精品解析：陕西省子洲中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

子洲中学2024-2025学年度第一学期期中考试 高一数学试题 （考试时间：120分钟 试题总分150分）命题人：乔腾 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的运算可求得答案． 【详解】解：集合，， . 故选：C． 2. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式不等式解得的取值范围，根据充分不必要条件的定义，可得答案. 【详解】由不等式，等价于，解得， 由，故是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 下列各组函数中为同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域、对应关系、值域等知识来确定正确答案. 【详解】A选项，，所以A选项错误. B选项，，， 两个函数定义域、对应关系、值域相同，所以是同一函数，B选项正确. C选项，对于，，解得或， 所以的定义域是， 对于，，解得， 所以的定义域是，所以C选项错误. D选项，的定义域是， 的定义域是，所以D选项错误. 故选：B 4. 关于x的一元二次不等式的解集为，则（ ）． A. B. C. 2 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次不等式解集与二次方程根的关系，再结合韦达定理即可求得的值，从而求得的值. 【详解】因为的解集为，所以是方程的两根， 由韦达定理得，解得， 所以. 故选：D. 5. 设是定义在上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意有，从而可得，进一步可以算出，. 【详解】由题意是定义在上的奇函数， 则由奇函数的性质可得， 解得， 所以，从而. 故选：C. 6. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用基本不等式可求得结果. 【详解】，，（当且仅当，时取等号）， 的最大值为. 故选：B. 7. 已知函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出不等式组，从而可求得的取值范围． 【详解】∵函数是（﹣∞，+∞）上的减函数， ∴，解得. 故选：A 8. 定义在R上奇函数，，当时函数单调递增，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出的图象，数形结合，求得的解集． 【详解】由题意可得，(1)，在上单调递增，的图象如图所示： 再根据，可得与异号，①，或②． 由①可得x∈，由②可得，故的范围是：． 故选：D． 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.） 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于A：由可得，故选项A正确； 对于B：由可得，所以，故选项B不正确； 对于C：当时，由可得，故选项C不正确； 对于D：由可得，所以，所以，故选项D正确； 故选：AD. 10. 已知函数的图像经过点，则（ ） A. 的图像经过点 B. 的图像关于原点对称 C. 若，则 D. 当时，恒成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】把点代入函数解析式，求出未知系数，得到函数解析式后分析单调性奇偶性等性质，验证函数值，逐个判断选项. 【详解】函数的图像经过点，，得，∴函数. 由，故A错误； 函数为奇函数，它的图像关于原点对称，故B正确； 若，函数在上单调递减，则，即，故C正确； 当时，，∴恒成立，故D正确； 故选：BCD 11. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则或 C. 若，则 D. ，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性、单调性定义易知偶函数在上单调递减，在上单调递增，且，进而逐项分析各项的正误． 【详解】由①，，得为偶函数， ②，，当时，都有，所以在上单调递减， 故,故A正确； 对于B，由,可得或，解得或，故B正确； 对于C，由，得， 若，则或，解得，故C错误； 对于D，由为上的偶函数，在单调递减，在单调递增， 又因为函数的图象是连续不断的，所以为的最大值， 所以，，使得，故D正确． 故选：ABD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的定义域得到，解得答案. 【详解】由题意可得，解得或. 故答案为： 13. 已知函数，则_______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法计算可得. 【详解】因为，令，则， 所以， 所以，. 故答案为： 14. 已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双变量不等式转化为函数最值问题，即，先确定，再 讨论的取值，得的最大值，即可得实数的取值范围. 【详解】解：若对任意的，总存在使得成立，则， 当时，， 当时，，满足，符合题意； 当时，在上单调递减，故，解得； 当时，在上单调递增，故，解得； 综上，的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 计算： （1）； （2）（，）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数运算的知识求得正确答案. （2）根据根式、指数运算的知识求得正确答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. （1）已知，求的最小值. （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）最小值为1，（2）最小值为9 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式即可求解， （2）由乘“1”法，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由于，所以，故， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为1， （2）由于，所以， 当且仅当等号成立，又，故当时等号成立，故最小值为9. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数在上的解析式； （2）画出函数的图像并根据图像写出函数的单调区间和值域． 【答案】（1） （2） 单调递增区间为，单调递减区间为，值域为. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质先求出，再根据奇函数性性质求出时的解析式，即可得答案. （2）根据函数解析式可作出函数图象，由图象可得函数的单调区间以及值域. 【小问1详解】 由题意知函数是定义在上的奇函数，故； 当时，， 则时，，故， 函数在上的解析式为. 【小问2详解】 画出函数的图像如图： 由图可知，函数的单调递增区间为， 单调递减区间为，值域为. 18. 已知函数． （1）用函数奇偶性的定义证明是奇函数； （2）用函数单调性的定义证明在区间上是增函数； （3）解不等式． 【答案】（1） 证明：由函数的解析式，得其定义域为， 又因为， 故是奇函数. （2） 证明：任取，， 则 = =， 因为，， 所以，， 所以， 综上所述，对任意都有， 所以，在区间上是增函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）先求出函数定义域，证明即可； （2）根据函数单调性的定义域，作差、定号即可证明函数单调性； （3）将原不等式转化为二次不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以等价于， 当时，，解得； 当时，，解得； 所以，不等式的解集为. 19. 定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． （1）求函数与的解析式； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）， （2）当时，在区间上的最小值为， 当时，在区间上的最小值为． 【解析】 【分析】（1）由已知得，再结合是偶函数，是奇函数，可得，再与原等式联立可求出与的解析式； （2）由（1）得，然后分和两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 根据题意，由，① 得， 又由是偶函数，是奇函数， 则有，② 联立①②可得：，． 【小问2详解】 根据题意，， 当时，在区间上递减， 则其最小值为， 当时，在区间上递减，上递增， 则其最小值为． 综上，当时，在区间上的最小值为， 当时，在区间上的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 子洲中学2024-2025学年度第一学期期中考试 高一数学试题 （考试时间：120分钟 试题总分150分）命题人：乔腾 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列各组函数中为同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 关于x的一元二次不等式的解集为，则（ ）． A. B. C. 2 D. 8 5. 设是定义在上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在R上奇函数，，当时函数单调递增，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.） 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图像经过点，则（ ） A. 的图像经过点 B. 的图像关于原点对称 C. 若，则 D. 当时，恒成立 11. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则或 C. 若，则 D. ，使得 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的定义域是______. 13. 已知函数，则_______________. 14. 已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 计算： （1）； （2）（，）. 16. （1）已知，求的最小值. （2）已知，且，求的最小值. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数在上的解析式； （2）画出函数的图像并根据图像写出函数的单调区间和值域． 18. 已知函数． （1）用函数奇偶性的定义证明是奇函数； （2）用函数单调性的定义证明在区间上是增函数； （3）解不等式． 19. 定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． （1）求函数与的解析式； （2）求函数在区间上的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $