1.2第2课时　矩形的判定课件-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

九年级 上册 北师版 数学 2　第2课时　矩形的判定 第一章 特殊平行四边形 - 第2课时　矩形的判定 探究与应用 课堂小结与检测 第一章　特殊平行四边形 探究一　矩形的判定定理1 [观察发现] 图1-2-11是一个平行四边形活动框架,拉动一对不相邻的顶点时,平行四边形的形状会发生变化. 图1-2-11 探究与应用 (1)随着∠α的变化,两条对角线的长度将发生怎样的变化? 解:当∠α逐渐增大时,以∠α的顶点为端点的对角线逐渐变短,另一条对角线逐渐变长.当∠α为90°时,两条对角线的长度相等. 图1-2-11 探究与应用 (2)当两条对角线的长度相等时,平行四边形有什么特征?由此你能得到一个怎样的猜想? 图1-2-11 解:当两条对角线的长度相等时,∠α为90°,此时平行四边形变成一个矩形. 猜想:对角线相等的平行四边形是矩形. 探究与应用 [推理证明] 已知:如图1-2-12,在▱ABCD中,AC,DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证:▱ABCD是矩形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=DC,AB∥DC. 又∵BC=CB,AC=DB, ∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB. 图1-2-12 探究与应用 ∵AB∥DC, ∴∠ABC+∠DCB=180°. ∴∠ABC=∠DCB=×180°=90°. ∴▱ABCD是矩形(矩形的定义). 探究与应用 [概括新知] 根据对角线判定矩形:对角线　　　的平行四边形是矩形.  相等 探究与应用 应用一　根据对角线相等判定矩形 例1 (教材典题改编)如图1-2-13,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,△ABO是等边三角形,AB=4. (1)求证:▱ABCD是矩形; 解:证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD. 又∵△ABO是等边三角形, ∴OA=OB=AB=4.∴OA=OB=OC=OD=4.∴AC=BD=2OA=2×4=8. ∴▱ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形). 图1-2-13 探究与应用 (2)求▱ABCD的面积. 解:∵▱ABCD是矩形, ∴∠ABC=90°(矩形的四个角都是直角). 在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2, ∴BC==4. ∴S▱ABCD=AB·BC=4×4=16. 探究与应用 探究二　矩形的判定定理2 [启发猜想] 我们知道,矩形的四个角都是直角.反过来,一个四边形至少有几个角是直角时,这个四边形就是矩形呢? 解:一个四边形至少有三个角是直角时,这个四边形是矩形. 探究与应用 [推理证明] 已知:如图1-2-14,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证:四边形ABCD是矩形. 证明:∵在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∴AD∥BC. ∵∠B+∠C=180°,∴AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠B=90°,∴四边形ABCD是矩形. 图1-2-14 探究与应用 [概括新知] 根据角的关系判定矩形:有三个角是　　　 角的四边形是 矩形.  直 探究与应用 应用二　由三个角是直角证明矩形 例2 如图1-2-15所示,BD,BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线,AE⊥BE,AD⊥BD,垂足分别为E,D. 求证:四边形AEBD是矩形. 图1-2-15 探究与应用 证明:∵BD,BE分别是∠ABC,∠ABP的平分线, ∴∠ABD=∠ABC,∠ABE=∠ABP. ∴∠ABD+∠ABE=(∠ABC+∠ABP)=90°, 即∠EBD=90°. 又∵AE⊥BE,AD⊥BD, ∴∠AEB=∠ADB=90°. ∴四边形AEBD是矩形. 探究与应用 判定矩形的常用思路 理 思路 (1)四边形 矩形; (2)平行四边形 矩形; (3)平行四边形 矩形; (4)四边形 矩形. 探究与应用 应用三　实际生活中判定矩形 例3 (教材典题改编)如图1-2-16,小红和小明检查某个房间刚安装的门框是不是矩形,采用了不同的方法. (1)小红只需要用到一个直角尺,她会怎样测量?依据是什么? 图1-2-16 解:测量门框的三个角是否都为直角.若都是,则可以肯定门框是矩形.依据是有三个角是直角的四边形是矩形. 探究与应用 (2)小明仅有一根较长的绳子,他该怎样检查?依据是什么? 解:先用绳子测量门框的对边是否相等,若相等,则可判定其为平行四边形;然后再用绳子测量门框的对角线是否相等,若相等,则可肯定门框是矩形.依据是对角线相等的平行四边形是矩形. 图1-2-16 探究与应用 [本课时认知逻辑] 矩形 平行四边形 四边形 判定 计算与证明 方法 定义法 对角线 相等法 三角为 直角法 课堂小结与检测 [检测]　 1.如图1-2-17,在平行四边形ABCD中,有下列条件:①AC=BD;②AB=AD;③∠1=∠2;④AB⊥BC.能说明平行四边形ABCD是矩形的是　　　　(填序号).  图1-2-17 ①④ 课堂小结与检测 2.木工师傅做一个矩形桌面,量得桌面的一组对边长为15 cm,另一组对边长为8 cm,对角线长为17 cm,则这个桌面            (填“合格”或“不合格”).  合格 课堂小结与检测 3.如图1-2-18,△ABC是直角三角形,BO是它的斜边AC上的中线,延长BO至点D,使DO=BO,连接AD,DC.求证:四边形ABCD是矩形. 证明:∵在Rt△ABC中,BO为斜边的中线, ∴AO=CO=BO. 又∵BO=DO,∴AO=CO=BO=DO. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AC=2AO=2BO=DB,∴四边形ABCD是矩形. 图1-2-18 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$