18.1.1平行四边形的性质（第3课时）课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

18.1.1平行四边形的性质（第3课时） 　　平行四边形的对边平行且相等； 　　平行四边形的对角相等； 　　平行四边形有哪些性质？ 　　平行四边形的对角线互相平分． 类型一、利用平行四边形的性质求角的度数 　　1．如图，在▱ABCD 中，∠B＝120°，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F．求∠ADE，∠EDF，∠FDC 的度数． 　　解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∠B＝120°， 　　∴∠A＝∠C＝180°－∠B＝60°． 　　∵DE⊥AB，DF⊥BC， 　　∴∠ADE＝∠FDC＝90°－60°＝30°． 　　∵∠ADC＝∠B＝120°， 　　∴∠EDF＝120°－30°－30°＝60°． 3 平行四边形性质的作用 　　（1）利用边的性质可以证明对边平行或对边相等； 　　（2）利用角的性质可以证明对角相等或邻角互补； 　　（3）利用对角线的性质可以证明线段相等或线段的倍分关系． 归纳 类型二、利用平行四边形的性质求线段的长 　　2．如图，在▱ABCD 中，AB＝3，BC＝5，以点 B 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 BA，BC 于点 P，Q，再分别以点 P，Q 为圆心，以大于 PQ 的长为半径作弧，两弧在∠ABC 内交于点 M，连接 BM 并延长交 AD 于点 E，则 DE 的长为____________． 2 5 　　解析：由作图过程可知，BE 平分∠ABC， 　　∴∠ABE＝∠EBC． 　∵四边形 ABCD 为平行四边形， 　∴AD∥BC，AD＝BC＝5． 　∴∠AEB＝∠EBC． 　∴∠ABE＝∠AEB． 　∴AE＝AB＝3． 　∴DE＝AD－AE＝5－3＝2． A C D B E “平行线＋角平分线”的基本模型 归纳 　　如图，若已知 AB∥CD，CE 平分∠ACD，则易证△ACE 是一个等腰三角形． 　　这个基本模型在平行线、三角形、平行四边形等有关知识中求边、角运算时，应用非常广泛． 类型三、利用平行四边形的性质进行推理论证 　　3．如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E，F，连接 EC． 　　（1）求证：OE＝OF． 　　分析：（1）根据平行四边形的性质，可得 OA＝____，OB＝____，AD∥____，AB∥____，因此要证 OE＝OF，只需证明______________________________________全等即可． OC OD BC CD △AOE和△COF（或△BOE和△DOF） 　　证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴OD＝OB，DC∥AB． 　　∴∠FDO＝∠EBO． 　　在△DFO 和△BEO 中， 　　∴△DFO≌△BEO（ASA）． 　　∴OE＝OF． 　　3．如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E，F，连接 EC． 　　（2）若 EF⊥AC，△BEC 的周长是 10，求▱ABCD 的周长． 　　分析：（2）要求▱ABCD 的周长，需求___________和___________的长，由 EF⊥AC且 EF 平分 AC 可得，EF 是 AC 的_________线，再利用其性质可把△BEC 的周长 10 转化为线段_____和_____的和． AB（或CD） BC（或AD） 垂直平分 AB BC 　　解：（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC． 　　∵EF⊥AC， 　　∴AE＝CE． 　　∵△BEC 的周长是 10， 　　∴BC＋BE＋CE＝BC＋BE＋AE＝BC＋AB＝10． 　　∴▱ABCD 的周长为 2(BC＋AB)＝20． 平行（四边形）全等（三角形）不分家 　　利用平行四边形的性质可得等角和等边，进而由等角和等边证明相关三角形全等，这是平行四边形中证明等量关系的常用方法和思路． 归纳 类型四、与平行四边形的面积相关的计算题 　　4．如图，E 是▱ABCD 内任意一点，若▱ABCD 的面积是 6，连接点 E 与▱ABCD 的四个顶点，求图中阴影部分的面积． 　　分析：阴影部分的面积就是△ADE 和△BCE 的面积之和，找到这两个三角形的底和高与▱ABCD 的底和高的关系，就能求出阴影部分的面积． A B C D E 　　解：如图，过点 E 作 MN⊥BC 于点 N，交 AD 于点 M． A B C D E M N 　　∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴BC∥AD，且 BC＝AD，则 NM⊥AD． 　　∵S△ADE＝ AD·EM，S△BCE＝ BC·EN， 　　∴S阴影＝S△ADE＋S△BCE＝ AD·EM＋ BC·EN ＝ BC·(EM＋EN)＝ BC·MN． 　　又∵▱ABCD 的面积是 6，即 S▱ABCD＝BC·MN＝6， 　　∴S阴影＝ BC·MN＝ ×6＝3． 　　平行四边形的对边平行，因此，一组对边之间的垂线段的长就是这两边之间的距离，这是平行四边形面积计算中确定高的常用方法．同时还可得出一个结论：此题中，无论点 E 在平行四边形内的什么位置，阴影部分的面积都等于平行四边形面积的一半． 归纳 类型五、平行四边形中的折叠问题 　　5．如图，将▱ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在点 B′ 处，若∠1＝∠2＝44°，求∠B 的度数． 　　解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴AB∥CD， 　　∴∠ACD＝∠BAC． 　　由折叠的性质，得 ∠BAC＝∠B′AC， 　　∴∠ACD＝∠BAC＝∠B′AC＝ ∠1＝22°， 　　∴∠B＝180°－∠2－∠ACD＝114°． 抓住本质巧解平行四边形折叠问题 　　折叠问题的实质是轴对称，因此，通过图形的折叠可得等角和等边，再结合平行四边形的性质，即可解决边或角的求值问题． 归纳 题目 类型 利用平行四边形的性质求角的度数 利用平行四边形的性质求线段的长 利用平行四边形的性质进行推理论证 平行四边形中的折叠问题 与平行四边形的面积相关的计算题 平行四边形性质的综合应用 $$