基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 学案-2025届高三数学一轮复习

新高考数学一轮复习 第七章　立体几何与空间向量 _____________________________________________________________________________________________________ 第一节　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 一、课标要求 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图． 二、 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5-6分 【备考策略】1.了解柱、锥、台体及简单组合体的结构特征及其相关性质 2.会运用柱体、锥体、台体等组合体的表面积和体积的计算公式求解相关问题 【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般给定柱、锥、台体及简单组合体，求对应的表面积与体积，需强化复习. 空间几何体的结构、空间几何体直观图仍会是高考的热点，多结合几何体的体积和表面积的计算进行考查．命题形式主要以选择题、填空题为主。 三、知识梳理 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2.直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半． 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 4.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体 S表＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 S表＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 S表＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S表＝4πR2 V＝πR3 常用结论 1．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)． 2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图． 四、课堂考点突破 考点一　基本立体图形 题型一 结构特征 [例1]　（多选）下列说法正确的是（　　） A.以直角三角形的一条边所在的直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 B.以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 C.经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形 D.圆锥的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径 [答案]　BCD [解析]　A不正确，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥；B正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；C正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；易知D正确. 题型二 　展开图 [例2]　如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1 cm，高为5 cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为（　　） A.12 cm　　　B.13 cm C. cm　　D.15 cm [答案]　C [解析]　如图，把侧面展开2周可得对角线最短，则AA1＝＝（cm）. 变式训练 1.已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为（　　） A.　　　　B. C.　　　　D. 答案：C 解析：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl，由题意得＝，解得l＝.∵圆锥底面圆的周长即为侧面展开图扇形的弧长为2πr，∴该扇形的圆心角为α＝＝＝. 2.（多选）下列命题中不正确的是（　　） A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B.在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 C.不存在每个面都是直角三角形的四面体 D.棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 答案：ACD 解析：A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；C不正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；D不正确，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等. 考点二　空间几何体的直观图 [例3]　已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为（　　） A.a2　　　B.a2 C.a2　　　D.a2 [答案]　D [解析]　如图①②为所示的平面图形和直观图. 由②可知，A'B'＝AB＝a，O'C'＝OC＝a. 在图②中作C'D'⊥A'B'于D'， 则C'D'＝O'C'＝a， ∴S△A'B'C'＝A'B'·C'D'＝×a×a＝a2. 变式训练 3.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（　　） A.2＋　　B. C.　　　D.1＋ 答案：A 解析：因为斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形， 所以原图形为直角梯形，其上底为1，下底为1＋，高为2， 所以S＝（1＋＋1）×2＝2＋. 考点三　空间几何体的表面积与体积 　题型一 空间几何体的侧面积与表面积 [例4]　（1）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为（　　） A.4π　　 B.8π C.12π　　 D.20π （2）（2024·山东济南模拟）如图，在正四棱台ABCD􀆼A1B1C1D1中，已知AB＝2，A1B1＝1，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为　　　　. [答案]　（1）C　（2） [解析]　（1）设圆锥的母线为l，即侧面展开图的半径为l，侧面展开图的弧长为πl. 圆锥的底面半径为2，所以圆锥底面周长为4π，且侧面展开图为半圆， 所以4π＝πl， 即圆锥的母线长l＝4， 所以圆锥的侧面积为πl2＝8π，圆锥的底面积为4π，所以该圆锥的表面积为4π＋8π＝12π. （2）如图所示， 设正四棱台ABCD􀆼A1B1C1D1的侧高为h，高为H， 棱台的侧面积S＝××h×4＝6，所以h＝1， 所以H＝ ＝. 　题型二　空间几何体的体积 [例5]　（1）已知一个正四棱台的上下底面边长为1，3，侧棱长为，则棱台的体积为（　　） A.4　　B. C.12　　　D.13 （2）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1 cm，2 cm，母线长为 cm， 则该圆台的体积是　　　　 cm3. [答案]　（1）D　（2） [解析]　（1）如图所示， 由正四棱台可知，四边形ABCD为等腰梯形， 且AB＝3，CD＝，BC＝， 所以h＝EF＝ ＝3， 所以V＝h＝×3×＝13. （2）依题意，圆台的高h＝＝1， 所以圆台的体积为V＝π（12＋1×2＋22）×1＝. 变式训练 4.（2022·全国甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙.若＝2，则＝（　　） A.　　　B.2 C.　　 D. 答案：C 解析：设甲、乙两个圆锥的侧面展开图的圆心角分别为θ甲和θ乙，母线长均为l，底面半径分别为r甲、r乙，高分别为h甲、h乙.由＝2得＝2，即r甲＝2r乙，所以θ甲＝2θ乙.又θ甲＋θ乙＝2π，所以θ甲＝，θ乙＝，所以r甲＝l，r乙＝l，所以h甲＝l，h乙＝l，所以＝＝＝. 5.如图①所示，已知正方体的面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图②所示的几何体，那么此几何体的表面积为（　　） A.（1＋2）a2　　B.（2＋）a2 C.（3＋2）a2　　D.（4＋）a2 答案：B 解析：拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了两个原来的正方形面. 由于截面为矩形，长为a，宽为a， 所以面积为a2， 所以拼成的几何体的表面积为4×＋2×a2＝（2＋）a2. 6.（2023·新高考Ⅰ卷）在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为　　　　. 答案： 解析：正四棱台ABCD－A1B1C1D1如图所示.设其上、下底面中心分别为O1，O，连接O1O，O1A1，OA.由正四棱台的定义可知O1O⊥平面ABCD，O1O⊥平面A1B1C1D1，四边形ABCD，A1B1C1D1均为正方形. ∵AB＝2，A1B1＝1，∴AO＝，A1O1＝， 易知AO∥A1O1.又∵AA1＝， ∴在直角梯形A1O1OA中，O1O＝＝， ∴＝×（1＋4＋）×＝. 五、课后作业 一、单项选择题 1．下列说法正确的是(　　) A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 答案　B 解析　虽然各侧面都是正方形，但底面可能是菱形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误； 球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确； 以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C错误； 用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误． 2.如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段AB＝8，C，O，D为线段AB的四等分点，则该圆台的表面积为(　　) A．11π B. C．6π D．5π 答案　A 解析　设圆台上底面半径为r，下底面半径为R， 则2πr＝×2π×2,2πR＝×2π×4， 解得r＝1，R＝2， ∴圆台上、下底面面积分别为 S1＝πr2＝π，S2＝πR2＝4π， 又圆台的侧面积S3＝＝6π， ∴圆台的表面积S＝S1＋S2＋S3＝11π. 3.如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为(　　) A．12 B．16 C．24 D．24 答案　A 解析　如图，设圆锥侧面展开图的圆心角为θ， 则由题意可得2π×4＝12θ， 则θ＝， 在△POP′中，OP＝OP′＝12， 则小虫爬行的最短路程为 PP′＝＝12. 4.如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为(　　) A．24－3π B．24－π C．24＋π D．24＋5π 答案　B 解析　由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的球后的剩余部分，则其表面积＝6×22－3××π×22＋×4×π×22＝24－π. 5.如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝4，C′D′＝2，则下列说法正确的是(　　) A．AB＝2 B．A′D′＝2 C．四边形ABCD的周长为4＋2＋2 D．四边形ABCD的面积为6 答案　D 解析　如图，过点D′作DE⊥O′B′于点E， 由等腰梯形A′B′C′D′可得，△A′D′E是等腰直角三角形， 即A′D′＝A′E＝×(4－2)×＝，B错误； 还原平面图如图， 即AB＝4＝2CD，AD＝2，A错误； 过点C作CF⊥AB于点F， 由勾股定理得CB＝2， 故四边形ABCD的周长为4＋2＋2＋2＝6＋2＋2，C错误； 四边形ABCD的面积为×(4＋2)×2＝6，D正确． 6．中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式．例如在推导正四棱台(古人称方台)体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解．如图(1)为俯视图，图(2)为立体切面图．E对应的是正四棱台中间位置的长方体；B，D，H，F对应四个三棱柱，A，C，I，G对应四个四棱锥．若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为(　　) A．24 B．28 C．32 D．36 答案　B 解析　如图，令四棱锥的底面边长为a，高为h，三棱柱的高为b， 依题意，得四棱锥的体积为a2h＝1，即a2h＝3， 三棱柱的体积为ahb＝3，即abh＝6， 因此b＝2a，于是长方体的体积 V＝b2h＝4a2h＝12， 所以该正四棱台的体积为12＋4＋12＝28. 二、多项选择题 7．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为 米，则(　　) A．正四棱锥的底面边长为6 米 B．正四棱锥的底面边长为3 米 C．正四棱锥的侧面积为24 平方米 D．正四棱锥的侧面积为12 平方米 答案　AC 解析　如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点， 则SH⊥AB， 设底面边长为2a 米． 因为∠SHO＝30°， 所以OH＝AH＝a 米，OS＝a 米，SH＝a 米． 在Rt△SAH中，a2＋2＝21， 解得a＝3，所以正四棱锥的底面边长为6米，侧面积为×6×2×4＝24(平方米)． 8．(2023·新高考全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则(　　) A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为4π C．AC＝2 D．△PAC的面积为 答案　AC 解析　依题意，∠APB＝120°，PA＝2， 所以OP＝1，OA＝OB＝. A项，圆锥的体积为×π×()2×1＝π，故A正确； B项，圆锥的侧面积为π××2＝2π，故B错误； C项，取AC的中点D，连接OD，PD，如图所示， 则AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P－AC－O的平面角， 则∠PDO＝45°，所以OP＝OD＝1， 故AD＝CD＝＝， 则AC＝2，故C正确； D项，PD＝＝， 所以S△PAC＝×2×＝2，故D错误． 三、填空题 9.中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积是________． 答案　72 解析　如图，正六边形的每个内角为120°， 按虚线处折成高为的正六棱柱， 即BF＝， 所以BE＝＝1， 可得正六棱柱底边边长AB＝6－2×1＝4， 则正六棱柱的底面积为 S＝6××4×4×＝24， 所以正六棱柱的体积V＝24×＝72. 10．(2023·吕梁模拟)公园、旅游景点的护栏顶部常常用“半正多面体”装饰(图1)．“半正多面体”是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，“半正多面体”体现了数学的对称美．如图2是一个棱数为24的“半正多面体”，其棱长为，则该“半正多面体”的表面积为 ________，体积为 ________. 答案　12＋4　 解析　如图，该棱长为的“半正多面体”的所有顶点恰为正方体各棱的中点，容易得到正方体的棱长为2. 设该“半正多面体”的表面积为S，体积为V，则该“半正多面体”的表面由6个正方形和8个等边三角形组成，所以其表面积S＝6×()2＋8××××＝12＋4， 则该“半正多面体”可以看作是棱长为2的正方体，在8个顶点处截去侧棱长为1的8个正三棱锥得到的，所以其体积V＝23－8×××1×1×1＝. 11.某校高一年级学生进行创客活动，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去正四棱台ABCD－EFGH后所得的几何体，其中AB＝BC＝2EF＝2BF＝6 cm，AA1＝4 cm，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属2 mg，不考虑损耗，所需金属膜的质量为________ mg. 答案　282＋54 解析　由题意，该几何体侧面4个面的面积和为 4×4×6＝96(cm2)， 底面积为6×6＝36(cm2)， 正方形EFGH的面积为3×3＝9(cm2)． 考虑梯形ABFE， 高为＝(cm)， 故正四棱台的侧面积为 4××(3＋6)×＝27(cm2)， 故该模型的表面积为 96＋36＋9＋27＝(141＋27)cm2， 故所需金属膜的质量为 2×(141＋27)＝(282＋54)mg. 12魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．自1974年魔方问世起，世界上陆续出现了各种各样的魔方．魔方爱好者小明拥有一款“Zcube三面体曲面三阶魔方”，它的直观图如图所示，它由27个小块构成(其中，包含18个棱长为2 cm的正方体小块，9个底面半径为2 cm，高为2 cm的个圆柱小块)，则该魔方的表面积为________ cm2；体积为________ cm3(魔方中的空隙忽略不计)． 答案　120＋24π　144＋18π 解析　魔方表面共有30个边长为2 cm的正方形， 故面积为30×22＝120(cm2)， 魔方表面共有6个半径为2 cm的扇形， 故面积为6×π·22×＝6π(cm2)， 魔方表面共有个圆柱的侧面9个， 故面积为9×2π·2×2×＝18π(cm2)， 故该魔方的表面积为120＋6π＋18π＝(120＋24π)cm2； 18个棱长为2 cm的正方体小块的体积为18×23＝144(cm3)，9个底面半径为2 cm，高为2 cm的个圆柱小块的体积为π·22××2×9＝18π(cm3)， 故魔方体积为(144＋18π)cm3. 四、解答题 13.如图，矩形O′A′B′C′是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O′A′＝3，O′C′＝1. (1)求平面四边形OABC的面积； (2)若该四边形OABC以OA为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积． 解　(1)因为S原图形＝2S直观图， 所以S四边形OABC＝2S直观图＝6. (2)平面四边形OABC如图所示，在Rt△ODC中， 有OC2＝OD2＋CD2＝(2)2＋12＝9， 所以OC＝3，所以AB＝3. 如图，分别过点B，C作OA及其延长线的垂线，垂足为E，F. 矩形FEBC绕OA及其延长线旋转一周得到一个底面半径r＝OD＝2，母线l1＝BC＝3的圆柱； Rt△BEA绕OA旋转一周得到一个底面半径r＝OD＝2，母线l2＝AB＝3，高h1＝AE＝1的圆锥； Rt△CFO绕OA及其延长线旋转一周得到一个底面半径r＝OD＝2，母线l3＝OC＝3，高h2＝OF＝CD＝1的圆锥． 所以旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，再加上一个同底的圆锥构成的组合体． 则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，加上组合的圆锥的体积， 所以旋转形成的几何体的体积V＝πr2l1－πr2l2＋πr2l3＝π×(2)2×3－π×(2)2×1＋π×(2)2×1＝24π. 旋转形成的几何体的表面积即圆柱的侧面积，加上两个圆锥的侧面积之和， 所以S＝2πrl1＋πrl2＋πrl3＝2π×2×3＋π×2×3＋π×2×3＝24π. 14.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝AB＝CD，平面ADP⊥平面PCD，PD⊥PC. (1)求证：△ADP为直角三角形； (2)若PC＝AD＝1，求四棱锥P－ABCD的体积． (1)证明　作AE⊥DC， E为垂足， 在等腰梯形ABCD中，设AD＝AB＝BC＝CD＝a(a>0)， ∴DE＝(CD－AB)＝a，∠ADE＝60°， ∴AC＝＝a， ∴AC2＋AD2＝DC2， ∴AC⊥AD. 又PC⊥PD，平面ADP⊥平面PCD，平面ADP∩平面PCD＝PD，PC⊂平面PCD， ∴PC⊥平面ADP， 又AD⊂平面ADP，∴PC⊥AD， ∵AC∩PC＝C，AC，PC⊂平面ACP， ∴AD⊥平面ACP， ∵AP⊂平面ACP，∴AD⊥AP， ∴∠DAP＝90°，即△ADP为直角三角形． (2)解　由(1)知在等腰梯形ABCD中，AE＝. S△ADC＝×1×＝， S梯形ABCD＝×＝. ∴＝.∴＝. 又PC⊥平面ADP，△ADP为直角三角形， PD⊥PC， ∴DP＝＝，AP＝＝， ∴VP－ADC＝VC－ADP＝××1××1＝. ∴VP－ABCD＝VP－ADC＝×＝. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第七章　立体几何与空间向量 _____________________________________________________________________________________________________ 第一节　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 一、课标要求 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图． 二、 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5-6分 【备考策略】1.了解柱、锥、台体及简单组合体的结构特征及其相关性质 2.会运用柱体、锥体、台体等组合体的表面积和体积的计算公式求解相关问题 【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般给定柱、锥、台体及简单组合体，求对应的表面积与体积，需强化复习. 空间几何体的结构、空间几何体直观图仍会是高考的热点，多结合几何体的体积和表面积的计算进行考查．命题形式主要以选择题、填空题为主。 三、知识梳理 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2.直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半． 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 4.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体 S表＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 S表＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 S表＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S表＝4πR2 V＝πR3 常用结论 1．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)． 2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图． 四、课堂考点突破 考点一　基本立体图形 题型一 结构特征 [例1]　（多选）下列说法正确的是（　　） A.以直角三角形的一条边所在的直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 B.以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 C.经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形 D.圆锥的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径 题型二 　展开图 [例2]　如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1 cm，高为5 cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为（　　） A.12 cm　　　B.13 cm C. cm　　D.15 cm 变式训练 1.已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为（　　） A.　　　　B. C.　　　　D. 2.（多选）下列命题中不正确的是（　　） A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B.在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 C.不存在每个面都是直角三角形的四面体 D.棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 考点二　空间几何体的直观图 [例3]　已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为（　　） A.a2　　　B.a2 C.a2　　　D.a2 变式训练 3.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（　　） A.2＋　　B. C.　　　D.1＋ 考点三　空间几何体的表面积与体积 　题型一 空间几何体的侧面积与表面积 [例4]　（1）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为（　　） A.4π　　 B.8π C.12π　　 D.20π （2）（2024·山东济南模拟）如图，在正四棱台ABCD􀆼A1B1C1D1中，已知AB＝2，A1B1＝1，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为　　　　. 　题型二　空间几何体的体积 [例5]　（1）已知一个正四棱台的上下底面边长为1，3，侧棱长为，则棱台的体积为（　　） A.4　　B. C.12　　　D.13 （2）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1 cm，2 cm，母线长为 cm， 则该圆台的体积是　　　　 cm3. 变式训练 4.（2022·全国甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙.若＝2，则＝（　　） A.　　　B.2 C.　　 D. 5.如图①所示，已知正方体的面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图②所示的几何体，那么此几何体的表面积为（　　） A.（1＋2）a2　　B.（2＋）a2 C.（3＋2）a2　　D.（4＋）a2 6.（2023·新高考Ⅰ卷）在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为　　　　. 五、课后作业 一、单项选择题 1．下列说法正确的是(　　) A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 2.如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段AB＝8，C，O，D为线段AB的四等分点，则该圆台的表面积为(　　) A．11π B. C．6π D．5π 3.如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为(　　) 4.如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为(　　) A．24－3π B．24－π C．24＋π D．24＋5π 5.如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝4，C′D′＝2，则下列说法正确的是(　　) A．AB＝2 B．A′D′＝2 C．四边形ABCD的周长为4＋2＋2 D．四边形ABCD的面积为6 6．中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式．例如在推导正四棱台(古人称方台)体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解．如图(1)为俯视图，图(2)为立体切面图．E对应的是正四棱台中间位置的长方体；B，D，H，F对应四个三棱柱，A，C，I，G对应四个四棱锥．若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为(　　) A．24 B．28 C．32 D．36 二、多项选择题 7．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为 米，则(　　) A．正四棱锥的底面边长为6 米 B．正四棱锥的底面边长为3 米 C．正四棱锥的侧面积为24 平方米 D．正四棱锥的侧面积为12 平方米 8．(2023·新高考全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则(　　) A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为4π C．AC＝2 D．△PAC的面积为 三、填空题 9.中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积是________． 10．(2023·吕梁模拟)公园、旅游景点的护栏顶部常常用“半正多面体”装饰(图1)．“半正多面体”是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，“半正多面体”体现了数学的对称美．如图2是一个棱数为24的“半正多面体”，其棱长为，则该“半正多面体”的表面积为 ________，体积为 ________. 11.某校高一年级学生进行创客活动，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去正四棱台ABCD－EFGH后所得的几何体，其中AB＝BC＝2EF＝2BF＝6 cm，AA1＝4 cm，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属2 mg，不考虑损耗，所需金属膜的质量为________ mg. 12魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．自1974年魔方问世起，世界上陆续出现了各种各样的魔方．魔方爱好者小明拥有一款“Zcube三面体曲面三阶魔方”，它的直观图如图所示，它由27个小块构成(其中，包含18个棱长为2 cm的正方体小块，9个底面半径为2 cm，高为2 cm的个圆柱小块)，则该魔方的表面积为________ cm2；体积为________ cm3(魔方中的空隙忽略不计)． 四、解答题 13.如图，矩形O′A′B′C′是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O′A′＝3，O′C′＝1. (1)求平面四边形OABC的面积； (2)若该四边形OABC以OA为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积． 14.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝AB＝CD，平面ADP⊥平面PCD，PD⊥PC. (1)求证：△ADP为直角三角形； (2)若PC＝AD＝1，求四棱锥P－ABCD的体积． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$