精品解析：河北省唐山市第二中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

唐山二中2023-2024学年度第一学期期中考试高一（数学）学科试卷 考试时间：120分钟 总分：150分钟 出题人：高一全体数学教师 出题人审核签字：田晓辉 一、单选题（在每个题给出的选项中，只有一项符合题目要求每题5分，共8题40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求函数的定义域求得集合，进而求得. 【详解】由解得，所以， 所以，所以. 故选：D 2. 已知命题，则它的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论， 所以命题的否定为. 故选：B. 3. 已知，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数单调性、对数函数单调性即可求解. 【详解】因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以有， 所以大小关系是. 故选：C. 4. 在同一坐标系中，函数与（>0且≠1）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当a＞1时，直线y=ax+1的斜率大于1，函数y=a|x-1|（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上是增函数，选项C满足条件． 当1＞a＞0时，直线y=ax+1的斜率大于0小于1，且过，函数y=a|x-1|（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上是减函数，没有选项满足条件． 故选C． 5. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集性质，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以有， 由，或， 故选：A 6. 已知函数若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】研究分段函数的单调性，先分别研究各段函数的单调性为递增，在比较端点左边的函数值小于端点右边函数值，得到整个函数在上单调递增，由函数单调性和函数值的不等关系得到自变量的不等关系，从而得出的取值范围. 【详解】化简得到， ∴函数在区间上单调递增， ∵，∴在区间单调递减，∴函数在区间上单调递增， 又因为，∴函数在区间上单调递增， ∵， ∴，∴. 故选：B. 7. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟，那么水温从℃降至45℃，大约还需要（ ）（参考数据：） A. 11分钟 B. 10分钟 C. 9分钟 D. 8分钟 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可得，再设水温从℃降至45℃，需要的时间为分钟，可得关于的方程，利用对数的运算性质及换底公式，即可求解. 【详解】有题意知℃，因为一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟， 所以，即； 设水温从℃降至45℃，需要的时间为分钟， 所以，即， 所以， 所以， 所以水温从℃降至45℃，大约还需要10分钟. 故选：B. 8. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据函数与方程的关系，将问题转化为函数求交点，利用数形结合的思想，可得答案. 【详解】由方程有三个不同的实数根，等价于函数的图象与直线有三个不同的交点． 画出函数的图象如图所示，且当时，函数的图象以为渐近线． 结合图象可得当的图象与直线有三个不同的交点，故若方程有三个不同的实数根，实数的取值范围是． 故选：A． 二、多选题（每题5分，共4题20分，在每个题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 终边在y轴上的角的集合为 B. 若是第二象限角，则是第一或第三象限角 C. 三角形的内角必是第一或第二象限角 D. 已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为4. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，根据终边在y轴上的角的集合为，即可判断选项A错误；对于选项B，先求出角的范围，再求出的范围，即可判断出选项B正确；对于选项C，易知三角形为直角三角形时，选项C错误；对于选项D，利用扇形面积公式和弧长公式，即可求出弧长，从而判断选项D正确； 【详解】选项A，终边在y轴上的角的集合为，故选项A错误； 选项B，因为是第二象限角，所以，故， 当时，，此时，是第一象限角， 当时，，此时，是第三象限角，故选项B正确； 选项C，三角形为直角三角形时，因为直角不是象限角，故选项C错误； 选项D，由扇形面积公式知，，即，所以弧长,故选项D正确. 故选：BD. 10. 已知幂函数的图象与x轴和y轴都没有交点，且关于y轴对称，则m的值可以为（ ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据幂函数的图象特征可得满足的不等式以及的奇偶性，从而可求m的值. 【详解】∵幂函数的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称， ∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3()为偶数， 由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又，∴m＝－1,0,1,2,3. 当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意； 当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意； 当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意； 当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意； 当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意． 综上所述，m＝－1,1,3. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：幂函数的图象特征取决于的正负，当时，图象过；当时，图象过且与坐标轴没有交点，而奇偶性取决有理数的形式（看有理数的分母的奇偶性和分子的奇偶性）. 11. 已知为正实数，满足，则下列判断中正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】CD 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断． 【详解】A．令，则， 在上单调递增，没有最小值，A错误； B． 因为，则，当且仅当时取等号，即的最大值为，B错误； C．因为，为正实数，满足， 则，当且仅当时取等号，C正确； D．因为， 所以， 当且仅当且，即，时取等号， 又，D正确． 故选：CD． 12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 【答案】BC 【解析】 【分析】计算出和的值后结合奇偶性定义可判断A，由奇偶性定义判断B，由复合函数的单调性判断C，确定出的取值范围后得出的值域判断D． 【详解】根据题意知，． ∵， ， ， ∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误； ， ∴是奇函数，B正确； ∵在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确； ∵，∴，， ∴， ∴，D错误． 故选：BC． 三、填空题（每题5分，共4小题共20分） 13. 已知且，若函数的图象经过定点，则定点坐标______． 【答案】 【解析】 【分析】根据求函数图象经过的定点坐标. 【详解】由，此时. 所以函数的图象过定点. 故答案为： 14. 函数的单调增区间为______． 【答案】（也对） 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数的单调性同增异减来求得单调增区间. 【详解】由得， 解得，所以的定义域是. 函数的开口向下，对称轴为， 函数在上单调递减， 根据复合函数的单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故答案为：（也对） 15. 已知函数，且，则______． 【答案】-3 【解析】 【分析】令，得到，故，求出. 【详解】令， 则， 故， 所以， 因为，所以. 故答案为：-3 16. 已知函数，对且都有恒成立，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】结合已知将问题转化为恒成立问题求参数的取值范围. 【详解】由， 因为，所以. 又对，恒成立，所以. 故答案为：. 四、解答题（本题共6小题，共70分） 17. 计算下列各式的值: （1）; （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将化为，再根据指数的运算性质即可求解; （2）根据对数的运算性质和换底公式求解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 18. 已知集合，集合． （1）若，求的取值范围； （2）若非空，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由题可得，据此可得答案； （2）注意到，又非空，即A不为空集，A中有元素在B中，据此可得答案. 【小问1详解】 由已知有， 故的取值范围是． 【小问2详解】 由已知，集合，非空，则， 解得，故的取值范围． 19. 已知二次函数满足． （1）求函数的解析式； （2）若， ①若使得成立，求的取值范围； ②当时，求的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设，待定系数法得到方程组，求出，得到解析式； （2）①参变分离得到在有解，由单调性得到，求出； ②，开口向上，对称轴为，分，和三种情况，得到最大值，求出答案. 【小问1详解】 设， ， 得， 所以． 【小问2详解】 ①， 则在有解，即在有解， 又在单调递增，则，． ②，， 开口向上，对称轴为， 当，即时，相比，2和对称轴的距离更大， 故， 当，即时，相比，和对称轴的距离更大， 故， 当，即，与对称轴的距离相等，可以合并到前两者之一中， 故. 20. 已知函数 为偶函数. （1）求实数的值； （2）解关于的不等式 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值； （2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 函数为偶函数, ，即， ， ； 【小问2详解】 ， 当时，在单调递增， 在上单调递增， 又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减 ， ， 解得或， 所以所求不等式的解集为。 21. 某企业开发、生产了一款新型节能环保产品，对市场需求调研后，决定提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元． （1）写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； （2）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理． 根据方案一、方案二分别求出总利润，并选择哪种处理方案更合适？请说明理由． 【答案】（1），第3年 （2）方案一、方案二总利润都是170万元，应选择第二种方案更合适，理由：方案一：由（1）得，， 当时，， 所以方案一总利润为万元，此时. 方案二：由（1）得，， 当且仅当，即时，等号成立． 故方案二总利润为万元，此时． 比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适． 【解析】 【分析】（1）由题意写出关于的函数表达式，由求得的取值范围，即可得到答案. （2）利用配方法求最值得到方案一的总盈利额，利用基本不等式求出的最大值，得到方案二的总盈利额，可得两种方案获利都是170万元，再结合获得最大利润的年限得结论. 【小问1详解】 由题意得， ， 由，得，即， 解得， 故该设备从第3年开始使企业盈利. 【小问2详解】 略 22. 已知函数且的图象经过点，且函数为奇函数 （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在定义域上的单调性； （3）若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】（1），， （2）在上单调递增；证明如下： 设，则， 因为，，， 所以，于是在上单调递增； （3）． 【解析】 【分析】（1）将代入可得解析式，利用结合可得解析式； （2）证明当时，即可； （3）不等式可化简为，后令，结合双沟函数单调性可得答案. 【小问1详解】 由题意，过点，即，解得， 所以，． 为上的奇函数，，解得，即， 其定义域为，关于原点对称， 且 ，故此时为奇函数； 【小问2详解】 在单调递增.证明略； 【小问3详解】 由在区间上恒成立， 得，即， 令，，则， 令，，设，， 根据对勾函数单调性知在上单调递减， 而为单调递增函数，则根据复合函数单调性知： 在上单调递减，， 若关于的不等式在区间上恒成立，则， 又为正实数，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山二中2023-2024学年度第一学期期中考试高一（数学）学科试卷 考试时间：120分钟 总分：150分钟 出题人：高一全体数学教师 出题人审核签字：田晓辉 一、单选题（在每个题给出的选项中，只有一项符合题目要求每题5分，共8题40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则它的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 在同一坐标系中，函数与（>0且≠1）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟，那么水温从℃降至45℃，大约还需要（ ）（参考数据：） A. 11分钟 B. 10分钟 C. 9分钟 D. 8分钟 8. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共4题20分，在每个题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 终边在y轴上的角的集合为 B. 若是第二象限角，则是第一或第三象限角 C. 三角形的内角必是第一或第二象限角 D. 已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为4. 10. 已知幂函数的图象与x轴和y轴都没有交点，且关于y轴对称，则m的值可以为（ ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 11. 已知为正实数，满足，则下列判断中正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最大值 12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 三、填空题（每题5分，共4小题共20分） 13. 已知且，若函数的图象经过定点，则定点坐标______． 14. 函数的单调增区间为______． 15. 已知函数，且，则______． 16. 已知函数，对且都有恒成立，则的取值范围是______． 四、解答题（本题共6小题，共70分） 17. 计算下列各式的值: （1）; （2）. 18. 已知集合，集合． （1）若，求的取值范围； （2）若非空，求的取值范围． 19. 已知二次函数满足． （1）求函数的解析式； （2）若， ①若使得成立，求的取值范围； ②当时，求的最大值. 20. 已知函数 为偶函数. （1）求实数的值； （2）解关于的不等式 . 21. 某企业开发、生产了一款新型节能环保产品，对市场需求调研后，决定提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元． （1）写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； （2）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理． 根据方案一、方案二分别求出总利润，并选择哪种处理方案更合适？请说明理由． 22. 已知函数且的图象经过点，且函数为奇函数 （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在定义域上的单调性； （3）若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $