上的一点,若EC=AC,AE交CD于点F,则∠AFC=　　　　°.  图1-3-8 112.5 课堂小结与检测 4.如图1-3-9,在正方形ABCD中,E是边AB的中点,F是边BC的中点,连接CE,DF. 求证:CE=DF. 图1-3-9 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD,∠EBC=∠FCD=90°. ∵E,F分别是AB,BC的中点, ∴BE=AB,CF=BC. ∴BE=CF. 课堂小结与检测 在△CEB和△DFC中, ∵BC=CD,∠EBC=∠FCD,BE=CF, ∴△CEB≌△DFC. ∴CE=DF. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$