浙江省杭州市2024-2025学年 八年级上学期期中数学复习（特殊三角形章节重难点近三年组题汇编）

浙江省杭州市2024-2025学年度八年级上学期期中数学复习（特殊三角形章节重难点近三年组题汇编） 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）等腰三角形一个角为，其它两个角的度数是（    ） A．，或， B．，或， C．，或， D．，或， 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为中线，为上一点，且，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分，过点作，垂足为点，连接，若，，则△的面积为（    ） A．4 B． C．2 D． 4．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）若等腰三角形的一边长为5，请在下列四个选项中选出另一边的长，使其能构成两种不同的等腰三角形（    ） A．2 B．11 C．2.5 D．3 5．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，的垂直平分线交、于点M、N，若，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适于岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是：“有一个边长为10尺的正方形水池，在水池的正中央（底面中点）长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到水池一边，芦苇的顶端恰好到达池边的水面，问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？”该题所求的水深为（　　） A．9尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 8．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，分别为线段，上一点，且，连接、交于点，延长交于点．以下四个结论正确的是（   ） ①； ②若，则； ③若平分，则； ④连接，若，则． A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 9．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图钢架中，，焊上等长的钢条，，，……来加固钢架．若，且恰好用了根钢条，则下列各数中哪个可能是的值（　　）    A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤平分，其中正确结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 11．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）若等腰三角形的一个外角是，则其底角为 ． 12．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）在中，，如果点P在边上，并且为等腰三角形．那么的长为 ． 13．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，数轴上的点表示原点，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为 ． 14．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，以直角三角形三边长为边作正方形，100和36分别代表其中两个正方形的面积，则A的面积为 ． 15．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）“见影排形”挑战赛中，小武摆出了如图的图形，在直线l上放置三个正方形a，b，c，正方形a的边长为3，正方形c的边长为4，则 ，正方形b的面积是 ． 16．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，一根长度为的木棒斜靠在直角墙上，棌低端到墙的距离为，如果木棒顶端沿墙下滑至，那么木棒低端将向外滑动 ． 17．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，则 ． 18．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒3个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为 时，能使．    19．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，连结，若，，则 ，若延长线段交于点，则 ． 20．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，点，分别是，的中点，在上找一点，使最小，则这个最小值是 ． 三、解答题 21．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，的顶点都在格点上． (1)直接判断的形状， (2)画出关于直线的对称图形． (3)在直线上作一点P，使得最小 22．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可把它剪开拼成一个正方形. (1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少？ (2)如图所示，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴的点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是多少？点表示的数的相反数是多少？ (3)你能把十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，请画出示意图，并求它的边长是多少？ 23．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，△中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 24．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，是等腰直角三角形，，是的中点，，点，在，上． (1)求证：． (2)连接，则、、之间有什么数量关系？请说明理由． 25．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，，连接． (1)求证：； (2)已知，． ①求的面积； ②求的长． 26．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）小观与爸妈在公园里荡秋千．如图，小观坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直．小观两脚在地面上用力一蹬，当秋千距离地面高度为时，妈妈在B处接住她并用力一推，结果爸爸在C处接住了小观．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． (1)证明：． (2)爸爸在距离地面多高的地方接住小观的？ (3)秋千的起始位置A处与距地面的高是______m． 27．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，点是射线上的动点，连接，点关于直线的对称点为点，射线与射线交于点，连接． (1)如图1，是线段上的点． ①若，求的度数． ②若，则　　（直接写出度数）． (2)如图2，点是线段延长线上的点，其余条件不变，连接． ①在图2中，用三角板与刻度尺依题意补全图形； ②若，求证：． 28．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，，点D在上（不与点B，C重合）． (1)如图1，若是直角三角形， ①当时，求的长； ②当时，求的长． (2)如图2，点E在上（不与点A，B重合），且．当是等腰三角形时，则______． 29．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，是边的中点，于点，平分． (1)求证：平分； (2)过点作的垂线交的延长线于点，求证：； (3)是什么三角形？证明你的猜想． 30．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点D为边上的动点，沿边往A运动，当运动到点A时停止，点D运动的速度为每秒1个单位长度． (1)当时，分别求和的长； (2)当t为何值时，是直角三角形？ (3)若是等腰三角形，请直接写出t的值． 31．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的值； (2)从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ (3)当点Q运动到上时，求能使是等腰三角形时点Q的运动时间，求出t的值． 32．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）勾股定理在几何问题中有着广泛地应用，大约公元222年，中国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中介绍了勾股定理的证明方法．具体用用四个完全一样直角三角形可以拼成图1的大正方形，采用面积法证明． （1）类比证明：伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）于1876年4月1日《新英格兰教育日志》上证明勾股定理．在和中，，易证． 请你用两种不同的方法表示梯形的面积（图2），并证明：； （2）尝试画图：正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． ①画一个三角形，使它的三边长都是有理数；②画一个三边长都为无理数的直角三角形；③画一个钝角三角形，使它的面积为4． （3）拓展应用：如图3，在直线l上依次摆放五个正方形．已知斜放两个正方形的面积分别是2、3，正放三个正方形的面积依次是，，，则______（直接写出答案） 参考答案： 1．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．先根据等腰三角形的定义，分的内角为顶角和的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：当的内角为这个等腰三角形的顶角， 则另外两个内角均为底角，它们的度数为， 其它两个角的度数是，； 当的内角为这个等腰三角形的底角， 则另两个内角一个为底角，一个为顶角， 底角为，顶角为， 其它两个角的度数是，； 综上，另外两个内角的度数分别是，或，． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．根据直角三角形的斜边中线定理可得，推出，由，可得，设，则，结合，可得，最后根据平角的定义列方程即可求解． 【详解】解：在中，为中线， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：， ， 故选：C． 3．B 【分析】延长交于，过作于，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，由此，由等腰三角形的性质推出，得到△的面积，由勾股定理求出，得到，求出，由三角形面积公式得到，求出，求出△的面积，于是得到△的面积． 【详解】解：延长交于，过作于， 平分， ， ， ， ， ， ， ， △的面积， ，，， ， ， ， △的面积， ， ， △的面积， △的面积． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线定义，关键是由等腰三角形的性质推出，得到△的面积，由三角形的面积公式求出的长． 4．D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形成立的条件，分5为腰和底边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①当5为腰时，底边长大于0而小于； ②当5为底边时，腰长的2倍大于5， 所以，能构成两种不同的等腰三角形时另一边的长应大于2.5而小于10， 故选项D符合题意， 故选：D 5．A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，延长交于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得，，根据三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：连接AP，延长BP交AC于D， ， ∵点P是，的垂直平分线的交点， ， ，，， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查垂直平分线性质，以及勾股定理，连接，根据垂直平分线性质得到，设，则，在中，利用勾股定理建立等式求解，即可解题． 【详解】解：连接， 的垂直平分线交、于点M、N， ， ，， 设，则， ， ， ，解得， 故选：B． 7．C 【分析】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键．设水深为尺，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：设水深尺，则芦苇长度为尺， 由勾股定理，可得， 解得， ∴水深12尺． 故选：C． 8．A 【分析】由“”可证，可得，可证，可得，则点是的中垂线上，由线段垂直平分线的性质可得，故①正确；由全等三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，故②正确；由角平分线的性质可证点是角平分线的交点，可得点到三角形三边距离相等，由面积法可求，故③正确；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由，可得，故④错误，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， 点在的中垂线上， ， 点在的中垂线上， 垂直平分， ，故①正确； 若，则， ， ， ， 又， ，故②正确； 若平分， ， ，， ， 点是角平分线的交点， 点到三角形三边的距离为的长， ，，， ， ， ， ，故③正确； 如图，连接， 若，则， ， ， ， 又， ， ，， ，， 又， ， ， ， ， ， ， ，故④错误， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的斜边中线定理，证明三角形全等三角形是解题的关键． 9．A 【分析】根据等边对等角可得，，，根据三角形的外角性质可求得，，结合题意恰好用了根钢条，可得，且，求解即可得到，即可判断出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， 则， ∴， 则， ∴， 则， ， ∵恰好用了根钢条， 故，且， 即， 解得：； 故选：A． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 10．A 【分析】①由等腰三角形的性质得，再根据三角形外角性质得．故①正确．②计算出，则得到，可判断为等腰三角形，故②正确．③求出，，，证，故③正确．④证明，得，由③知，得．故④正确．⑤过作，．证明，得，故平分，故⑤正确． 【详解】解：等腰中，，， ， 平分， ， ， 故①正确． ， 由①知， ， ， 故②正确； ，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 故③正确； 在和中， ， ， 由③知 ． 故④正确． 过作，． 在和中， ， ， 平分， 故⑤正确． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，掌握全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键． 11．或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用，掌握等腰三角形的两底角相等和三角形三个内角的和为是解题的关键．分这个外角为底角的外角和顶角的外角，分别求解即可． 【详解】解：当外角为底角的外角时，则其底角为：； 当外角为顶角的外角时，则其顶角为：，则其底角为：， 故答案为：或． 12．6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，根据为等腰三角形，，可知为等腰直角三角形，且为两直角边，故可得到． 【详解】解：如图，在中，，    ， 为等腰三角形，， ， ， 故答案为：6． 13． 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．和均为半径，根据勾股定理求出的长，从而得到点表示的数． 【详解】解：在中，， ， 点表示的数为， 故答案为：． 14．64 【分析】本题考查了正方形各边相等，各内角为直角的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，根据两个正方形的面积计算正方形的边长，计算的边长即为直角三角形的直角边和斜边，根据勾股定理可以计算直角边，即正方形A的边长. 【详解】解：因为以两个边长的正方形面积为100和36，则边长为和， 所以直角边的平方， ∴A的面积为64， 故答案为：64． 15． 4 25 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明，推出，可得结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴正方形b的面积为， 故答案为：4，25． 16．80 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理求出的长即可得出的长，再根据勾股定理求出的长即可得出的长，即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理得，， ， ， ， 木棒低端将向外滑动， 故答案为：80． 17．或 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根据分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠可知：， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得(不存在)； 当时， ∴， 解得， 即； 当时， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， 综上，或， 故答案为：或． 18．或 【分析】①当点P在点C左侧时，如图，,可证．得，可求；中，运用勾股定理构建方程，解得；②当点P在点C右侧时，如图，连接，同理，可得,同法构建方程，解得． 【详解】解：①当点P在点C左侧时，如图，, ∵, ∴． ∴． 中，，． 中，， ∴，解得；    ②当点P在点C右侧时，如图，    连接，同理，可得, 中，， ∴，解得 综上，或时，． 故答案为：2或6. 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用；运用勾股定理构建方程是解题的关键． 19． 4 【分析】连接，利用等边三角形的性质和已知条件证明即可得出，再运用勾股定理求得即可求得；可证得，得出，，设，则，再运用勾股定理建立方程求得，即可求得． 【详解】解：如图，连接， 分别以，为边作等边和等边， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ，， 在中，，，， ， ； ， ， 在和中， ， ∴， ， ， 设，则， ， ， 整理得：， ， ， ， ， 故答案为：4，． 【点睛】本题考查了等边三角形和直角三角形，熟练掌握等边三角形的性质。直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，是解题的关键． 20． 【分析】要求的最小值，，不能直接求，可考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值．本题考查了等腰直角三角形的性质,垂直平分线的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识的综合应用，解题时注意转化思想的运用． 【详解】解：如图，连接，， ∵中，， ∴是等腰直角三角形 ∵点是的中点， ∴是的中线， ∴， 即是的垂直平分线， 则， ， 当、、三点共线时，的值最小， 中，， 是的中点， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 21．(1)是直角三角形 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理，即可求解； （2）根据题意得到点A，B，C关于直线的对称点，再顺次连接，即可； （3）连接交直线于点P，此时最小，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴，即是直角三角形； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，连接交直线于点P，则点P即为所求． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 22．(1)面积为5，边长为 (2)点A表示的数是 ，点A表示的数的相反数是 (3)画图见解析， 【分析】（1）由题意可以得到拼后正方形的面积，再根所正方形的面积公式可以得到其边长； （2）由勾股定理可以算得至A点距离，再根据数轴上两点间距离表示可以得到A点表示的数，并得到其相反数； （3）算出10个正方形的总面积一共是10，则剪开后拼成的新正方形边长为即可拼成． 【详解】（1）解：∵拼成的正方形的面积等于原来5个小正方形面积之和， ∴拼接成的正方形面积为5， ∵正方形的面积等于边长的平方， ∴拼接成的正方形的边长即为面积的算术平方根，为； （2）解：设点A表示的数为x，则由题意可得：， ∴， 又∵， ∴点A表示的数是 ，点A表示的数的相反数是； （3）解：如图，可以按如下方式把十个小正方形组成的图形纸剪拼成正方形，由题意可知其边长为10的算术平方根，即． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，算术平方根，灵活运用所学知识是解题的关键． 23．(1)见解析 (2) 【分析】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；准确找出图形中隐含的相等或全等关系是解题的关键． （1）运用直接证明，即可利用全等三角形的性质解决问题． （2）证明；求出，即可解决问题． 【详解】（1）证明：在与中， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， ， ， ， ； ，， ， ． 24．(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，证得成为解题的关键． （1）如图：连接，根据等腰直角三角形的性质可得，进而证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，进而得到；由勾股定理可得，最后根据等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵是等腰直角三角形，， ， ， 是的中点， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 25．(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点．灵活运用等腰三角形的性质是解题的关键． （1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而得到，然后根据等腰三角形三线合一即可证明结论； （2）①如图：过点作垂足为，，先说明，再根据等腰三角形的性质可得，然后运用勾股定理求得，最后运用三角形的面积公式计算即可；②根据勾股定理可得，再利用等面积法列方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 点是的中点， ， ， ， ， ． （2）解：①如图：过点作，垂足为， ，， ， ，， ， 在中，， ， 的面积， 的面积为． ②，， ， 的面积， 的面积， ， ． 26．(1)见解析； (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得出，，求出的长，再根据爸在C处接住了小观，此时离地面多高度求解即可； （3）因为，由勾股定理求得，再根据便可求得结果． 【详解】（1）证明：由题意可知，， ∵， ∴. ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵、分别为和， ∴，， ∴， ∵妈妈在距地面高的B处，即， ∴爸在C处接住了小观，此时离地面多高度； （3）解：， ∵， ∴ ∴秋千的起始位置A处与距地面的高． 故答案为：． 27．(1)①；② (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）①根据题意，先求出，再由判定为等边三角形即可； ②先求出，再依据为等腰三角形两底角相等求出，最后由求出的度数． （2）①过点用三角板先作的垂线，然后用刻度尺量取，再连接相关端点补充图形即可； ②先利用外角的性质和等量代换求出，进而得到，然后通过等腰直角三角形及轴对称的性质得出，最后由证明即可． 【详解】（1）解：①根据轴对称的性质，，， 又， ，， 为等边三角形． ． ②，，， ． ，， ． 故答案为：． （2）①解：连接，过点用三角板作的垂线，交于点，在该垂线上用刻度尺截取，连接交射线于点，如图所示． ②证明：，， ， ． ， ， 在等腰中，， ，， ． 对于等腰直角，，则． ． 又， ． ． 在和中，，，， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，轴对称图形的性质，三角形全等的判定等．本题的关键是从为等腰三角形破题，然后利用等腰的性质，推导相关结论． 28．(1)①；②； (2)3或 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握上述知识、正确分类是解题的关键． （1）①根据等腰三角形的性质和勾股定理即可解答； ②如图，作于点E，设，则，根据勾股定理即可得到关于x的方程，求出x，再根据勾股定理即可解答； （2）由题意知，若是等腰三角形，则或，分别解决问题. 【详解】（1）①当时，如图1.1， ∵，， ∴， 则在直角三角形中，； ②如图1.2，当时，作于点E，则由①知：，， 设，则， 则在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 即， 解得：， ∴； （2）∵， 若是等腰三角形，则或， 若，则，如图2， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若，如图3，作于点H， 则，， ∴， ∴，， ∴或， 故答案为：3或. 29．(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由等腰三角形的性质得到，由余角的性质得到，等量代换得到，根据角平分线的性质得到，即可得到结论； （2）根据，，得到，由平行线的性质得到，由于，于是得到，即可得到结论； （3）根据，，于是得到，由，推出是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：中，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 即， 平分； （2）证明：，， ， ， ， ， ； （3）解：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 30．(1)， (2)或5 (3)或3或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义，直角三角形的性质； （1）根据速度×时间列式计算求出，利用勾股定理列式求出，再根据进行计算即可得解； （2）分两种情况讨论：①当时，利用的面积列式计算求出，然后利用勾股定理列式求出，再根据时间=路程÷速度计算；②当时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解； （3）分三种情况讨论：①当时，根据直角三角形的性质求出，然后即可计算t的值；②当时，可直接计算t的值；③当时，利用勾股定理求出，得到的值，即可计算t的值． 【详解】（1）解：时，， ∵，，， ∴， ∴； （2）①当时，， 即， 解得， ∴， ∴； ②当时，点D和点A重合， ∴， 综上所述，或5； （3）①当是斜边中点时，， ∴， ∴； ②当时，； ③当时，如图，过B作于F， 由（2）得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，若是等腰三角形，t的值为或或． 31．(1) (2)秒 (3)秒或秒或秒 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用. （1）根据点的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可； （2）设出发秒钟后，能形成等腰三角形， 则 由 列式求得即可； （3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时 (图)， 则可证明 则 则 从而求得； ②当时 (如图)，则 易求得； ③当时 (如图)，过点作于点， 则求出， 即可得出. 【详解】（1）出发2秒后，，． 所以． 因为，根据勾股定理，． （2）设从出发t秒钟后，第一次能形成等腰三角形． 此时，． 当时，，解得秒． （3）①当时 (图)， 则， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴秒， ②当时 (如图)， 则， ∴秒； ③当时 (如图)， 过点作于点， 则 所以， 故， 所以 秒， 由上可知，当为秒或秒或秒时，为等腰三角形. 32．（1）见解析；（2）图见解析；（3）5 【分析】（1）先证，用两种方法表示梯形面积，得出等式整理得到结论； （2）①画三边分别为3，4，5的三角形即可；②画三边长为的三角形；③根据面积画钝角三角形即可； （3）先证，同理，整体代入计算即可． 【详解】解：（1）在和中，， ， ， ， ， ， ， ， 整理，得：； （2）如下图：①,即为所求； ②,即为所求； ③，即为所求； （3）解：，理由如下： 如图， ∵图中的四边形均为正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$