1.2第3课时　矩形的性质与判定的综合应用课件-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

九年级 上册 北师版 数学 2　第3课时　矩形的性质与判定的综合应用 第一章 特殊平行四边形 - 第3课时　矩形的性质与判定的综合应用 探究与应用 课堂小结与检测 第一章　特殊平行四边形 应用一　灵活运用矩形的性质进行计算或证明 例1 如图1-2-19,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, AE⊥BD,垂足为E. (1)若AD=6,ED=3BE,求AE的长; 图1-2-19 解:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAD=90°(矩形的四个角都是直角), AC=BD(矩形的对角线相等),AO=OC=AC,OB=OD=BD(矩形的对角线互相平分).∴AO=OB=OD=BD. 探究与应用 又∵AE⊥BD, ∴AB=AO. ∴AB=AO=OB, 即△ABO是等边三角形. ∴∠ABO=60°. ∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°. ∴AE=AD=×6=3. ∵ED=3BE,∴BE=OE. 探究与应用 (2)若∠EAD=3∠BAE,求∠EOA的度数; 图1-2-19 解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°. ∵∠EAD=3∠BAE,∴∠BAE=×90°=22.5°. ∵AE⊥BD,∴∠AEB=90°. ∴∠ABO=180°-∠AEB-∠BAE=180°-90°-22.5°=67.5°. ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AO=OC,OB=OD.∴AO=OB, 则∠OAB=∠ABO=67.5°, ∴∠EOA=180°-∠ABO-∠OAB=180°-67.5°-67.5°=45°. 探究与应用 (3)若OE∶ED=1∶3,AE=,求BD的长. 图1-2-19 解:∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD,AO=OC,OB=OD.∴AO=OD. ∵OE∶ED=1∶3, ∴设OE=x,ED=3x,则OD=AO=2x. ∵在Rt△OEA中,AE=,OE2+AE2=AO2,∴x2+()2=(2x)2, 解得x=1(负值已舍去). ∴OE=1,OD=2.∴BD=2OD=4. 探究与应用 (1)利用矩形的性质求线段长时,常把所求线段放在直角三角形中,利用勾股定理或解方程求解; (2)如果是求某个角的度数,常利用等腰三角形的性质或直角三角形两锐角互余的性质求解.  理 思路 探究与应用 应用二　灵活运用矩形的判定与性质进行计算或证明 例2 (教材典题)已知:如图1-2-20,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的一条角平分线,AN为△ABC的外角∠CAM的平分线, CE⊥AN,垂足为E.求证:四边形ADCE是矩形. 图1-2-20 探究与应用 证明:∵AD平分∠BAC,AN平分∠CAM, ∴∠CAD=∠BAC,∠CAN=∠CAM. ∴∠DAE=∠CAD+∠CAN =(∠BAC+∠CAM) =×180° =90°. 探究与应用 在△ABC中,∵AB=AC,AD平分∠BAC, ∴AD⊥BC. ∴∠ADC=90°. 又∵CE⊥AN, ∴∠CEA=90°. ∴四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形). 探究与应用 变式 (教材典题)在例2中,连接DE,交AC于点F(如图1-2-21). (1)试判断四边形ABDE的形状,并证明你的结论; 解:四边形ABDE是平行四边形. 证明:∵四边形ADCE是矩形, ∴AE∥DC,AE=DC.∴AE∥BD. ∵AD是∠BAC的平分线,AB=AC, ∴BD=DC.∴AE=BD. ∴四边形ABDE是平行四边形(有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). 图1-2-21 探究与应用 (2)线段DF与AB有怎样的关系?请证明你的结论. 图1-2-21 解:DF=AB,DF∥AB. 证明:∵四边形ADCE是矩形, ∴DF=DE. ∵四边形ABDE是平行四边形, ∴AB=DE,AB∥DE. ∴DF=AB,DF∥AB. 探究与应用 当综合运用矩形的性质和判定时,一般要先判定四边形是矩形,再利用矩形的性质进行计算,常用于求线段的长度或角的度数. 理 思路 探究与应用 矩形中的等积转化问题 (教材典题)如图1-2-22,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上不与点A和点D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂足为E,F,求PE+PF的值. 【延伸拓展】 图1-2-22 探究与应用 解:连接OP,如图所示. ∵四边形ABCD是矩形,AB=3,BC=AD=4, ∴S矩形ABCD=AB·BC=12,OA=OC=AC, OB=OD=BD,AC=BD,AC==5. ∴S△AOD=S矩形ABCD=3,OA=OD=. ∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA·PE+OD·PF=OA·(PE+PF), ∴×(PE+PF)=3.∴PE+PF=. 探究与应用 再 体会 本题实际上就是求等腰三角形底边上的一点到两腰的距离之和.可以证明,等腰三角形底边上的一点到两腰的距离之和,等于腰上的高(如图1-2-23,即PE+PF=CD). 图1-2-23 探究与应用 [本课时认知逻辑] 计算矩形中线 段长或对角线 的长或角度 矩形的性质与判 定的综合应用 计 算 推 理 判定四边 形是矩形 矩形的性质与 三角形相结合 灵活选择矩形 的判定方法 课堂小结与检测 [检测]　 1.如图1-2-24,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点O作OE⊥BD,交CD于点E,连接BE.若∠COE=20°,则∠ABD= 　　　　°.  图1-2-24 35 课堂小结与检测 2.如图1-2-25,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,P为AB上任意一点,PF⊥AC于点F,PE⊥BC于点E,则EF的最小值是 　　　　.  图1-2-25 4.8 课堂小结与检测 3.已知:如图1-2-26,四边形ABCD由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成,M,N分别是BC和AD的中点. 求证:四边形BMDN是矩形. 图1-2-26 证明:∵△ABD和△CBD是两个全等的等边三角形, ∴AD=BC,∠ADB=∠DBC=60°. ∴BM∥DN. ∵N为AD的中点, ∴ND=AD,BN⊥AD.∴∠DNB=90°. 课堂小结与检测 同理BM=BC, ∴ND=BM. ∴四边形BMDN是平行四边形. 又∵∠DNB=90°, ∴四边形BMDN是矩形. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$