1.2　第1课时　矩形的定义及性质课件-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

九年级 上册 北师版 数学 2　第1课时　矩形的定义及性质 第一章 特殊平行四边形 - 2　第1课时　矩形的定义及性质 探究与应用 课堂小结与检测 第一章　特殊平行四边形 探究一　矩形的定义及性质 [观察发现] (1)下面图片中都含有一些特殊的平行四边形.观察这些特殊的平行四边形,你能发现它们具有什么样的共同特征? 图1-2-1 解:共同特征:有一个角是直角.(合理即可) 探究与应用 (2)如图1-2-2,拉动平行四边形较短的一边,会出现有一个内角为90°的情况吗? 图1-2-2 解:会出现. 探究与应用 [概括新知] 矩形的定义:有一个角是　　　　的平行四边形叫做矩形. 直角 探究与应用 [操作发现] 用矩形纸片折一折,想一想: (1)矩形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质,请你列举出这些性质; 解:矩形的两组对边分别平行且相等,对角线互相平分,对角相等,是中心对称图形. 探究与应用 (2)矩形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴? (3)你认为矩形还具有哪些特殊的性质? 解:(2)矩形是轴对称图形.它有两条对称轴,对称轴是过每一组对边中点的直线. (3)矩形具有的特殊性质:①矩形的四个角都是直角;②矩形的对角线相等. 探究与应用 [推理证明] 已知:如图1-2-3,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O. 图1-2-3 探究与应用 求证:(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°; 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等), AB∥DC(矩形的对边平行). ∴∠ABC+∠BCD=180°. 又∵∠ABC=90°, ∴∠BCD=90°. ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. 图1-2-3 探究与应用 (2)AC=DB. 解:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC(矩形的对边相等). 在△ABC和△DCB中, ∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB, ∴△ABC≌△DCB. ∴AC=DB. 图1-2-3 探究与应用 细 归纳 矩形的角、边、对角线的性质 (1)角:各角相等,都是90°; (2)边:对边平行且相等,邻边互相垂直; (3)对角线:矩形的对角线互相平分且相等. 探究与应用 [概括新知] 1.矩形的对称性: (1)矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,分别是过每组对边 　　　　的直线;  (2)矩形是中心对称图形,对称中心是两条　　　　的交点.  2.矩形的性质定理: (1)性质定理1:矩形的四个角都是　　　　;  (2)性质定理2:矩形的对角线　　　　.  中点 对角线 直角 相等 探究与应用 细 琢磨 (1)因为矩形的四个角都是直角,所以通常将矩形问题转化为直角三角形问题,利用勾股定理等知识解决; (2)因为矩形的对角线把矩形分成四个小的等腰三角形,所以也常利用等腰三角形的相关知识解决有关问题. 探究与应用 应用一　利用矩形的性质进行计算或证明 例1 如图1-2-4,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O. (1)若∠AOD=120°,AB=2.5,求这个矩形对角线的长; 图1-2-4 解:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角), AC=BD(矩形的对角线相等), OA=OC=AC,OB=OD=BD(矩形的对角线互相平分). ∴OA=OD. 探究与应用 ∵∠AOD=120°, ∴BD=2AB=2×2.5=5. ∴∠ODA=∠OAD=(180°-120°)=30°. 探究与应用 (2)若AC=2AB,求证:△AOB是等边三角形; 图1-2-4 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD(矩形的对角线相等), OA=AC,OB=BD(矩形的对角线互相平分). ∴OA=OB. ∵AC=2AB,∴OA=OB=AB. ∴△AOB是等边三角形. 探究与应用 (3)若OA=4,∠ACB=30°,求BC的长. 图1-2-4 解:∵四边形ABCD是矩形, ∴OA=AC,∠ABC=90°. ∴AC=2OA=8. 又∵∠ACB=30°, ∴AB=AC=4. ∴BC==4. 探究与应用 探究二　直角三角形斜边上的中线的性质 [观察发现] (1)如图1-2-5,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E,那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?它与AC有什么大小关系? (2)由此你能得到的结论是            　　　　　　.  图1-2-5 解:(1)BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线, BE=AC. 直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 探究与应用 [推理证明] 证明[观察发现](2)问中得到的结论.(写出已知、求证,并进行证明) 解:已知:如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BE为AC边上的中线. 求证:BE=AC. 证明:如图,过点A作AD∥BC,交BE的延长线于点D,连接CD. A B C E D 探究与应用 ∵AD∥BC,∴∠EAD=∠ECB. ∵E为AC的中点,∴AE=CE. 又∵∠AED=∠CEB, ∴△AED≌△CEB(ASA). ∴BE=DE,AD=CB. 又∵AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形. 又∵∠ABC=90°,∴▱ABCD为矩形.∴AC=BD. ∴BE=BD=AC. 探究与应用 [概括新知] 直角三角形斜边上的中线的性质:直角三角形斜边上的中线 等于斜边的　　　　.  一半 探究与应用 直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形,且这两个等腰三角形的面积相等. 得 结论 探究与应用 应用二　利用直角三角形斜边上的中线的性质解题 例2 如图1-2-6,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的 中线. (1)若∠ACD=25°,则∠B的度数是 　　　;  (2)若CD=BC=2,则AC=　　　　;  (3)若AC=8,BC=6,则△ACD的面积为　　　.  图1-2-6 65° 2 12 探究与应用 由中点构造直角三角形斜边上的中线 已知:如图1-2-7,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点.求证:MN⊥BD. 【延伸拓展】 图1-2-7 证明:连接BM,DM. ∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点, ∴BM=DM=AC. 又∵N是BD的中点,∴MN⊥BD. 探究与应用 若已知直角三角形斜边的中点,常连接中点与直角顶点,构成直角三角形斜边上的中线,借助中线的性质解题. 得 方法 探究与应用 [本课时认知逻辑] 特殊平行 四边形 实际问题 计算与 证明 直角三角形斜边 上的中线的性质 性质 对称性 边 角 对角线 逐 一 探 究 矩形 分析 猜想 验证 拓展 应用 抽象 解释 课堂小结与检测 [检测]　 1.如图1-2-8,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=54°,D是AB的中点,则∠BCD=　　　　°.  图1-2-8 36 课堂小结与检测 2.如图1-2-9,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AO,AD的中点,连接EF,若AB=6 cm,EF=2.5 cm,求矩形ABCD的周长. 解:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=90°,BD=AC,BO=OD. ∵E,F分别是AO,AD的中点, ∴EF是△ADO的中位线. 图1-2-9 课堂小结与检测 ∵EF=2.5 cm, ∴OD=5 cm, ∴BD=AC=10 cm. 在Rt△ABC中,∵AB=6 cm, ∴BC==8(cm), ∴矩形ABCD的周长=2(AB+BC)=2×14=28(cm). 课堂小结与检测 3.如图1-2-10,在矩形ABCD中,点E,F在对角线BD上,BE=DF.求证:AE=CF. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF. 在△ABE和△CDF中, ∵AB=CD,∠ABE=∠CDF,BE=DF, ∴△ABE≌△CDF(SAS), ∴AE=CF. 图1-2-10 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$