北京市重点校2024－2025学年八年级下学期期中数学汇编：一次函数（京改版）（解答题）2

2024北京重点校初二（下）期中数学汇编 一次函数（京改版）（解答题）2 一、解答题 1．（2024北京通州初二下期中）对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：，分别为图形和图形上任意一点，将，两点间距离的最小值称为图形和图形之间的“关联距离”，记作．例如，如图①，点与轴之间的“关联距离”． (1)如图②，已知点和点，则______； (2)如图③，已知点，，，点是轴正半轴上一点，若，求点的坐标； (3)已知，，当时，对于每一个的值，若线段和一次函数（是常数，）的图像之间的“关联距离”，请直接写出的取值范围． 2．（2024北京通州初二下期中）已知函数． (1)如果点在该函数的图象上，求的值； (2)求出这个函数的图象与轴，轴的交点坐标． 3．（2024北京西城初二下期中）把一次函数（k、b为常数，）．在y轴右侧的图像沿y轴向左翻折，与原来在y轴及右侧的图像组合，得到一个新的函数图像，这个新函数的解析式为（k、b为常数，）．例如：的图像如图①所示． (1)请在图②中画出函数的图像，并直接写出该图像与y轴交点A的坐标_________； (2)若函数的图像与y轴交于点C，与函数的图像交于B，D两点（点B在点D的右侧），求四边形的面积； (3)已知函数与函数，若对于，都有，直接写出k的取值范围． 4．（2024北京西城初二下期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点C是x轴上一点，且的面积为3，求点C的坐标． 5．（2024北京东城初二下期中）阅读：将一个量，用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理．在学习第十七章勾股定理时，我们就是利用“算两次”原理，用不同的方式表示同一图形的面积，探究出了勾股定理． (1)【问题探究】 小明尝试用“算两次”原理解决下面的问题： 如图1，在中，，求斜边边上的高的值． 小明用两种方法表示出的面积： ①； ②． 图1 由勾股定理，得斜边的长度为5，由此可以算出______． (2)【学以致用】 如图2，在矩形中，，点是边上任意一点，过点作，垂足分别为．则可以运用“算两次”原理，用不同的方式表示的面积，求出的值为______． 图2 (3)【拓展延伸】 如图3，已知直线与直线相交于点，且这两条直线分别与轴交于点．在线段上有一点，且点到直线的距离为4，请利用以上所学的知识求出点的坐标． 图3 6．（2024北京房山初二下期中）小强从家骑自行车去体育场，在那里锻炼了一段时间后又骑自行车到文具店去买笔，然后骑自行车回家，小强离家的距离与所用的时间的函数关系如图所示． 观察图象，解答下列问题： (1)小强到达离家最远的地方用了______； (2)小强出发后离家______； (3)求小强从家出发后，经过多长时间离家． 7．（2024北京东城初二下期中）在平面直角坐标系中，某一次函数的图象是由直线平移得到的且经过点，交轴于点． (1)求此一次函数的表达式； (2)若点为此一次函数图象上一点，且的面积为6，求点的坐标． 8．（2024北京东城初二下期中）如图，在等腰中，．点为的中点，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止，过点作，交于点．设点运动的路程为，点的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)解决问题：当点的距离恰好是点运动的路程的2倍时，点的距离是______． 9．（2024北京十一实验中学初二下期中）已知直线经过点，． (1)求直线的解析式； (2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标； (3)根据图象，写出关于x的不等式的解集． 10．（2024北京清华附中初二下期中）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以龙的十二生肖专属汉字“辰”为名．设计灵感以中华民族龙图腾的代表性实物，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某网店从工厂购进大号、中号两种型号的“龙辰辰”，已知每个大号“龙辰辰”进价比中号“龙辰辰”多15元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元． (1)求大号、中号两种型号的“龙辰辰”的进价． (2)该网点准备购进两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半．中号“龙辰辰”定价60元，大号“龙辰辰”的定价比中号多．当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？ 11．（2024北京一七一中学初二下期中）“白银2号”种子的价格是元/kg，如果一次性购买kg以上的种子，则超过kg部分的种子价格打折．购买种子所需的付款金额y（单位：元）与购买量x（单位：kg）之间的函数关系如图所示： (1)根据图象，求当购买种子超过kg时，付款金额y（单位：元）关于购买量x（单位：kg）的函数关系式； (2)当顾客付款金额为元时，求此顾客购买了多少种子？ 12．（2024北京清华附中初二下期中）如图，直角梯形的顶点的坐标分别为、和． (1)求点D的坐标； (2)抛物线过原点O与点，且对称轴为过点与y轴平行的直线，求抛物线的函数关系式； (3)在（2）中的抛物线上是否存在一点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2024北京东直门中学初二下期中）有这样一个问题：探究函数 的图象与性质．小青根据学习函数的经验，对该函数的图象与性质进行了探究，下面是小青的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 　 　． (2)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 2 1 0 0 1 m … 写出表中m的值 　 　； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；    (4)根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质． 14．（2024北京东直门中学初二下期中）白河堡是北京海拔最高的水库，位于延庆区香营乡北部，得名于明代要塞靖安堡，因靖安堡扼守白河峡谷，俗名白河堡．水文站记录了白河堡水库某次蓄水过程中，水位在4小时内持续上涨的情况，水位高度（单位：）与时间（单位：）之间满足一次函数关系，其中．下表是与的四组对应值． 0 1 2 4 3 4 5 回答下列问题： (1)求水位上涨过程中，与之间的函数表达式； (2)若水位按照这种规律再上涨2小时，请利用（1）中的函数计算此时水位的高度是多少米？ 15．（2024北京和平街第一中学初二下期中）【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中，求证： 证明： ，故 【新知理解】 （1）比较大小：__________．（填“”，“＝”，“”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示（为正整数），其面积分别为，．请比较，的大小关系．    【拓展应用】 （3）请用“作差法”解决下列问题： 某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A，B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打9折收费；B方案：前5次按照原价收费，从第6次起每次打8折．请问游泳的学生选择哪种方案更合算？ 16．（2024北京和平街第一中学初二下期中）“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人．”深圳南山的荔枝以肉厚多汁深受大众的喜爱．某超市用2000元购进一批桂味荔枝和用3000元购进糯米糍荔枝的千克数相同，已知每千克糯米糍荔枝价格比每千克桂味荔枝的价格多10元． (1)求桂味荔枝、糯米糍荔枝每千克的进货价格； (2)这两种荔枝销售很好，超市决定再进这两种荔枝共300千克，且糯米糍荔枝的数量不超过桂味荔枝数量的2倍，桂味荔枝以25元/千克销售，糯米糍荔枝以38元/千克销售，请问桂味、糯米糍荔枝各进货多少千克时获得利润最大？最大利润是多少元？ 17．（2024北京清华附中初二下期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线：与x轴交于点，与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若点M为x轴上一动点，过点作垂直于x轴的直线，与直线交于点Q．若，请直接写出所有符合题意的点Q的坐标． 18．（2024北京汇文中学初二下期中）已知点E和图形G，Q为图形G上一点，若存在点P，使得点E为线段的中点（P，Q不重合），则称点P为图形G关于点E的双倍点． 如图，在平面直角坐标系中，点，，，． (1)若点E的坐标为，则在，，，是四边形关于点E的双倍点的是______； (2)点N的坐标为，若在二四象限角平分线上存在四边形关于点N的双倍点，直接写出t的取值范围； (3)点M为四边形边上的一个动点，平行于二、四象限角平分线的直线交x轴于点，与y轴交于点，若线段上的所有点均可成为四边形关于M的双倍点，直接写出b的取值范围． 19．（2024北京房山初二下期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点，且与函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 20．（2024北京十一学校初二下期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移2个单位长度得到． (1)直接写出一次函数的解析式___________； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求出m的取值范围． 21．（2024北京第101中学初二下期中）一次函数的图像与轴交于点，且经过点． (1)当时，求一次函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 22．（2024北京第一六六中学初二下期中）水龙头关闭不严会造成滴水．下表记录了30min内7个时间点的漏水量，其中t表示时间，y表示漏水量． 时间t/min 0 5 10 15 20 25 30 漏水量y/mL 0 15 30 45 60 75 90 解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点连线； (2)结合表中数据写出滴水量y关于时间t的函数解析式______（不要求写自变量的取值范围）； (3)在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算一天的漏水量约为______mL． 23．（2024北京交大附中初二下期中）一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点． （1）求一次函数的表达式； （2）画出一次函数的图象； （3）结合图象解答下列问题： ①当时，的取值范围是___________； ②当时，的取值范围是___________； 24．（2024北京清华附中初二下期中）已知y与x﹣3成正比例，当x=4时，y=3． ①求这个函数解析式． ②求当x=3时，求y的值． 25．（2024北京十一实验中学初二下期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与x轴交于点． （1）分别求直线和的表达式； （2）过动点且垂直于轴的直线与，的交点分别为C，D，当点C 位于点D左方时，请直接写出n的取值范围． 26．（2024北京清华附中初二下期中）已知一次函数，完成下列问题： （1）求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标； （2）画出此函数的图象；观察图象，当时，x的取值范围是 ； （3）平移一次函数的图象后经过点（-3，1），求平移后的函数表达式． 参考答案 1．(1) (2)或或 (3)且． 【分析】（1）根据“关联距离”的定义得：，勾股定理即可求解； （2）分三种情况画出图形：当在上方时，的坐标是；当在线段上时，过作，可得；当在上方时，； （3）求出直线过定点，当时，，，当时，，，直线过，时，分别求得的值，进而根据新定义，得出直线与平行四边形无公共点，结合图形，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， 故答案为：． （2）解：如图所示，点是轴正半轴上一点， 当在点上方时，，即点到点的距离为， ∴， 当在上方时，即点到的距离为， ∴， ∵点，，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， 则平分，则到的距离相等， 过点作，则是等腰直角三角形， ∵，此时点到的距离为，即， ∴， ∴， 综上所述，或或； （3）解：如图所示， 当时，， 直线过定点， 当时，，， 当时，，， 把代入得：， 解得， 把代入得：， 解得， 线段和一次函数（是常数，）的图像之间的“关联距离”， ∴直线与平行四边形无公共点， 由图可知，此时． ∵ ∴且 故答案为：且． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，等腰直角三角形，平行四边形，勾股定理，解题的关键是分类讨论思想和数形结合思想的应用． 2．(1) (2)这个函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为 【分析】本题考查了一次函数的性质，求一次函数图象与坐标轴的交点． （1）将点代入，即可求解． （2）将，代入，求出的值，即得出这个函数的图象与轴的交点；将，代入，求出的值，即得出这个函数的图象与轴的交点，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， ， 解得：； （2）当时，， 这个函数的图象与轴的交点为； 当时，即， 解得： 这个函数的图象与轴的交点为． 3．(1)见详解， (2)3 (3)或 【分析】本题主要考查了含绝对值的一元一次函数图像以及性质，利用两函数求一元一次不等式的解集． （1）先求出当时，，当时，，即可画出函数右边的图像，然后y轴右侧的图像沿y轴向左翻折即可得出的图像，再根据函数图像写出点A的坐标即可． （2）分别求出点B，点C，点D的坐标，即可求四边形的面积． （3）分两种情况，当时和当时，分别解出关于k的不等式解题即可． 解不等式即可求解． 【详解】（1）解： 当时，，当时，， ∴函数的图像如下： ∴点 故答案为：． （2）令则， ∴， 令， 解得：，， ，， ∴，， ∴． （3）①当时， ， 解得：， ②当时， ， 若，则， ∵， ∴，解得：， 那么，， 若时，则， ∵， ∴，解得：， 那么，， 综上所述，k的取值范围为：或． 4．(1) (2)或 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，坐标与图形面积： （1）利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）设点C的坐标为，则，再根据三角形的面积公式可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：把点和代入得： ，解得：， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：设点C的坐标为，则， ∵的面积为3， ∴， 解得：或2， ∴点C的坐标为或． 5．(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，解题的关键是读懂题意，用两种不同的方法表示同一个三角形的面积． （1）根据题意，得即可； （2）连接，过点作于点，，求出，再根据即可； （3）过作于，过作于，连接，根据即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ， 故答案为：； （2） 解：连接，过点作于点， 在矩形中，， ，， ， 解得：， ， ， ， 故答案为：； （3）过作于，过作于，连接，如图： 在中，令得， ， 在中令得， ， 联立：， 解得：， ， ，， ，点到直线的距离为4， ， 解得，即的纵坐标为， 在中，令得， ． 6．(1)3 (2)20 (3)小强从家出发后，经过小时或小时距家． 【分析】此题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确地列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息． （1）根据分段函数的图象上点的坐标的意义可知：小明到达离家最远的地方需3小时； （2）运用待定系数法求出直线的解析式，把代入解析式即可； （3）分别利用待定系数法求直线的解析式和直线的解析式，分别令，求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知小明到达离家最远的地方需小时，此时他离家25千米； 故答案为：3 （2）解：设直线的解析式为，由、， 代入得：， 解得：， 故直线的解析式为：， 当时，． 即小强出发后离家； 故答案为：20 （3）解：设直线的解析式为， 由、，代入得 ， 解得：， 故直线的解析式为：， 设直线的解析式为， ， ∴， 令，则，， 解得：，， 答：小强从家出发后，经过小时或小时距家． 7．(1)此一次函数的解析式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴的交点、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设此一次函数的解析式为：，利用待定系数法求解即可； （2）求出，得到，设点，根据的面积为6得出，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：设此一次函数的解析式为：， 将代入解析式得：， 解得：， 此一次函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， ， ， 设点， 的面积为6， ， 解得：或， 当时，，即， 当时，，即， 综上所述，点的坐标为或． 8．(1) (2)图见解析，函数的最大值为 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，含角的直角三角形的性质，理解题意，正确求出函数解析式，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． （1）分两种情况讨论，根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据（1）中的解析式画出函数图象，结合函数图象即可得解； （3）分两种情况，分别建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：， ， 点为的中点， ， 当点在上运动时，， ， 由题意得：，则， ，， ， ； 当点在上运动时，， ， 由题意得：，则， ，， ， ； 综上所述，； （2）解：画出函数图象如图所示： ， 由图象可得，函数的最大值为； （3）解：当时，由题意得：， 解得：，此时； 当时，由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述：当点的距离恰好是点运动的路程的2倍时，点的距离是， 故答案为：． 9．(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息． （1）利用待定系数法把点A，点B代入可得关于k、b得方程组，再解方程组即可； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可； （3）根据C点坐标可直接得到答案． 【详解】（1）直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为：； （2）若直线与直线相交于点C， ． 解得， 点； （3）由（2）得， 根据图象可得不等式的解集为：． 10．(1)大号的“龙辰辰”的进价为55元，中号的“龙辰辰”的进价为元 (2)当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是元． 【分析】此题考查了一次函数、一元一次不等式、一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）设大号的“龙辰辰”的进价为x，则中号的“龙辰辰”的进价为元，根据2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元列方程，解方程即可得到答案； （2）设购进大号“龙辰辰”m个，则中号“龙辰辰”的个数为个，销售总利润为元，得到，再根据题意求出，根据一次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：设大号的“龙辰辰”的进价为x，则中号的“龙辰辰”的进价为元，则 解得， 则， 答：大号的“龙辰辰”的进价为55元，中号的“龙辰辰”的进价为元； （2）解：设购进大号“龙辰辰”m个，则中号“龙辰辰”的个数为个，销售总利润为元， 则， ∵大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半 ∴， ∴， ∵中，， ∴w随着m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时， ∴当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是元． 11．(1) (2)kg 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题关键． （1）设将点代入即可求解； （2）令即可求解． 【详解】（1）解：当时， 由图象可知y是x的一次函数，且过点 ∴设 则 解得： ∴； （2）解：根据图像可知当顾客付款金额为元时，购买数量大于， 令时， 解得：， ∴当顾客付款金额为元时，此顾客购买了种子． 12．(1) (2) (3)抛物线上存在一点，使得最小．理由见解析 【分析】（1）由题意可知点D与点C的纵坐标相同，点D的横坐标等于，据此可得出点D的坐标． （2）将原点坐标与点代入抛物线解析式，并联立对称轴方程，即可求得抛物线的函数关系式． （3）画图可看出抛物线经过梯形的内部，猜想存在一点P，正好经过梯形对角线的交点，使得最小，通过计算梯形对角线交点的坐标并代入抛物线解析式进行验证，结论成立． 【详解】（1）解：由直角梯形与，，可知， ，点D与点C的纵坐标相同，均为3． 由点知，又， ∴点D的横坐标为：． ∴点． （2）解：根据题意得：， 解得：， ∴抛物线的函数关系式是：． （3）解：如图，抛物线经过梯形的内部， 设直线的解析式为，将的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：．① 设直线的解析式为，将的代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：．② 联立①②，组成方程组：，解得：， 即：直线与直线的交点坐标是． 将点代入抛物线方程，等式左右两边相等， ∴点在抛物线上． 在抛物线任取一点， ∵， ∴， 即 故抛物线上存在一点，使得最小． 【点睛】本题考查了等腰梯形和平行线的性质，用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，三角形三边的之间关系等，运用数形结合的思想来解题是关键． 13．(1)全体实数 (2)2 (3)见解析 (4)当时，y随x增大而增大（答案不唯一） 【分析】（1）根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数； （2）把代入中求出y的值即可得到答案； （3）先描点，再连线即可得到答案； （4）根据所画的函数图象写出其对应的性质即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数； 故答案为：全体实数； （2）解：在中，当时，， ∴； 故答案为：2； （3）解：如图所示，即为所求；    （4）由函数图象可知，当时，y随x增大而增大（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数图象的性质，求自变量的取值范围，求函数值等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 14．(1) (2)再过2个小时，水位的高度为 【分析】（1）设一次函数的表达式为：．结合一次函数的图象经过点和，从而可得答案； （2）把代入函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为：． 一次函数的图象经过点和， 解方程组得 一次函数的表达式为：． （2）由题意可知：， ． 答：再过2个小时，水位的高度为． 【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，熟练的求解一次函数的解析式是解本题的关键． 15．（1）＜；（2）；（3）少于10次时选A方案，刚好10次时选AB方案都一样，多于10次时选B方案 【分析】（1）根据题中的方法作差解答； （2）先分别表示出两个平行四边形的面积，再利用作差法计算判断； （3）设原价为元，去的次数为（为正整数），总价分别为，元，分 （ⅰ）当时，（ⅱ）当时，分别计算判断． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）， ， ． 是正整数，， ，即． （3）设原价为元，去的次数为（为正整数），总价分别为，元． 由题意得：（ⅰ）当时，，是正整数， ，， 此时A方案合算． （ⅱ）当时，，， ． ，是正整数， ①当时，，此时方案A合算． ②当时，，此时方案A，B是一样的． ③当时，，此时方案B合算． 综上所述：少于10次时选A方案，刚好10次时选AB方案都一样，多于10次时选B方案． 【点睛】此题考查了作差法比较两个数的大小，一次函数的性质及应用，正确理解题意是解题的关键． 16．(1)桂味荔枝进货单价为20元/千克，糯米糍荔枝进货单价为30元/千克 (2)桂味荔枝进100千克，糯米糍荔枝进200千克时，商场获利最大为2100元 【分析】（1）设桂味荔枝的单价为元/千克，则糯米糍荔枝的单价为元/千克，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设桂味荔枝千克，则糯米糍荔枝千克，利润为元，根据题意列出一元一次不等式，表示出利润y，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设桂味荔枝的单价为元/千克，则糯米糍荔枝的单价为元/千克， 由题意得，， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ． 答：桂味荔枝进货单价为20元/千克，糯米糍荔枝进货单价为30元/千克． （2）设桂味荔枝千克，则糯米糍荔枝千克，利润为元． 由题意得：， ． ，随的增大而减小， 当时，（元） 千克 答：桂味荔枝进100千克，糯米糍荔枝进200千克时，商场获利最大为2100元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确建立方程，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 17．(1)直线的解析式为 (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点A、B的坐标，得出，然后根据求出结果即可； （3）先求出点Q的坐标为：，得出，求出，分两种情况，当点Q在点C的上方时，当点Q在点C的下方时，分别求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线：与相交于点， ∴， 解得， ∴，         设直线的表达式为， 把点，代入得： ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：当时，， ∴直线与y轴的交点D的坐标为， ∴， 当时，，， ∴直线与x轴的交点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵过点作垂直于x轴的直线，与直线交于点Q， ∴点Q的坐标为：， ， ∴， 当点Q在点C的上方时，如图所示： ， 解得：， ∴此时点Q的坐标为； 当点Q在点C的下方时，如图所示： ， 解得：， ∴此时点Q的坐标为； 综上分析可知，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线所围成的图形面积，解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握待定系数法． 18．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据双倍点的概念求解即可； （2）设上的点的坐标为，四边形上的点的坐标为，根据题意得到，，解得，然后利用和四边形上点的坐标得到，然后代入即可求出t的取值范围； （3）根据题意画出图象，由图象求解即可． 【详解】（1）如图所示， ∵，， ∴， ∵点，E，C三点在一条直线上， ∴点E为线段的中点， ∴点是四边形关于点E的双倍点； ∵，， ∴， ∵点，E，D三点在一条直线上， ∴点E为线段的中点， ∴点是四边形关于点E的双倍点， 综上所述，四边形关于点E的双倍点的是，， 故答案为：，； （2）设上的点的坐标为，四边形上的点的坐标为， ∵在二四象限角平分线上存在四边形关于点N的双倍点， ∴，， ∴解得， ①＋②得，， ∵点在上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴解得； （3）如图所示， 由图象可得，当时，直线表达式为， 当时，直线经过点 此时点B和点刚好关于点M对称，点M的坐标为， ∴b的取值范围是． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，中点坐标公式的应用，新定义的理解，利用数形结合是解决这种新定义问题的关键． 19．(1) (2) 【分析】（1）把点代入可求得进而得出再利用待定系数法即可求出． （2）解不等式得出根据题意即可解出． 【详解】（1）∵一次函数与函数的图象交于点， ∴把点代入得， 把代入得， 解之得 ∴一次函数为 （2）解不等式 ∵时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴的取值范围 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数及一次函数和不等式的关系，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解此题的关键． 20．(1)； (2)． 【分析】（1）根据平移的规律即可求得； （2）先求出与的交点坐标．再结合当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则． 【详解】（1）解：函数的图象向下平移2个单位长度得到，即一次函数为； 故答案为：； （2）解：把代入，得到， ∴函数与一次函数交点为， 再把点代入，求得，如图， 当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， 所以． 【点睛】本题考查了一次函数图象与平移变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． 21．(1)y=x+，点A的坐标为(-4，0) (2) 【分析】（1）当m=2时，把点C的坐标代入y=kx+4k(k≠0)，即可求得k的值，得到一次函数表达式，再求出点A的坐标即可； （2）根据图像得到不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵m=2， ∴将点C(2，2)代入y=kx+4k， 解得k=； ∴一次函数表达式为y=x+， 当y=0时，x+=0， 解得x=-4 ∵一次函数y=x+的图像与x轴交于点A， ∴点A的坐标为(-4，0)． （2）解：如图，y=kx+4k(k≠0)过定点， ∵当时，，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数y=kx+4k(k≠0)的值， ∴，， 解得k≤−． ∴k≤−． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图像解不等式，数形结合是解答本题的关键． 22．(1)见解析 (2)y=3t (3)4320 【分析】（1）根据表格描点、连线即可； （2）根据5min漏水量15mL可得解析式； （3）将t=24×60代入计算即可． 【详解】（1）解：描点、连线如下： （2）滴水量y关于时间t的函数解析式为y=3t； 故答案为：y=3t； （3）一天的漏水量约为y=3×（24×60）=4320（mL）， 故答案为：4320． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据表格写出函数关系式． 23．（1）；（2）见解析；（3）①；② 【分析】（1）由一次函数的图象与正比例函数的图象平行，可得，由一次函数的图象过点可得即可； （2）图象如图所示：描点（0，2）与（2，-4）连线得图像如图； （3）①先求直线与x轴的交点（，0），当时，直线位于x轴下方， 可得； ②先求x=0，；x=2，即可． 【详解】解：（1）∵一次函数的图象与正比例函数的图象平行， ， 又∵一次函数的图象过点． 根据题意得：， 解得， ∴一次函数的表达式为． （2）图象如图所示： 取x=0，y=2，描点（0，2）与（2，-4）， 连线得图像如图， （3）①当时，=，直线与x轴的交点（，0）， 当时，直线位于x轴下方，自变量的取值范围在交点的右侧， ∴； 故答案为； ②当时，取x=0，，取x=2，， ∴， 故答案． 【点睛】本题考查平行线性质，待定系数法求函数解析式，利用图像求范围，掌握平行线性质，待定系数法求函数解析式，利用图像求范围是解题关键． 24．①（或）；②． 【分析】①设，将时，代入求出k的值即可得； ②根据①的结论，将代入求值即可得． 【详解】①设， 由题意得：， 解得， 则这个函数的解析式是（或）； ②由①知，， 则当时，， 即． 【点睛】本题考查了正比例的定义、利用待定系数法求函数的解析式等知识点，掌握理解正比例的定义是解题关键． 25．（1）（2） 【分析】本题考查用待定系数法求解函数解析式，同时利用数形结合的思想求n的取值． （1）利用待定系数法求直线l1，l2的表达式； （2）直线在点A的下方时符合条件，根据图象写出结果． 【详解】解：（1）∵点在上， ∴， ∴， ∴直线的表达式为， ∵点和在直线上， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； （2）由图象可知，当点C 位于点D左方时，直线在点A的下方时符合条件，n的取值范围是． 26．（1）函数与y轴的交点坐标为（0，4），与x轴的交点坐标（2，0）； （2）画函数的图像见解析，x的取值范围是0≤x≤2； （3）平移后的直线函数表达式为：y=-2x-5． 【分析】分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）设平移后的函数表达式为y=-2x+b，把（-3，1）代入求出b的值即可得出结论． 【详解】解：（1）当x=0时y=4， ∴函数y=-2x+4的图像与y轴的交点坐标为（0，4）；        当y=0时，-2x+4=0，解得：x=2， ∴函数y=-2x+4的图像与x轴的交点坐标（2，0）．          （2）如图： 观察图像，当0≤y≤4时，x的取值范围是0≤x≤2．            （3）解：设平移后的函数表达式为y=-2x+b， 将（-3，1）代入得：6+b=1 ， ∴b=-5， ∴y=-2x-5． ∴平移后的直线函数表达式为：y=-2x-5 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合函数的解析式是解答本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$