精品解析：2024-2025学年苏科版七年级数学上册期中复习培优卷

2024-2025学年第一学期七年级数学期中复习培优卷 （考试范围：第1章-第3章 满分：130分，用时：120分钟） 班级：_____________ 姓名：________________ 一．选择题（每小题3分，共24分） 1. -a、b两数在数轴上的位置如图，下列结论正确的是（ ） A. a＞0，b＜0 B. a＜b C ， D. ＞ 2. 如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标有，先让圆上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆上表示哪个数的点重合？（ ） A B. C. D. 3. “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、，则的值为（ ） A. 6 B. 10 C. 14 D. 18 4. 数轴上某一个点表示的数为a，比a小2的数用b表示，那么的最小值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 如，我们叫集合M，其中1、2、x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，）（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，则我们说．已知集合，集合，若，则则的值是（　　） A. 2 B. C. D. 6. 已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论序号是（　　） A. ①④ B. ②③ C. ②③④ D. ①③④ 7. 将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，…，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是（ ） A. 52 B. 67 C. 84 D. 101 8. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二．填空题（每小题3分，共24分） 9. 如图所示，各正方形的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，“◆”位置的数是 ________． 10. 若一个四位自然数的千位数字与个位数字之和恰好是的百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数为“好数”．一个“好数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记．若为整数，是4的倍数，则________；所有满足条件的的最大值和最小值的差为________． 11. 若四位数满足各位数字均不为0，千位数字与十位数字的和的十倍加上百位数字以及个位数字的和刚好等于150，则称该四位数为“数学满分数”，比如：5298，，则5298是“数学满分数”，定义，对于四位数是“数学满分数”，则为 _______，在此条件下，若能被7整除，则符合题意的最大值与最小值的差为 _________． 12. 如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”．例如：四位数2129，，是“天天向上数”：又如3465，∵，不是“天天向上数”．若一个“天天向上数”为，则此时_____________；若一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为_____________． 13. 我们把13倍数称为“大吉数”，判断一个数是否是大吉数，可以用的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，如果是“大吉数”，这个数就是“大吉数”．比如：数字253448，这个数末三位是448，末三位以前是253，则，因为，所以是“大吉数”，那么253448也是“大吉数”．若整数（其中，且为整数）是“大吉数”，则______．若均为“大吉数”，且，（，且、、均为整数），则的最大值为______． 14. 在1、3两个数之间写上两个数之和4，看作第一次操作；再在1、4、3每相邻两个数之间写上两个数之和的，得到和两个数，看作第二次操作；第3次操作就在第二次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的；第4次操作就在第三次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的；经过4次操作后所有数的和是________． 15. 一个四位正整数，将的千位数字和百位数字分别作为两位数的十位数字和个位数字，将的十位数字和个位数字分别作为两位数的十位数字和个位数字，规定，当能被6整除时，被称为“顺心数”．例如：，则，，，因为能被整除，所以是“顺心数”．最小的“顺心数”为______；若“顺心数”（其中，，，，，均为整数），且的各个数位数字之和等于它千位数字的倍，则的最大值为______． 16. 一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“压轴数”．将“压轴数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数”的千位数字的3倍求和，记作．则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为_____．有两个四位正整数，（、、、，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的值的和为_____． 三．解答题（共82分） 17. 计算： (1)－32－|(－5)3|×－18÷|－(－3)2|； (2). 18. 规定一种新运算“*”，两数a，b通过“*”运算得，即，例如：，根据上面规定解下题： （1）求的值； （2）与的值相等吗？ 19. 某检修小组从A地出发，在东西方向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下．（单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 （1）求收工时距A地多远？ （2）在第几次纪录时距A地最远？ （3）若每千米耗油升，问共耗油多少升？ 20. 某自行车厂为了赶进度，一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 （1）根据记录可知第一天生产多少辆？ （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ （3）赶进度期间该厂实行计件工资加浮动工资制度．即：每生产一辆车的工资为60元，超过计划完成任务每辆车则在原来60元工资上再奖励15元；比计划每少生产一辆则在应得的总工资上扣发15元（工资按日统计，每周汇总一次），求该厂工人这一周的工资总额是多少？ 21. 阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任一点P，把与点P相距a个单位长度的两点所表示的数分别记作x和y（其中），并把x、y这两个数叫做“点P关于a的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于1的对称数组是． （1）点A表示的数为，则________； （2）如果，那么P表示的数是________，a的值是________； （3）如果点P、Q是数轴上的两个动点，，（其中，）．两点同时从原点出发反向运动，当时，求点P、Q之间的距离． 22. 分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： （1）当时，求 ； （2）当时，求 ； （3）已知，是有理数，当时， ； （4）已知，是有理数，当时，试求的值． 23. 定义：对于确定位置的三个数:a，b，c，计算，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”.例如对于1，，3，因为，，，所以1，，3，的“分差”为 （1）的“分差”为 _________ ； （2）调整“”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的最大值． 24. 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 　　表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使2表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与______表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为16（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是______； 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从到6）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（例如下图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是______． 25. 已知数轴上的点A，B对应的有理数分别为a，b，且，点P是数轴上的一个动点． （1）求出A，B两点之间的距离． （2）若点P到点A和点B的距离相等，求出此时点P所对应的数． （3）数轴上一点C距A点7.2个单位长度， 其对应的数c满足．当P点满足时，求P点对应的数． 26. 通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案________漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留（）斤污水，现用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期七年级数学期中复习培优卷 （考试范围：第1章-第3章 满分：130分，用时：120分钟） 班级：_____________ 姓名：________________ 一．选择题（每小题3分，共24分） 1. -a、b两数在数轴上的位置如图，下列结论正确的是（ ） A. a＞0，b＜0 B. a＜b C. ， D. ＞ 【答案】C 【解析】 【分析】先由数轴上a，b两点的位置确定a，b的符号，及绝对值的大小，即可求解． 【详解】根据数轴得到，且， ∴， A、，，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，，故该选项正确； D、，故该选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴，根据点在数轴上的位置判断式子的正负，数轴上的数右边的数总是大于左边的数的特点． 2. 如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标有，先让圆上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆上表示哪个数的点重合？（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解决此类题目的关键． 圆周上的点与重合，滚动到，圆滚动了个单位长度，用除以，余数即为重合点． 【详解】解：圆周上的点与重合， ∵， ∴， ∴圆周上的与数轴上的重合， 故选：B． 3. “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、，则的值为（ ） A. 6 B. 10 C. 14 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】每个圆圈上的四个数字的和都等于21，则三个大圆圈上的数字之和为63，可得，由于，进而得，再结合即可解决问题．本题考查有理数的乘方和加法运算，整式的运算，乘法公式，掌握有理数的乘方和加法运算法则，以及整式运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】解：每个圆圈上的四个数字的和都等于21， 三个大圆圈上的数字之和为：， 各小圆圈的数字之和为：， 为什么，这因为、、都加了两次， ， ， ， ， 而各圆圈的数字的平方和为， 为什么呢？ 这是因为三角形各顶点处三个圆圈内的数字的平方都加了两次， ， ， ， ， ， ， ， ， 将代入得， ， ． 故选：D． 4. 数轴上某一个点表示的数为a，比a小2的数用b表示，那么的最小值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先表示，结合绝对值的定义，如表示数轴上点a到2的距离；表示a到原点的距离； 【详解】解：∵比a小2的数用b表示， ∴， ∴， ∴的最小值就是在数轴上找一点a到原点和到2的距离最小， 显然这个点就是在0与2之间， 当a在区间0与2之间时，为最小值， ∴的最小值为2， 故选：C． 【点睛】本题考查绝对值的定义，列代数式，难点在于对这个式子的理解并用绝对值意义来解答． 5. 如，我们叫集合M，其中1、2、x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，）（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，则我们说．已知集合，集合，若，则则的值是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的探究性题目，正确理解新定义的含义是解题关键．根据集合元素的互异性可知，，，进而得出，从而得出两种情况讨论，分别求解再代入求值即可． 【详解】解：， 由互异性可知，，， ，， ，， ，即， 或， 当时，解得：； 当时，无解． 所以当时，，， 此时，符合题意． ， 故选：B． 6. 已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论序号是（　　） A. ①④ B. ②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数轴，有理数的大小比较法则，绝对值等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．首先判断出，，，，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可． 【详解】解：由题意得，，，， ①∵，， ∴， 即，故①错误； ②∵，， ∴ ∴，故②正确； ③，故③正确； ④；故④正确； 故正确结论有②③④． 故选：C． 7. 将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，…，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是（ ） A. 52 B. 67 C. 84 D. 101 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形的变换规律，即可得到第⑨个图形中，棋子数量为，从而可得答案． 【详解】解：第①个图形中，棋子数量； 第②个图形中，棋子数量为； 第③个图形中，棋子数量为； ∴第⑨个图形中共有棋子的颗数是， 故选：C． 【点睛】本题考查图形的变化规律问题，需要找出图形之间的联系，得出运算规律，再利用规律解决问题． 8. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查与有理数有关的规律探究，熟练掌握有理数的运算是解题的关键，根据题意逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，，，， ∴，故①正确； ∵ ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ， 故②正确； 由①②可得分别是以3和6为周期的数列， 当为奇数时： ， ， ∴， 当为偶数时： ， ， ∴， 故③正确； 故选：D． 二．填空题（每小题3分，共24分） 9. 如图所示，各正方形的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，“◆”位置的数是 ________． 【答案】158 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，由前三个图四个数字之间的规律，即可得到答案． 【详解】解：由前三个图可知： 左下角的数左上角的数， 右上角的数左上角的数， 右下角的数左下角的数右上角的数左上角的数， 则中左下角的数为，右上角的数为，“◆”位置的数是， 故答案为：158． 10. 若一个四位自然数的千位数字与个位数字之和恰好是的百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数为“好数”．一个“好数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记．若为整数，是4的倍数，则________；所有满足条件的的最大值和最小值的差为________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】根据定义得到，进一步得到；， ，则是4的倍数，9，进一步即可得到答案，此题考查了数字类规律、分式的运算等知识，读懂题意，求出；是解题的关键． 【详解】， ， 为整数 ；， ， 是4的倍数， 或9 时，取到最小值， 或2， 的最小值为1239 时，取到最大值， ，或2， 的最大值为9321； 差为8082， 故答案为：5，8082 11. 若四位数满足各位数字均不为0，千位数字与十位数字的和的十倍加上百位数字以及个位数字的和刚好等于150，则称该四位数为“数学满分数”，比如：5298，，则5298是“数学满分数”，定义，对于四位数是“数学满分数”，则为 _______，在此条件下，若能被7整除，则符合题意的最大值与最小值的差为 _________． 【答案】 ①. 1 ②. 2376 【解析】 【分析】把所给的四位数整理成千位上的数字百位上的数字个位上的数字个位数字的形式，判断出各个数位上的数字；进而根据新定义推理得到和具体的数值，相除即可求得它们的商；根据前面得到的条件用2个未知数，表示出，进而根据能被7整除以及，的取值范围判断出和可能的值，再判断出，的值，即可得到符合题意的的最大值和最小值，相减即可． 【详解】解：， 的千位上的数字为：，百位上的数字为：，十位上的数字为：，个位上的数字为：， 是“数学满分数”， ， ， ， ， ∵，且，，，均为正整数， 当时，； 当时，； ． 最大为：， ，． ． ，， ，， ， ， 能被7整除， 整数， ，，， 当时，，此时，； 当时，，此时，； 当时，，此时，； 当时，，此时，， ，，，时的值最大，此时； ，，，时的值最小，此时． 符合题意的最大值与最小值的差为． 故答案为：1，2376． 【点睛】本题考查整式的相关知识．理解并应用新定义是解决本题的关键；经过推理得到和具体的数值是解决本题的难点． 12. 如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”．例如：四位数2129，，是“天天向上数”：又如3465，∵，不是“天天向上数”．若一个“天天向上数”为，则此时_____________；若一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算、整式的加减的应用，根据“天天向上数”定义计算即可得出的值，根据“天天向上数”的定义得出，由题意得出，结合、、、的取值得出或或，再分别求解即可得出答案，理解“天天向上数”定义是解此题的关键． 【详解】解：∵一个“天天向上数”为， ∴， ∴， 解得：； ∵如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”， ∴， ∴， ∵一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被9整除， ∴ ， ∴（为正整数）， 由题意得：，，，， ∴， ∵的和为偶数， ∴或或， 当时，解得或或或， ∵， ∴当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，此时，，即这个“天天向上数”为， 当时，此时，，即这个“天天向上数”为， 当时，此时，，即这个“天天向上数”为； 当时，解得或或或， ∵， ∴当时，此时，，即这个“天天向上数”为， 当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，解得， ∵， ∴当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 综上所述，符合题意的“天天向上数”为，，，， ∵， ∴， 故答案为：，． 13. 我们把13的倍数称为“大吉数”，判断一个数是否是大吉数，可以用的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，如果是“大吉数”，这个数就是“大吉数”．比如：数字253448，这个数末三位是448，末三位以前是253，则，因为，所以是“大吉数”，那么253448也是“大吉数”．若整数（其中，且为整数）是“大吉数”，则______．若均为“大吉数”，且，（，且、、均为整数），则的最大值为______． 【答案】 ①. 91 ②. 819 【解析】 【分析】本题考查新定义的运算，一次方程及整除问题，根据新定义，列出一次方程，求出未知数的值，即可．解题的关键是理解新定义，根据新定义列出方程．本题的难度较大，属于填空题中的压轴题． 【详解】解：∵整数（其中，且为整数）是“大吉数”， ∴能被13整除； ∵， ∴能被13整除， ∴， ∴， ∴； ∵，是“大吉数”， ∴，是“大吉数”， ∴能被13整除， ∴能被13整除， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是“大吉数”， ∴，是“大吉数”， ∴，能被13整除， ∴能被13整除， ∵， ∴， ∴当时，，此时， 当时，不存在满足条件； 当时，不存在满足条件； 当时，，此时， 综上：或， ∴或； ∴或； ∴的最大值为819． 故答案为：． 14. 在1、3两个数之间写上两个数之和4，看作第一次操作；再在1、4、3每相邻两个数之间写上两个数之和的，得到和两个数，看作第二次操作；第3次操作就在第二次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的；第4次操作就在第三次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的；经过4次操作后所有数的和是________． 【答案】32 【解析】 【分析】本题主要考查了分数加法运算，先根据题意得出经过4次操作后所有数，然后将这些数相加，即可得出答案． 【详解】解：第一次操作后的各数为：1、4、3， 第二次操作后的各数为：1、、4、、3， 第三次操作后的各数为：1、、、、4、、、、3， 第四次操作后的各数为：1、、、、、、、、4、、、、、、、、3， ∴经过4次操作后所有数的和是： ． 故答案为：32． 15. 一个四位正整数，将的千位数字和百位数字分别作为两位数的十位数字和个位数字，将的十位数字和个位数字分别作为两位数的十位数字和个位数字，规定，当能被6整除时，被称为“顺心数”．例如：，则，，，因为能被整除，所以是“顺心数”．最小的“顺心数”为______；若“顺心数”（其中，，，，，均为整数），且的各个数位数字之和等于它千位数字的倍，则的最大值为______． 【答案】 ①. 1014 ②. 【解析】 【分析】本题考查了顺心数得到定义，6的倍数特征，以及列举法，排除法解题，解题的关键是找到的千位，百位，十位，个位数字分别是谁，正确理解顺心数的定义．为了使最小，千位数最小为1，百位数最小为0，十位是，即，然后找出个数数字；由题意可知，的千位数字是，百位数字是，十位数字是，各位数字是，那么有，因为是顺心数，是的倍数，即是的倍数，所以推出，是2的倍数，因为，为了大一些，那么取，从而得出的最大值． 【详解】①是一个正四位数，为了使最小 千位数最小为1，百位数最小为0，即， 为了使最小，能被6整除，且为两位数， 当的十位数为1，个位数取0时，，不能被6整除， 当的十位数为1，个位数取1时，，不能被6整除， 当的十位数为1，个位数取2时，，不能被6整除， 当的十位数为1，个位数取3时，，不能被6整除， 当的十位数为1，个位数取4时，，能被6整除， 最小的“顺心数”为1014， 故答案为：1014． ②（其中，，，，，均为整数）， 由题意可知，的千位数字是，百位数字是，十位数字是，个位数字是 的各个数位数字之和等于它千位数字的倍， 即 是顺心数 是的倍数 即是的倍数 是的倍数，且，，，，均为整数 必须是，可以是，，， ， 为了使最大，要越大越好，那么越小越好 当，时， ，满足 此时，，， ，是的倍数，所以是顺心数； 故的最大值是； 故答案为：． 16. 一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“压轴数”．将“压轴数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数”的千位数字的3倍求和，记作．则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为_____．有两个四位正整数，（、、、，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的值的和为_____． 【答案】 ①. 7807 ②. 9507 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、整除等知识点．根据定义得出最大的“压轴数”与最小的“压轴数”，计算即可；根据定义计算出和，然后根据能被7整除且能被13整除，即可求解． 【详解】解：要想使“压轴数”最大，则千位是最大的一位数， 又∵各个数位上的数字均不为零，个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴千位不能为9，即千位最大是8，最小是1， ∴最大的“压轴数”是8919，最小的“压轴数”是1112， 则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为； ，， ∴， ∵个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴，， ∴， ∴， ∵能被7整除且能被13整除， ∴能被7整除，能被13整除， ∵ ∴， ∴， ∴能被7整除， ∵， 当，时，能被7整除，此时； 当，时，能被7整除，此时； 其余取值均不符合， ∴满足条件的值的和为； 故答案为：7807，9507． 三．解答题（共82分） 17. 计算： (1)－32－|(－5)3|×－18÷|－(－3)2|； (2). 【答案】(1) －31;(2)－26 【解析】 【分析】(1)根据幂的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题; (2)先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律即可解答本题. 【详解】(1)－32－｜（－5）3｜×－18÷｜－（－3）2｜＝－9－125×－18÷9＝－9－20－2＝－31，故答案为－31; (2)＝（）×36＝×36×36×36＝－27－20＋21＝－26，故答案为－26. 【点睛】本题主要考查了的乘方、有理数的乘除法和减法的基本性质. 18. 规定一种新运算“*”，两数a，b通过“*”运算得，即，例如：，根据上面规定解下题： （1）求的值； （2）与的值相等吗？ 【答案】（1）21 （2）不相等，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解所给运算的意义、运算顺序． （1）把所给定义式中的a换成7、b换成代入计算即可． （2）根据（1）中所给的定义先分别计算出与的值，然后比较计算结果即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：不相等，理由是： ，， 即： 与的值不相等． 19. 某检修小组从A地出发，在东西方向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下．（单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 （1）求收工时距A地多远？ （2）在第几次纪录时距A地最远？ （3）若每千米耗油升，问共耗油多少升？ 【答案】（1）1千米 （2）五 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查有理数加减运算的应用，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． （1）根据表格可直接进行求解； （2）分别求出每次距离A地的距离，进而问题可求解； （3）分别求出每次行驶距离的绝对值之和，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：（千米）， 答：收工时距A地1千米． 【小问2详解】 解：由题意可知第一次距离A地为4千米， 第二次距离A地为（千米）， 第三次距离A地为（千米）， 第四次距离A地为（千米）， 第五次距离A地为（千米） ，第六次距离A地为（千米）， 第七次距离A地为（千米）， ∴在第五次记录时距A地最远； 【小问3详解】 解：（千米）， ∴（升）； 答：共耗油升． 20. 某自行车厂为了赶进度，一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 （1）根据记录可知第一天生产多少辆？ （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ （3）赶进度期间该厂实行计件工资加浮动工资制度．即：每生产一辆车的工资为60元，超过计划完成任务每辆车则在原来60元工资上再奖励15元；比计划每少生产一辆则在应得的总工资上扣发15元（工资按日统计，每周汇总一次），求该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据有理数的加法，即可得答案； （2）根据最大数减最小数，可得答案； （3）根据每辆的价格乘以数量，可得基本工资，再根据每辆的奖金乘以超额的数量，可得奖金，再根据工资加奖金，可得答案； 本题考查了正数和负数，利用了有理数的加减法运算，利用工资加奖金等于实际收入是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 答：第一天生产204辆； 小问2详解】 ， 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产26辆； 【小问3详解】 ， 答：该厂工人这一周的工资总额是84450元． 21. 阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任一点P，把与点P相距a个单位长度的两点所表示的数分别记作x和y（其中），并把x、y这两个数叫做“点P关于a的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于1的对称数组是． （1）点A表示的数为，则________； （2）如果，那么P表示的数是________，a的值是________； （3）如果点P、Q是数轴上的两个动点，，（其中，）．两点同时从原点出发反向运动，当时，求点P、Q之间的距离． 【答案】（1） （2）1014；1010 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用： （1）根据定义可知表示的是“点A关于7的对称数组”，据此求出数轴上与点A距离为7的数即可得到答案； （2）根据定义可得点P到数轴上数4和数2024的两个点的距离都为a，那么根据数轴上两点距离计算公式即可求出答案； （3）设点P和点Q表示的数分别为，根据定义可得，根据得到，即，据此把看作一个整体，解绝对值方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵表示的是“点A关于7的对称数组”，而数轴上与点A相距7个单位长度的数为或， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵表示的是点P到数轴上数4和数2024的两个点的距离都为a， ∴点P表示的数为：， 故答案为：1014；1010； 【小问3详解】 解：设点P和点Q表示的数分别为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴点P、Q之间的距离为； 当时， ∴， ∴， ∴点P、Q之间的距离为； 综上所述，点P、Q之间的距离为或． 22. 分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： （1）当时，求 ； （2）当时，求 ； （3）已知，是有理数，当时， ； （4）已知，是有理数，当时，试求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的化简混合运算，代数式求值等．熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）直接将代入求出答案； （2）直接将代入求出答案； （3）分别根据，和，，分析得出答案； （4）分别利用当，，三个字母中有一个字母小于，其它两个字母大于和当，，都小于，分析得出答案． 【小问1详解】 解：当时，； 故答案为：． 【小问2详解】 解：当时，； 故答案为：． 【小问3详解】 解：若，是有理数，当时，分两种情况： 当，时，， 当，时，； ∴当时，当时，的值为或． 【小问4详解】 解：若，是有理数，当时，分两种情况： ①当，，三个字母中有一个字母小于，其它两个字母大于时， ； ②当，，都小于时， ； 综上所述，的所有可能的值为或． 23. 定义：对于确定位置的三个数:a，b，c，计算，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”.例如对于1，，3，因为，，，所以1，，3，的“分差”为 （1）的“分差”为 _________ ； （2）调整“”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的最大值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据分差的计算方法进行计算即可； （2）因为分差是三个代数式的最小值，所以当代数式的值均大于0时，分差最大，所以三个数的位置为：时，分差最大，求出分差即可． 【小问1详解】 解：∵，，； ∴“分差”为：； 【小问2详解】 法一：解：∵分差是三个代数式的最小值， ∴当代数式的值均大于0时，分差最大， ∴三个数的位置为：时，分差最大， ∵，，； ∴分差为：1． 法二：①若， ∴，，， ∴ 的“分差”为； ②若， ∴，，， ∴的“分差”为； ③若， ∴，，， ∴的“分差”为； ④若， ∴，，， ∴的“分差”为； ⑤若， ∴，，， ∴的“分差”为1， 综上所述，这些不同“分差”中的最大值为1． 【点睛】本题考查新定义运算．熟练掌握新定义中的运算规则，是解题的关键． 24. 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 　　表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使2表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与______表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为16（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是______； 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从到6）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（例如下图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是______． 【答案】（1）3；（2）①，②和6；（3）或或 【解析】 【分析】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，明确①数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，②数轴上任意两点的距离为两点所表示的数的差的绝对值； （1）根据对称性找到折痕的点为原点，即可求解； （2）根据对称性找到折痕点为， ①设3表示的点与数表示的点重合，根据对称性列式求出的值； ②因为，所以到折痕的点距离为8，因为折痕对应的点为，由此得出、两点表示的数； （3）分三种情况进行讨论：如图1，当时，所以设，，，得，，得出、、的值，计算折痕处对应的点所表示的数的值，同理可得出如图2、3折痕处对应的点所表示的数的值． 熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】解：操作一， （1）表示的点1与表示的点重合， 折痕为原点， 则表示的点与3表示的点重合， 故答案为：3； 操作二： （2）折叠纸面，若使2表示的点与表示的点重合， 则折痕表示的点为， ①设3表示的点与数表示的点重合， 则， ； 故答案为：； ②数轴上、两点之间距离为16， 数轴上、两点到折痕的距离为8， 在的左侧， 则、两点表示的数分别是和； 故答案为：①，②和6； 操作三： （3）如图1，当时， 设，，， ， ， ，，， 折痕处对应的点所表示的数是：， 如图2，当时， 设，，， ， ， ，，， 折痕处对应的点所表示的数是：， 如图3，当时， 设，，， ， ， ，， 折痕处对应的点所表示的数是：， 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或． 故答案为：或或． 25. 已知数轴上的点A，B对应的有理数分别为a，b，且，点P是数轴上的一个动点． （1）求出A，B两点之间的距离． （2）若点P到点A和点B的距离相等，求出此时点P所对应的数． （3）数轴上一点C距A点7.2个单位长度， 其对应的数c满足．当P点满足时，求P点对应的数． 【答案】（1） （2） （3）－0.4或－6.8 【解析】 【分析】（1）根据初中阶段学的x2≥0，|x|≥0可求解a、b的值； （2）根据两点间的中点公式，即可求出P点对应的数； （3）分三种情况：①当点在C点右侧时，即时，②当点在C点左侧，点右侧时，③当点在点左侧时，即时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：， 又 ， ， ， ； 点对应的数为2，点对应的数为－10， 的距离 【小问2详解】 解：到，的距离相等． 为中点， 点对应的数为：． 【小问3详解】 解：距离点7.2个单位长度， 对应的数为：或 又， ，即a和c异号， ， 设点对应的数为m，则， ， ， ， ①当点在C点右侧时，即时，， ， ， ． ②当点在C点左侧，点右侧时， 即时，， ， ， ． ③当点在点左侧时，即时，， ， ， （不合题意，舍去）． ∴综上所述，点对应的数为：－0.4或－6.8． 【点睛】本题考查了数轴、中点坐标公式以及用方程思想解决数轴问题，注意分情况讨论是解决本题的关键． 26. 通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留（）斤污水，现用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 【答案】方案一：；方案二：；方案三：；实验结论：三；推广证明：见解析 【解析】 【分析】本题考查分式的实际应用，根据题意列式等． 数据计算∶分别计算出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答； 实验结论∶比较数据计算得出的数据，即可作出判断； 推广证明∶ 先用字母表示出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的关系，再利用求差法比较即可解决问题． 【详解】解：根据题意可知： 方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的． ∵， ∴方案三的漂洗效果最好， 故答案为： ；；；三； 推广证明理由如下： 方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， ∵， ∴方案三比方案一漂洗效果好； ∵， 当时，， ∴方案三比方案二效果好， 综上所述：方案三漂洗效果最好． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$