二项式定理课件-2025届高三数学一轮专题复习

高中数学里，哪些定理惊艳到了你？ 索引 二项式定理 杨辉三角 是否还记得我，还是忘了我？ 1.二项式定理 (a+b)n= 其中: (1)右边多项式叫(a+b)n的二项展开式；展开式共有 项. n+1 k＋1 (3)二项式系数: (a＋b)n的展开式还有什么的特点？ (1)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n； (2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零； 字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. 知识梳理 知识梳理 索引 3 1 4 6 4 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 二项式系数有什么特点？ 杨辉三角 系数杨辉三角找，对称特性立其中。 索引 2.二项式系数的性质 递增 递减 二项式系数的前半部分是递增的，后半部分是递减的，且在中间取得最大值. 索引 5 2n 2n－1 上述结论是如何得到的？ 二项式定理中，令a＝1，b＝1得到(1)，令a＝1，b＝-1得到(2). 令a=1，b=x，则 这是一个好东西！ 在数学的世界里，二项式定理就像是一首无声的诗，它以自己独特的方式展示了数学的美和力量。 索引 6 例1.化简 解:将原式变形 典例解析 变式:化简 解:原式= 似曾相识！ 说明：二项式定理实质上是一个恒等式，而恒等式的应用要注意正用、逆用和变形用. 逆用公式，出奇制胜！ 索引 例2.已知 (n∈N*)的展开式中第一项为x4。 （1）证明展开式中没有常数项； （2）求展开式中含 的项； （3）求展开式中所有的有理项； （4）求展开式中第四项的系数及二项式系数. 求该展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项. 变式探究1: 就是x的零次幂的项 就是x的整数次幂的项 设 的系数为 ，那么 为最大应有: . 2 1 1 + + + ³ ³ r r r r A A A A 且 + r 1 T + r 1 A + r 1 A 大热点 8 设展开式中的第r项，第r+1项，第r+2项的系数分别为  ， 若第r+1项的系数最大，则 ∴系数最大的项为 ，T7= 1792 . 由n=8知第5项二项式系数最大，此时T5=1120· . 【解析】 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 9 求展开式中某指定项（如有理项、常数项、第r+1项，含xr的项）以及指定项的系数、二项式系数等问题是高考的一大热点，通常要用二项式的通项求解，有时要先变形再应用。 注意区分三个概念：项、项的系数、项的二项式系数。 感悟提升 二项乘方知多少，万里源头通项找! 10 【解析】（1）解：(1+x)6(1-x)4 =(1+6x+15x2+20x3+…)·(1-4x+6x2-4x3+…). 所以x3的系数等于 1×(-4)+6×6+15×(-4)+20×1=-8. 法二：∵(1+x)6(1-x)4=(1+x)2(1-x2)4， ∴只需求(1+x)2展开式中x的系数(+2)与(1-x2)4的展开式中x2的系数(-4)，并取两项系数之积便可知所求x3的系数等于-8. （1）求(1+x)6(1-x)4的展开式中含x3项的系数； 变式探究2: 11 　　（2）解法一：分别求出各个二项展开式中x2的系数；0， ，取和，可知所求x2的系数等于-20. 解法二：∵(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5 = . ∴所以求原展开式x2的系数就是求(x-1)6的展开式中x3的系数，为- =-20.  （2）求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x2的系数； 变式探究2: 12 试求：（1）(1+x)6(1-x)4的展开式中含x3项的系数； （2）(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x2的系数； （2）分别求出各个二项展开式中x2的系数，然后相加或按等比数列求和后再求x2的系数； 变式探究2: 想一想？ 【再回首】 （1）展开后观察或化为(1+x)2(1-x2)4； 观察已知式的特征，恰当运用恒等变形的技巧、方法是将待求问题化归为与二项式定理相关问题是解题的关键. 小经验 13 变式探究3: (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________. 30 解析　法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 小结：对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 索引 二项展开式是一个恒等式,因此对特殊值仍然成立.这是求二项式系数和的基础.求二项展开式系数和，常采用的方法是“赋值法”,设二项式中的字母为1，-1等，得到一个或几个等式，再根据结果求值。注意首项与末项。 解题回顾 系数求和问题 赋值法破解 索引 (1)(2024·南昌调研)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________. 300 5 120 变式探究: 索引 解析　令x＝－1得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A正确. 令x＝0得(－1)5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正确. (2) (多选2022·枣庄模拟)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则(　　 ) A.a0＝－32 B.a2＝－80 C.a3＋4a4＝0 D.a0＋a1＋…＋a5＝1 ABC 索引 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 例4.求9192除以100的余数. 法1： 法2： 解题回顾 整除性问题(余数问题)，关键是巧妙地构造二项式，主要是根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧。注意余数要为正整数。 整除（或余数）问题展开法 索引 变式探究: 索引 2.(2024广东佛山模拟)1.026的近似值(精确到0.01)为(　　) A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.20 必备知识—强基础 考点探究—提素养 课时作业 二项乘方知多少，万里源头通项找； 展开三定项指系，组合系数杨辉角。 整除证明妙变底，二项求和巧赋值； 两端对称谁最大？主峰一览众山小 课堂小结 索引 解析　1.026＝(1＋0.02)6＝1＋Ceq \o\al(1,6)×0.02＋Ceq \o\al(2,6)×0.022＋Ceq \o\al(3,6)×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13.故选B． $$