1.3　第2课时　正方形的判定课件-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

九年级 上册 北师版 数学 3　第2课时　正方形的判定 第一章 特殊平行四边形 - 第2课时　正方形的判定 探究与应用 课堂小结与检测 第一章　特殊平行四边形 探究　正方形的判定定理 [操作发现] (1)如图1-3-10,将一张长方形纸对折两次,然后 剪下一个角,打开.怎样才能剪出一个正方形? (2)满足什么条件的矩形是正方形?满足什么 条件的菱形是正方形? 解:(1)只要确保剪口线与折痕成45°角即可剪出一个正方形. (2)有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形;有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形. 图1-3-10 探究与应用 [推理证明] (1)如图1-3-11,四边形ABCD是矩形,AB=BC. 求证:四边形ABCD是正方形; 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=90°,四边形ABCD是平行四边形. ∵AB=BC, ∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义). 图1-3-11 探究与应用 (2)如图1-3-12,AC,BD是矩形ABCD的对角线,且AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是正方形; 证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴AC平分BD. ∵AC⊥BD,∴AC垂直平分BD, ∴AB=AD. ∴矩形ABCD是正方形(一组邻边相等的矩形是正方形). 图1-3-12 探究与应用 (3)如图1-3-13,已知四边形ABCD是菱形,∠A=90°. 求证:四边形ABCD是正方形; 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴四边形ABCD是平行四边形且AB=BC. ∵∠A=90°, ∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义). 图1-3-13 探究与应用 (4)如图1-3-14,已知菱形ABCD的对角线为AC,BD,AC=BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 证明: ∵四边形ABCD是菱形,∴AD=BC,AD∥BC. ∵AB=BA,BD=AC,∴△ABD≌△BAC, ∴∠DAB=∠CBA. ∵AD∥BC,∴∠DAB+∠CBA=180°, ∴∠DAB=∠CBA=90°, ∴四边形ABCD是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形). 图1-3-14 探究与应用 [概括新知] (1)正方形判定定理1:有一组邻边　　　的矩形是正方形;  (2)正方形判定定理2:对角线互相　　　的矩形是正方形;  (3)正方形判定定理3:有一个角是　　　的菱形是正方形;  (4)正方形判定定理4:对角线　　 　的菱形是正方形.  相等 垂直 直角 相等 探究与应用 应用一　根据正方形的判定证明正方形 例1 (教材典题)已知:如图1-3-15,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形. 证明:∵BF∥CE,CF∥BE, ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=90°,∠DCB=90°. 图1-3-15 探究与应用 又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB, ∴∠EBC=∠ABC=45°,∠ECB=∠DCB=45°. ∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC. ∴▱BECF是菱形(菱形的定义). 在△EBC中, ∵∠EBC=45°,∠ECB=45°,∴∠BEC=90°. ∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形). 探究与应用 判定正方形的基本思路 一个四边形既是矩形又是菱形,这个四边形就是正方形,所以判定正方形时,先证这个四边形是矩形(或菱形),再证其是菱形(或矩形). 理 思路 探究与应用 例2 如图1-3-16,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,在AC上截取OE=OF=OB,顺次连接B,F,D,E四点.求证:四边形BFDE是正方形. 证明:∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∴AC⊥BD,OB=OD. ∵OE=OF,∴四边形BFDE是平行四边形. ∵OF=OB,∴OE=OF=OB=OD, ∴EF=BD,∴四边形BFDE是矩形. 又∵BD⊥EF, ∴四边形BFDE是正方形(对角线互相垂直的矩形是正方形). 图1-3-16 探究与应用 应用二　中点四边形的形状的判定 例3 (教材典题改编)任意画一个四边形,以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形. (1)任意画一个正方形,以四边的中点为顶点可以组成一个 　　　　形;  (2)以菱形各边的中点为顶点可以组成一个　　　　形;  (3)以矩形各边的中点为顶点可以组成一个　　　　形;  正方 矩 菱 探究与应用 (4)以平行四边形各边的中点为顶点可以组成一个            　 形;  (5)以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系?有怎样的关系? 解:(5)新四边形的形状与原四边形的两条对角线有关.当原四边形的两条对角线互相垂直时,新四边形是矩形;当原四边形的两条对角线相等时,新四边形是菱形;当原四边形的两条对角线互相垂直且相等时,新四边形是正方形. 平行 四边 探究与应用 懂 步骤 判断中点四边形的形状时,先由三角形中位线定理得出中点四边形是平行四边形,再根据原四边形对角线的位置关系或数量关系得出中点四边形邻边的位置关系或数量关系,进一步判断出中点四边形是哪一种特殊四边形. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 矩形 菱形 正方形 计算与证明 组邻边相等的矩形 有一个角是直角的菱形 对角线相等的菱形 方法 对角线垂直的矩形 猜想 证明 逐 一 探 究 应用 判定 课堂小结与检测 [检测]　 1.如图1-3-17,四边形ABCD为矩形,添加一个条件:            　　 　　　　,可使它成为正方形.  图1-3-17 答案不 唯一,如AB=AD 课堂小结与检测 2.如图1-3-18,已知四边形ABCD是菱形,从①AB=AD,②AC=BD,③∠ABC=∠ADC中选择一个作为条件后,使四边形ABCD成为正方形,则应该选择的是　　　　.(填序号)  图1-3-18 ② 课堂小结与检测 3.已知:如图1-3-19,在矩形ABCD中,E,F分别是边CD,AD上的点,AE⊥BF,且AE=BF. 求证:矩形ABCD是正方形. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAD=∠ADE=90°, ∴∠ABF+∠AFB=90°. ∵AE⊥BF,∴∠DAE+∠AFB=90°, ∴∠ABF=∠DAE. 图1-3-19 课堂小结与检测 在△ABF和△DAE中, ∵∠ABF=∠DAE,∠BAF=∠ADE=90°,BF=AE, ∴△ABF≌△DAE(AAS), ∴AB=AD, ∴矩形ABCD是正方形. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$