1.1第1课时　菱形的定义及性质课件-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

九年级 上册 北师版 数学 1　第1课时　菱形的定义及性质 第一章 特殊平行四边形 - 1　第1课时　菱形的定义及性质 探究与应用 课堂小结与检测 第一章　特殊平行四边形 探究　菱形的定义及性质 [观察发现] (1)下面图片中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形,它们具有什么样的共同特征? 图1-1-1 解:一组邻边相等(答案合理即可). 探究与应用 (2)如图1-1-2,沿▱ABCD中AD方向,平移▱ABCD较短的一边(AB边),新形成的平行四边形(实线部分)会出现一组邻边相等的情况吗? 图1-1-2 解:会出现. A B C D 探究与应用 [概括新知] 菱形的定义:有一组　　　　相等的平行四边形叫做菱形.  邻边 探究与应用 [操作发现] 用菱形纸片折一折,量一量,与同伴讨论并回答下列问题: (1)菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质,请列举出这些性质; 解:菱形的两组对边分别平行且相等,两组对角分别相等,两条对角线互相平分,是中心对称图形. 探究与应用 (2)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系? (3)菱形中有哪些相等的线段? (4)菱形的对角线除互相平分外还有什么关系? 解:(2)菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,分别是两条对角线所在的直线,两条对称轴互相垂直. (3)菱形的四条边相等. (4)菱形的对角线互相垂直. 探究与应用 [推理证明] 如图1-1-3,在菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1)AB=BC=CD=AD; 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=CD,AD=BC(菱形的对边相等). 又∵AB=AD, ∴AB=BC=CD=AD. 图1-1-3 探究与应用 (2)AC⊥BD. 证明: ∵AB=AD,∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形, ∴OB=OD(菱形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABD中, ∵OB=OD, ∴AO⊥BD,即AC⊥BD. 探究与应用 菱形是特殊的平行四边形,它的对边平行且相等,对角相等,邻角互补,对角线互相垂直平分,周长等于边长的4倍. 深 挖掘 探究与应用 [概括新知] 菱形的性质: (1)对称性:菱形既是　　　　对称图形,又是　　　　对称 图形.  (2)性质定理:①菱形的四条边　　　　;②菱形的对角线互 相　　　　.  轴 中心 相等 垂直 探究与应用 应用　利用菱形的性质进行计算或证明 例1 (教材典题)如图1-1-4,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠BAD=60°,BD=6,求菱形的边长AB和对角线AC的长. 图1-1-4 探究与应用 解:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD(菱形的四条边相等), AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直), OB=OD=BD=×6=3(菱形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABD中, ∵∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形. ∴AB=BD=6. 探究与应用 在Rt△AOB中,由勾股定理,得 OA2+OB2=AB2, ∴OA==3. ∴AC=2OA=6(菱形的对角线互相平分). 探究与应用 如果菱形的一个内角为60°,那么这个菱形的两边与较短对角线构成等边三角形,且此时两条对角线把菱形分成四个全等的含30°角的直角三角形. 细 琢磨 探究与应用 变式1 如图1-1-5,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠DAC=30°,则∠ABC=　　　　°.  图1-1-5 120 探究与应用 变式2 如图1-1-6,已知菱形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,∠BCD=120°,则AO的长为　　　　.  图1-1-6 2 探究与应用 变式3 如图1-1-7,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=24,BD=10,则菱形ABCD的周长为　　　　.  图1-1-7 52 探究与应用 例2 如图1-1-8,四边形ABCD是菱形,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F. (1)求证:△ADE≌△CDF; 证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,∠DAE=∠DCF. ∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°. 在△ADE和△CDF中, ∵∠AED=∠CFD,∠DAE=∠DCF,AD=CD, ∴△ADE≌△CDF(AAS). 图1-1-8 探究与应用 (2)连接AC,分别交DE,DF于点M,N,求证:AM=CN. 证明:由(1)知△ADE≌△CDF,∴AE=CF. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=CB,∴∠MAE=∠NCF. 在△AME和△CNF中, ∵∠MAE=∠NCF,AE=CF,∠AEM=∠CFN=90°, ∴△AME≌△CNF(ASA), ∴AM=CN. 图1-1-8 探究与应用 利用菱形的轴对称性求最值 如图1-1-9,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AD的中点, P是对角线AC上的一个动点,则PE+PD的最小值为 (　　) A.1 B. C.2 D. 【延伸拓展】 图1-1-9 B 探究与应用 建 模型 有关动点同侧两点到动点的两条线段和的最小值问题,通常以动点所在的直线为对称轴,将同侧两点转换成对称轴异侧两点,再借助“两点之间,线段最短”求得两条线段和的最小值. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 几何图形 实际 问题 计算与证明 菱形概念 菱形性质 对称性 边 角 对角线 分析 猜想 验证 观察发现 应用 抽象 解释 逐 一 探 究 课堂小结与检测 [检测]　 1.如图1-1-10,AC,BD是菱形ABCD的对角线,若∠BAC=50°,则∠ADB=　　　　°.  40 图1-1-10 课堂小结与检测 2.如图1-1-11,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.已知AB=5 cm,AO=4 cm,则BD的长为　　　　.  图1-1-11 6 cm 课堂小结与检测 3.如图1-1-12,E是菱形ABCD的边BC延长线上的一点,AC是对角线,∠BAC∶∠ACE=2∶7,求∠B的度数. 解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC, ∴∠BAC=∠BCA. ∵∠BAC∶∠ACE=2∶7,∠BCA+∠ACE=180°, ∴∠BAC+∠ACE=180°, ∴∠BAC=40°, ∴∠B=180°-40°-40°=100°. 图1-1-12 课堂小结与检测 4.如图1-1-13,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若∠BAD+∠BCD=120°,AC=2,求菱形ABCD的周长. 图1-1-13 解:∵四边形ABCD是菱形,AC是对角线, ∴∠BAD=∠BCD,∠DAO=∠BAD, AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,AO=AC=. ∵∠BAD+∠BCD=120°, ∴∠BAD=∠BCD=60°. 课堂小结与检测 ∴∠DAO=∠BAD=30°. ∴DO=AD. 再由AD2=AO2+DO2,可得AD=2. ∴菱形ABCD的周长为2×4=8. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$