18.1.2平行四边形判定（第4课时）课件2023-2024学年人教版数学八年级下册

18.1.2平行四边形判定（第4课时） 　　1．平行四边形的性质： 　　（1）平行四边形的两组对边分别平行； 边 角 对角线 　　（2）平行四边形的对边相等； 　　（3）平行四边形的对角相等； 　　（4）平行四边形的对角线互相平分． 　　2．平行四边形的判定： 　　（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）； 　　（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 　　（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 　　（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 　　（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 边 角 对角线 　　平行四边形知识的运用包括三方面： 　　一是直接运用平行四边形的性质求角的度数或线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等； 　　二是判定一个四边形是平行四边形； 　　三是先判定一个四边形是平行四边形，然后运用平行四边形的性质解决某些问题． 　　如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，EF 过点 O 且与 BC，AD 分别交于点 E，F．试猜想线段 AE，CF 的关系，并说明理由． 　　分析：因为 AE，CF 是四边形 AECF 的对边，所以要判断它们的关系，就要先判断四边形 AECF 的形状． 　　两条线段的关系包括位置关系和数量关系两种． 问题 　　解：AE 与 CF 平行且相等．理由如下： 　　∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴OA＝OC，AF∥EC， 　　∴∠OAF＝∠OCE． 　　在△OAF 和△OCE 中， 　　∴△OAF≌△OCE． 　　∴AF＝CE． 　　又∵AF∥CE， 　　∴四边形 AECF 是平行四边形． 　　∴AE∥CF，且 AE＝CF， 　　即 AE 与 CF 的关系是平行且相等． 性质、判定综合用，仔细分辨勿混淆 　　（1）利用平行四边形的性质与判定可解决以下问题：①求线段的长、证明线段相等或平行、证明线段的倍分关系．②求角的度数、证明角相等或互补等． 　　（2）利用平行四边形的性质与判定解决问题时，有时需要先证明一个四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质去解题． 归纳 　　如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，BC＝18 cm，CD＝15 cm，AD＝10 cm，AB＝12 cm，动点 P，Q 分别从点 A，C 同时出发，点 P 以 2 cm/s 的速度由 A 向 D 运动，点 Q 以 3 cm/s 的速度由 C 向 B 运动． 　　（1）几秒时，四边形 PQCD 为平行四边形？并求出此时四边形 PQCD 的周长． 　　（2）几秒时，四边形 ABQP 为平行四边形？并求出此时四边形 ABQP 的周长． 问题 　　分析：四边形中已有一组对边平行，结合点运动的速度让这组对边再相等，即可得平行四边形． 　　解：（1）设 x s 时，四边形 PQCD 为平行四边形， 　　∵PD∥CQ， 　　∴当 PD＝CQ 时，四边形 PQCD 为平行四边形， 　　∴10－2x＝3x．解得 x＝2． 　　∴2 s 时，四边形 PQCD 为平行四边形， 　　此时四边形 PQCD 的周长是 　　3×2×2＋15×2＝42（cm）． 　　解：（2）设 y s 时，四边形 ABQP 为平行四边形， 　　∵AP∥BQ， 　　∴当 AP＝BQ 时，四边形 ABQP 为平行四边形， 　　∴2y＝18－3y． 　　解得 y＝3.6． 　　∴3.6 s 时，四边形 ABQP 为平行四边形， 　　此时四边形 ABQP 的周长是 　　3.6×2×2＋12×2＝38.4（cm）． 化动为静，解决动点问题 　　解决动点问题的基本思路就是化“动”为“静”，要从“静”的角度去理解“动”的问题． 归纳 B C D A E F 　　例1　如图，在▱ABCD 中，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，且 CF＝AE．求证：BD 和 EF 互相平分． 　　证明：分别连接 BE，DF． 　　∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴AD∥BC，AD＝BC． 　　又∵AE＝CF， 　　∴AD－AE＝BC－CF，即 DE＝BF． 　　∴四边形 EBFD 是平行四边形． 　　∴BD 和 EF 互相平分． 　　例2　如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，且 AD＞BC，BC＝6 cm，P，Q 分别从 A，C 同时出发，P 以 1 cm/s 的速度由 A 向 D 运动，Q 以 2 cm/s 的速度由 C 向 B 运动，多长时间后四边形 ABQP 是平行四边形？ 　　解：已知 AD∥BC，若 AP＝BQ，则四边形 ABQP 为平行四边形． 　　设经过 x s 后，AP＝BQ， 　　则 AP＝x cm，BQ＝BC－CQ＝(6－2x)cm． 　　∴x＝6－2x，∴x＝2． 　　∴2 s 后四边形 ABQP 是平行四边形． 平行四边形性质和判定的综合应用 平行四边形中的动点问题 平行四边形性质和判定的综合应用 $$